1、第二章 控制系統(tǒng)動態(tài)數(shù)學模型,第一節(jié) 數(shù)學模型的基本概念 第二節(jié) 建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟和方法 第三節(jié) 典型元件及系統(tǒng)時域數(shù)學模型的建立 第四節(jié) 數(shù)學模型的線性化 第五節(jié) 拉氏變換與反變換 第六節(jié) 傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 第七節(jié) 系統(tǒng)方塊圖及其簡化 第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式 第九節(jié) 實際物理系統(tǒng)數(shù)學模型建立舉例 第十節(jié) Matlab在建立數(shù)學模型中的應用,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,第一節(jié) 數(shù)學模型的基本概念 數(shù)學模型屬于仿真模型的一種，仿真模型通常包括實體模型和數(shù)學模型兩大類。 實體模型：顧名思義，此類模型有一個實體系統(tǒng)，但模型或是在幾何形體上或是在各點的運動速度上或是在

2、系統(tǒng)的動態(tài)特性上與被研究物體有一致的比例關系。 整機仿真MPRO_整機仿真.avi model_2.avi 2(0.01s200步后視).avi,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,第一節(jié) 數(shù)學模型的基本概念 這類模型沒有具體的實體，通常利用代數(shù)方程、微分方程、空間狀態(tài)方程或傳遞函數(shù)等數(shù)學手段來描述系統(tǒng)的靜、動態(tài)特性。 一、系統(tǒng)的靜態(tài)特性、動態(tài)特性和過渡過程的概念 靜態(tài)特性：在恒定的或緩變的輸入量的作用下，系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的性能或屬性，一般均可用代數(shù)方程來描述。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,第一節(jié) 數(shù)學模型的基本概念 注：靜態(tài)不是靜止。 例如，機械在恒力或在相對較低的交變力作用下表現(xiàn)出的性能都是

3、系統(tǒng)的靜態(tài)特性。 動態(tài)特性：在變化劇烈的輸入量的作用下，系統(tǒng)表現(xiàn)出來的性能或屬性，一般均可用微分方程來描述。 變化的快慢主要是相對于系統(tǒng)的時間常數(shù)（或相對于系統(tǒng)的一階固有頻率）而言。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,第一節(jié) 數(shù)學模型的基本概念 過渡過程：系統(tǒng)由一個平衡狀態(tài)進入到另一個新的平衡狀態(tài)之間的時間歷程。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,第一節(jié) 數(shù)學模型的基本概念 1.定義：控制系統(tǒng)輸入和輸出之間動態(tài)關系的數(shù)學表達式即為數(shù)學模型，是分析和設計自動控制系統(tǒng)的基礎。 2.為什么要建立數(shù)學模型？當需要了解系統(tǒng)的具體性能指標時，只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運動過程是不夠的，希望能夠從理論

4、上對系統(tǒng)的性能進行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，它是分析和設計系統(tǒng)的依據(jù)。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型 另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學表達式，即可知其變量間的關系，這種關系可代表數(shù)學表達式相同的任何系統(tǒng)，因此需建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。 比如機械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個數(shù)學表達式分析，具有相同的數(shù)學模型(相似系統(tǒng)）。,3.表示形式： a.微分方程 b.傳遞函數(shù) c.頻率特性 d.狀態(tài)空間描述,同一個系統(tǒng)，可以選用不同的數(shù)學模型，研究時域響

5、應時可以用傳遞函數(shù)，研究頻域響應時則要用頻率特性。 建模時要注意以下兩點： (1)系統(tǒng)愈簡化，模型愈容易建立，但誤差也就可能愈大，所以應根據(jù)具體情況在兩者之間作恰當?shù)倪x擇。 (2)用數(shù)學手段直接建立的數(shù)學模型，通常都需要通過實驗來加以驗證。還有許多復雜的系統(tǒng)，目前也只能通過實驗的方法來建立它們的數(shù)學模型。實驗法建模雖然是一個十分重要的建模方法，但由于篇幅所限，本書中只介紹前一種方法。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,第二節(jié) 建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟和方法 目前工程上采用的方法主要是： a.分析計算法 分析計算法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運動規(guī)律以及系統(tǒng)的結構和參數(shù)，推導出輸入量和輸出量之間的數(shù)學表

