1、備課資料知識點(diǎn)總結(jié)函數(shù)概念及性質(zhì)1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域.如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主

2、要依據(jù)是：分式的分母不等于零； 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域.2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域

3、一致(兩點(diǎn)必須同時具備).函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域；應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)；求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、換元法、配方法、判別式法、單調(diào)性法等.3.函數(shù)圖象知識歸納定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) (xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x)(x A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上,即記為C= P(x,y) | y= f(x), xA.

4、圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于y軸的直線最多只有一個交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成.畫法：描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連結(jié)起來.圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換.作用：直觀地看出函數(shù)的性質(zhì)；利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤.4.區(qū)間的概念區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；無窮區(qū)間；區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合

5、A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射，記作“f：AB”.給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB,且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一

6、個元素在集合A中都有原象.6.函數(shù)的表示法函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；解析法：必須注明函數(shù)的定義域；圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.解析法便于算出函數(shù)值；列表法便于查出函數(shù)值；圖象法便于量出函數(shù)值.分段函數(shù)：在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)，在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式.分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的

7、取值情況.分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.復(fù)合函數(shù)：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則y=fg(x)=F(x)(xA)稱為f、g的復(fù)合函數(shù).7.函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(

8、x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1、x2；當(dāng)x1x2時，總有f(x1)f(x2) .圖象的特點(diǎn)：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法：定義法，任取x1、x2D，且x1x2；作差f(x1)-f(x2)；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù)）；下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.圖象法(從

9、圖象上看升降)；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性u=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=fg(x)增減減增注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間合在一起寫成其并集.8.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函

10、數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).由函數(shù)的奇偶性定義,可知函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）.具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)或f(-x)f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱再根據(jù)定義判定：有時判定f(-x)=f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)f(x)=0或=1來判定：利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9.函數(shù)的解析表達(dá)式函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式