6、達式，從而建立數(shù)學模型適用于簡單的系統(tǒng)。 b.工程實驗法 工程實驗法是利用系統(tǒng)的輸入-輸出信,號來建立數(shù)學模型的方法。通常在對系統(tǒng)一無所知的情況下，采用這種建模方法。但實際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰盒，可以分析計算法與工程實驗法一起用，較準確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型往往是很復雜的，在一般情況下，常?？梢院雎砸恍┯绊戄^小的因素來簡化，但這就出現(xiàn)了一對矛盾，簡,簡化與準確性。不能過于簡化，而使數(shù)學模型變得不準確，也不能過分追求準確性，使系統(tǒng)的數(shù)學模型過于復雜。 二.線性系統(tǒng) 1.定義：當系統(tǒng)中各組成環(huán)節(jié)或元件的狀態(tài)或特性可以用線性微分方程來描述時，稱這種系統(tǒng)為

7、線性控制系統(tǒng)。 線性控制系統(tǒng)的特點是可以運用疊加原理，即在系統(tǒng)存在有幾個輸入時，系統(tǒng)的輸出等于各個輸入分別作用于系統(tǒng)時系統(tǒng)輸出之和，當系統(tǒng)輸入增大或縮小時，系統(tǒng)的輸出也按比例增大或縮小。,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,如果描述系統(tǒng)動態(tài)特性的微分方程的系數(shù)是常數(shù)而不隨時間變化，則這種線性系統(tǒng)稱為線性定常（或時不變）系統(tǒng)。 若微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這種線性系統(tǒng)稱為線性時變系統(tǒng)。 線性元件：具有迭加性和齊次性的元件稱為線性元件。 非線性元件：不具有迭加性和齊次性的元件稱為非線性元件。,2.重要特點：對線性系統(tǒng)可以應用迭加性和齊次性，給研究帶來了極大的方便。 迭加性的應用：欲求系統(tǒng)在幾個輸入信號

8、和干擾信號同時作用下的總響應，只要對這幾個外作用單獨求響應，然后加起來就是總響應。 齊次性表明：當外作用的數(shù)值增大若干倍時，其響應的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統(tǒng)進行分析 簡化了問題。,一.微分方程的建立 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型通常是指動態(tài)數(shù)學模型，最基本、最重要的數(shù)學模型是微分方程，它反映了元部件或系統(tǒng)動態(tài)運行的規(guī)律。 建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，一般是根據(jù)系統(tǒng)的實際結構、參數(shù)及計算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系統(tǒng)的數(shù)學模型既能準確地反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)，又能簡化分析計算的工作。,第二節(jié) 建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟和方法,一.

9、微分方程的建立,解析法是根據(jù)系統(tǒng)及元部件中各變量之間所遵循的物理、化學定律，列出系統(tǒng)各變量之間數(shù)學表達式，然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型； 實驗法是采用某些檢測儀器，在現(xiàn)場對控制系統(tǒng)加入特定信號，對輸出響應進行測量和分析，得到實驗數(shù)據(jù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,二、建立微分方程的一般步驟 采用解析法來建立系統(tǒng)或元部件的微分方程所遵循的一般步驟是： (1)確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。 (2)根據(jù)物理和化學定律（比如：牛頓運動定律、能量守恒定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,(3)找出原

10、始方程式中間變量與其它因素的關系式。 (4)消去原始方程式的中間變量，得到一個關于輸入、輸出的微分方程式。 (5)進行標準化處理，將輸出各項放在等號左端，輸入各項放在等號右端，并且按照微分方程的階次降冪排列，同時將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,任何一個控制系統(tǒng)都是由一個或一個以上的環(huán)節(jié)或元件所構成的。從整個系統(tǒng)的角度看，構成系統(tǒng)的元件或環(huán)節(jié)之間必然存在或多或少的相互影響即效應問題。 環(huán)節(jié)：系統(tǒng)中可以列寫出獨立微分方程（或運動方程）的那一部分。它可以由一個元件構成，也可以由多個元件構成。其微分方程的系數(shù)只由自身的特性決定，而與其它環(huán)節(jié)無關。 負載效應：前后連

11、接的元件或環(huán)節(jié)之間，后一個元件或環(huán)節(jié)對前一個元件或環(huán)節(jié)運動狀態(tài)（動態(tài)特性）產(chǎn)生的影響，稱之謂負載效應。,第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,如果一個元件或環(huán)節(jié)的運動狀態(tài)與后面的元件或環(huán)節(jié)無關時，則該元件或環(huán)節(jié)稱為單向元件。反之則稱為非單向元件。 如果在元件或環(huán)節(jié)間加隔離元件可以消除后一元件對前一元件的影響，則稱前一元件為可單向化。對電氣系統(tǒng)來說，通常隔離元件都是高輸入阻抗低輸出阻抗的元器件。 不僅元件間有負載效應問題，系統(tǒng)本身也有負載效應問題。只有在系統(tǒng)的負載輸入阻抗很高或系統(tǒng)輸出開路的情況下（相當于負載輸入阻抗為無窮大），才能得到較高精度的數(shù)學模型。 分析系統(tǒng)時，沒有特殊說明，均視系統(tǒng)為開路。,

12、第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型,例2-1控制工程教材定稿 例2-2 例2-3 例2-4 例2-5 例2-6 例2-7,第4節(jié) 非線性數(shù)學模型的線性化處理,1、線性化的基本概念 所謂非線性數(shù)學模型的線性化就是對一個非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型找出其穩(wěn)定的平衡點，如果在工作過程中，代表系統(tǒng)屬性的各物理量只在該平衡點附近產(chǎn)生微小的變化，非線性系統(tǒng)模型就能夠以此平衡點為基礎，表示成一個線性模型，關于線性系統(tǒng)的控制理論都能適用于該模型，這便是自動控制理論里關于小偏差線性化方法或稱增量線性化方法的概念。,第4節(jié) 非線性數(shù)學模型的線性化處理,2、非線性數(shù)學模型的線性化的基本方法 對于非線性系統(tǒng)，當系統(tǒng)變量偏離工作點

13、的偏差值很小時，由級數(shù)理論可知，若變量在給定的工作區(qū)間內(nèi)其各階導數(shù)存在，便可在給定工作點的鄰域內(nèi)將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，當偏差的范圍很小時，可以忽略級數(shù)中偏差的高次項，得到只包含偏差的一次項的線性方程。,求解線性微分方程的步驟：,(1)按物理和化學定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點處各變量的數(shù)值。 (2)找出原始方程式中間變量與其它因素的關系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點鄰域內(nèi)各階導數(shù)存在并且是唯一的，則可進行線性化處理。 (3)將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，忽略偏差量的高次項，留下一次項，求出它的系數(shù)值。 (4)消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點的值加偏差量來表示。,第五節(jié)

14、拉氏變換與反變換,拉氏變換是一種積分變換，是求解線性微分方程的一種重要手段，也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的數(shù)學基礎。 一、拉氏變換的定義 (1)當 對任意t值都具有對應的單值； (2) 其中為 正實數(shù)。 則函數(shù)的拉氏變換定義為,第5節(jié) 拉氏變換與反變換,式中復變量 ，且實部 ，這個式子便是我們今后常用到拉氏變換公式。 我們把 稱作原函數(shù)，把 稱為 象函數(shù)。 一般工程實際問題中的時間函數(shù)都能滿足上述條件。,二、典型時間函數(shù)的拉氏變換 (1)例1.求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的拉氏變換。 單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為 。 (2)例2.求單位脈沖函數(shù)f(t)=(t)的拉氏變換。,（3）例3.

15、求指數(shù)函數(shù)f(t)= 的拉氏變換 幾個重要的拉氏變換,三、拉氏變換的基本性質(zhì) (1)線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 (2)微分性質(zhì) 若 ，則有 f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時的初始值。,證：根據(jù)拉氏變換的定義有 原函數(shù)二階導數(shù)的拉氏變換 依次類推，可以得到原函數(shù)n階導數(shù)的拉氏變換,(3)積分性質(zhì): 若 則 式中 為積分 當t=0時的值。 證：設 則有 由上述微分定理，有,即： 同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為 若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0 則有 即原函數(shù) f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象 函數(shù)除以 。,(4)終值定理: 原函數(shù)的終值等

16、于其象函數(shù)乘以s的初值。 證：由微分定理，有 等式兩邊對s趨向于0取極限,注：若 時f(t)極限 不存在，則不能用終值定理。 如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應用終值定理。 (5)初值定理： 證明方法同上。只是要將 取極限。 (6)延時定理(實域位移定理)： 若原函數(shù)在時間上延遲 ，則其象函數(shù)應乘以,(7)衰減定理(復域位移定理)： 象函數(shù)的自變量延遲，原函數(shù)應乘以 即： (7)時間比例尺定理 原函數(shù)在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即： 證：,(8)卷積定理： 兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。 即 證明：,四、拉氏反變換 1、定義：從象函數(shù)

17、F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為 。由F(s)求原函數(shù)可按下式進行： 式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。 直接按上式求原函數(shù)太復雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。,若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。 例1： 例2：求 的逆變換。 解：,例3.,2. 拉式反變換部分分式展開式的求法 （1）情況一:F(s) 有不同極點,這時,F(s) 總能展開成如下簡單的部分分式之和,（2）情況2:F(s)有共軛極點 例2：求解微分方程,（3）情

18、況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點 ,而其余極點均不相同。 那么,如果不記公式,可用以下方法求解,也可得解。,2-4 傳遞函數(shù) 1.傳遞函數(shù)定義： 對于一個線性定常系統(tǒng)，零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。 設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是,c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。,因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即 ,若mn,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。,2.傳遞函數(shù)的性質(zhì) (

19、1)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應。 (2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。） (3) 選擇系統(tǒng)中不同的物理量為輸入、輸出時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式也不同。系統(tǒng)中的每一個環(huán)節(jié)都可以有自己的傳遞函數(shù)。,2.傳遞函數(shù)的性質(zhì),(4)只適合于線性定常系統(tǒng)，并且只能對應于單輸入單輸出系統(tǒng)，其內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映。 (5)傳遞函數(shù)是復變函數(shù)，它在復域中反映系統(tǒng)的特征；對于大多數(shù)實際系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為有理式，分母中變量S的指數(shù)n應不小于分子中S的指數(shù)m，它反映出實際系統(tǒng)中總存在慣性特性，輸出

20、要慢于輸入。,2.傳遞函數(shù)的性質(zhì),(6)如果存在零極點對消情況，傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。 (7)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。 (8)傳遞函數(shù)的量綱視系統(tǒng)的輸入和輸出的量綱來決定。不同性質(zhì)的問題可以有相同的傳遞函數(shù)。,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),通常，控制系統(tǒng)是由若干元部件有機組合而成的，從結構和作用原理來看，可以有各種各樣的不同元部件，但是從動態(tài)性能和數(shù)學模型來看，可以分為幾個基本的典型環(huán)節(jié)。不管元部件是機械式、電氣式、液壓式等，只要其數(shù)學模型一樣，它們就可以歸納為同一個環(huán)節(jié)，這樣給分析、研究系統(tǒng)性能帶來很多方便。 常用的典型環(huán)節(jié)主要有

21、比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等6種形式。,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),（1）比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)也稱為放大環(huán)節(jié)，其特點是環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比。 其傳遞函數(shù)為： 其中k為放大系數(shù)。,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),（2）慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： k為傳遞系數(shù)；T為慣性時間常數(shù) （3）一階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： 為微分時間常數(shù) 理想的微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),（4）積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： 式中， 稱為積分時間常數(shù)。 （5）振蕩環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為：,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),其中T為時間常數(shù)， 為阻尼系數(shù)，也稱為阻尼比， 稱為無阻尼自然振蕩頻率。 6.

22、 延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的特點是具有時間上的延遲效應，當輸入量作用后，在給定一段時間之前，延遲環(huán)節(jié)的輸出量一直未變化，只有到達延遲時間以后，環(huán)節(jié)的輸出量才無偏差的復現(xiàn)原信號。,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：,通過上述分析，我們要明確以下幾點： （1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按照數(shù)學模型的共性來建立的，它與系統(tǒng)中使用的元部件不是一一對應的，一個系統(tǒng)可能是一個典型環(huán)節(jié)，也可能由幾個典型環(huán)節(jié)組合而成。,3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),（2）按照數(shù)學模型對元部件和系統(tǒng)進行分類，產(chǎn)生出若干典型環(huán)節(jié)，將有助于系統(tǒng)動態(tài)特性的研究和分析。 （3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常系統(tǒng)來描述的場合。,4.自動

23、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),如圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，采用疊加原理可分別求出在輸入信號和擾動信號作用下的系統(tǒng)各類傳遞函數(shù)。 其中各類信號和裝置分別定義為： 輸入信號：R（S） 輸出信號：C（S） 主反饋信號： B（S） 偏差信號：E（S） 干擾信號： N（S） 控制器： G1（S） 被控對象：G2（S） 反饋環(huán)節(jié)： H（S）,4.自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這是指當系統(tǒng)主反饋通路斷開以后，反饋信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)。 表示為： 從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。,2）輸入信號作用

24、下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),令干擾信號為0，系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。 表示為,3）干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),令輸入信號為0，系統(tǒng)輸出信號與干擾信號之間的傳遞函數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。 表示為：,4）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù),輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù)： 令干擾信號，誤差信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。 表示為：,例1：RC電路如圖所示 依據(jù)：基爾霍夫定律 消去中間變量 ，,則微分方程為：,可用方框圖表示 例2.雙T網(wǎng)絡,對上式進行零初始條件下的拉氏變換得：,解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列

25、微分方程組：,方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：,方法二：用復阻抗比：,注意：雙T網(wǎng)絡不可看成兩個RC網(wǎng)絡的串聯(lián)，即：,與雙T網(wǎng)絡相比少一個交叉項R1C2S，這就是負載效應，因此雙T網(wǎng)絡不能孤立地分開，必須作為一個整體來求傳遞函數(shù)。當后一個RC網(wǎng)絡接到C1兩端時，u2已不再是原來的u2，也就是說R1中的電流=C1中的電流+R2中電流，不再等于C1中的電流。只有當?shù)谝粋€RC網(wǎng)絡的負載阻抗為無窮大時，雙T網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)才等于兩個RC網(wǎng)絡的串聯(lián)。,例3：位置隨動系統(tǒng),各元件微分方程:,零初始條件下的拉氏變換:,各元件傳遞函數(shù):,由各元部件傳遞函數(shù)，消去中間變量，得系 統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,例4：求圖

26、2-18所示運算放大器的傳遞函數(shù)。 圖中Rf是反饋電阻，if是反饋電流，Ri是輸入 電阻，ur和ir是輸入電壓和電流，uc是輸出電 壓,i0是進入放大器的電流。,運算放大器有同相(+)和反相(-)兩個輸入端。 帶負號的輸入端為反相輸入，此輸入所產(chǎn) 生的輸出與輸入極性相反。帶正號的輸入 為同相輸入，它所產(chǎn)生的輸出極性不變。 兩個輸入有差分作用，即輸出電壓與兩個 輸入端的電壓差成正比。運算放大器常用 的是反相輸入端，它利用負反饋原理，把 一部分與輸入信號反相的輸出信號送回輸 入端，同相輸入端與ur和uc共地。,運算放大器具有高增益k=105109,而通常uc小于10伏，因為u=-uc/k,所以運算

27、放大器的輸入電壓u近似等于0，這種反相輸入端電位為0的現(xiàn)象，是運算放大器的共同特點，叫做“虛地”，又因為運算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器的電流i0也近似等于0。這個現(xiàn)象叫做“虛斷”，ir=if , 由此導出： ，即 ，所以運算放大器的傳遞函數(shù)為,這個結論可以推廣為：運算放大器的傳遞函數(shù)等于反饋復阻抗與輸入復阻抗之比。,2-7 系統(tǒng)方塊圖及其簡化,2-7 系統(tǒng)方塊圖及其簡化,1、傳遞函數(shù)方塊圖的基本特點： (1)方塊圖通常均由方塊圖單元（以下簡稱單元）、信號流向線、比較點（或相加點）及引出點等4類結構構成。 (2)方塊圖中每個單元，均應以傳遞函數(shù)形式來表示，并用箭頭標出信號的流向;規(guī)定流

28、入單元的信號表示該環(huán)節(jié)的輸入信號，流出單元的信號則為環(huán)節(jié)的輸出信號。 (3)環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號均應以象函數(shù)表示,但為使方塊圖簡潔易讀，通常只標寫系統(tǒng)的輸入（包括干擾）、輸出信號及主要環(huán)節(jié)的必要的相關信號。,2-7 系統(tǒng)方塊圖及其簡化,(4)對于一個單元，在一般情況下（主要指古典控制理論研究），只有一個輸入信號和一個輸出信號，且每個單元表示的環(huán)節(jié)都應具有信號單一方向流過的單向特性。 (5)比較點或相加點的作用是對流入比較點的信號進行代數(shù)和的運算（或進行比較），并將其運算結果輸出。 (6)圖中的粗黑點，表示信號的引出點。由引出點引出的信號可以用作其他單元的輸入信號，也可以用作外界測量儀器的測量信

29、號。,2-7 系統(tǒng)方塊圖及其簡化,由同一個引出點引出的多路信號，其值的大小及其性質(zhì)均認為是完全一樣的，即不會引起所謂能量的衰減（但對實際系統(tǒng)一定要考慮輸出信號的元器件帶負載能力的大?。?。 2、傳遞函數(shù)方塊圖中單元的最基本聯(lián)結方式,2-7 系統(tǒng)方塊圖及其簡化2-7.doc,3、繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖的基本步驟,(1)建立描述系統(tǒng)動態(tài)特性的微分方程組； (2)對已知的微分方程組進行拉氏變換，并根據(jù)需要對變換式作必要的改寫； (3)由改寫的變換式，繪制對應的局部方塊圖； (4)聯(lián)結各局部方塊圖中變量名相同的輸入與輸出端，完成系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖的繪制。,3、繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖的基本步驟,對變換式的

30、改寫是關鍵，改寫的基本原則： (1)各局部方塊圖中，至少應有一個局部方塊圖的輸入變量是系統(tǒng)的輸入變量； (2)各局部方塊圖中，至少應有一個局部方塊圖的輸出變量是系統(tǒng)的輸出變量； (3)每個局部方塊圖的輸入變量必須要有其它局部方塊圖的輸出變量作為來源，而其輸出變量則必須要有其它局部方塊圖的輸入變量作為其去處。 應用舉例2-7.doc,三、傳遞函數(shù)方塊圖的等效變換和簡化,在傳遞函數(shù)方塊圖中，各環(huán)節(jié)間常常存在著錯綜復雜的關系,這時需要對方塊圖作適當?shù)刈儞Q，以便簡化成在前面專門介紹過的三種基本聯(lián)結方式所組成的等效方塊圖。 要做到等效變換必須在變換中遵守以下的基本原則： (1)相鄰的比較點（相加點）可交

31、換次序，如圖(a)所示。 (2)相鄰的引出點可交換次序，如圖(b)所示。,三、傳遞函數(shù)方塊圖的等效變換和簡化,(3)引出點在方塊左右移動規(guī)則：將引出點由方塊右移到其左面時，必需在引出點的支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的方塊，如圖(c)所示；若將引出點由方塊左移到其右面時，則必須在其分出的所有支路中串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方塊，如圖(d)所示。,三、傳遞函數(shù)方塊圖的等效變換和簡化,(4)比較點在方塊左右移動的規(guī)則：將比較點由方塊左移到其右面時，必須在移動的支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的方塊，如圖(e)所示；若將比較點由方塊右移到其左面時，則必必須在其分出的所有支路中串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方塊，如

32、圖(f)所示。 兩條變換法則： (1)變換后，各前向通道傳遞函數(shù)的乘積不變。 (2)變換后，各回路傳遞函數(shù)的乘積不變。,三、傳遞函數(shù)方塊圖的等效變換和簡化,三、傳遞函數(shù)方塊圖的等效變換和簡化,第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,一、信號流圖的基本形式 為了更清晰、更簡潔地表達系統(tǒng)傳遞函數(shù)的結構特點及信號的傳輸狀況，常常將傳遞函數(shù)方塊圖改畫成信號流圖的形式。圖(b)即為由圖(a)改畫的信號流圖。,第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,關于信號流圖主要的名詞術語。 1、節(jié)點:表示系統(tǒng)中信號流入、流出或既有流入，又有流出的點。 節(jié)點可分為以下3種： 輸入節(jié)點：只有信號流出(或只有輸出支路)的節(jié)點(亦稱“源點”

33、) 。 輸出節(jié)點：只有信號流入的節(jié)點(亦稱“匯點”)， 混合節(jié)點：既有信號流入也有信號流出的節(jié)點，,第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,2、支路：聯(lián)結兩節(jié)點間的有向線段。 支路除了表示系統(tǒng)內(nèi)信號流動的方向外（如前所述），有向線段旁還應標記上它所替代的方塊中的傳遞函數(shù)。在信號流圖中，該傳遞函數(shù)又被稱為“傳輸”或兩節(jié)點間的“增益”。 3、通路：沿有向線段箭頭的方向，穿過各相連支路所經(jīng)過的路徑（即信號流經(jīng)的路徑）。,第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,根據(jù)通路的特點，一般通路也可以分為三種： 開通路：通路與任一節(jié)點相交不多于一次（亦稱“前向通路”）。 閉通路（常稱“回路”）：通路的終點與起點相重合，并且與其

34、它節(jié)點相交不多于一次（亦稱“反饋通路”）。 自通路（常稱“自回路”）：回路的終點與起點相重合，并且回路中只經(jīng)過一個節(jié)點且不多于一次。,第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,二、梅遜公式及其應用 式中， 為第k條前向通路中所有支路的傳輸（即傳遞函數(shù)）的乘積； 為信號流圖的特征式； 為所有不同回路的開環(huán)傳遞函數(shù)之和；,第八節(jié) 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式,二、梅遜公式及其應用 為每兩個互不接觸回路的開環(huán)傳遞函數(shù)乘積之和； 為每三個互不接觸回路的開環(huán)傳遞函數(shù)乘積之和； 為第k條前向通路的余因子。即從特征式中消去所有與第k條前向通路接觸的回路的傳遞函數(shù)而剩余的部分。 舉例2-8.doc,第九節(jié) 實際物理系統(tǒng)數(shù)學模型建立舉例第十節(jié) Matlab在建立數(shù)學模型中有應用,2-8 數(shù)學模型的相互轉換,在實際工程中，由于要解