1、7.5數(shù)列的前n項(xiàng)和一、學(xué)習(xí)目的：1.熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的修正公式2 .可以使用重要的數(shù)學(xué)方法來執(zhí)行加法運(yùn)算，如逆順加法、位移減法和分解項(xiàng)抵消3 .記住常用數(shù)列之和的公式二、自主學(xué)習(xí)：【課前檢查】1.(09年東城一模理15 )已知滿足增加的等比數(shù)列，并且是等差中項(xiàng)(ii )，如果是數(shù)列的前項(xiàng)和，則求出成立的最小值解：()作為等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，是(1)另外，代入(1)所以我能理解或者因?yàn)橛衷谠黾?所以.(ii )，所以可以從題意中得到，可以解開，也可以滿足條件的最小值為132 .在數(shù)列an中，求an= 、另外bn=、數(shù)列bn的前n項(xiàng)之和。解： an=(1 2 3 n)=、bn=8

2、(-) )，數(shù)列bn的前n項(xiàng)之和sn=8(1- ) (-) (-) )=8(1- )=。3 .以各項(xiàng)非零數(shù)列著稱。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)(2)如果滿足數(shù)列，則求數(shù)列前項(xiàng)之和解： (1)根據(jù)題意，所以可以整理所以，也就是說上式也成立(2)【積分卡】(1)前n項(xiàng)和公式Sn的定義： Sn=a1 a2 an。(2)數(shù)列的合訂方法(合訂8種)1 .式法：1)等差數(shù)列的修正式2 )等比數(shù)列的修正式3 )可變換為等差、等比數(shù)列數(shù)列； 4 )常用式：(一)；(2)；(三)；(4)。2 .分組加法：將數(shù)列各項(xiàng)目分成多個(gè)項(xiàng)目，或重新組合數(shù)列的項(xiàng)目，先變換為等差數(shù)列和等比數(shù)列，然后用等差、等比數(shù)列的加法公式求解。3 .

3、反相相加：如果一個(gè)數(shù)列an等于開頭兩端等“距離”的兩項(xiàng)之和，或者等于相同常數(shù)，則只要求出該數(shù)列的前n項(xiàng)之和，就能夠進(jìn)行反相相加。 例如，等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和就是用此方法導(dǎo)出的。4 .裂項(xiàng)相消法：即將各項(xiàng)分解為正負(fù)兩項(xiàng)，使正負(fù)相抵，只有幾項(xiàng)，才能求和。適用于各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列、c為常數(shù)一部分的勉強(qiáng)數(shù)列、包含階乘的數(shù)列等。 例：1)和(其中等差)可裂項(xiàng)如下： 2 )。 (根式在分母時(shí)，可以考慮利用分母有理化，公式緩和一般裂紋式：(一)；(2)；(三)；(4)(5)常見的縮約式：5 .偏差相減：適用于差比數(shù)列(等差、等比則稱為差比數(shù)列)。 即，將與各個(gè)項(xiàng)相乘的公比向后移位一個(gè)，以對應(yīng)于同次項(xiàng)進(jìn)行減

4、法運(yùn)算，并轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列的和。例如，等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和是用這種方法推導(dǎo)出的解讀：6 .累積(乘法)法7 .并項(xiàng)加法：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，如果能用兩結(jié)合求解，則稱為并項(xiàng)加法形狀像an=(-1)nf(n )類型，可以用兩個(gè)合并來求出。8 .其他方法：歸納、猜測、證明周期數(shù)列的修訂等解讀：三、合作探索：問題型一式法例1 (2005年春季北京牌17改編)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=3n-1。(1)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn的公式設(shè)定為Pn=b1 b4 b7 b3n-2、Qn=b10 b12 b14 b2n 8，在其中試著比較n=1、2、Pn和Qn的大小，證明你的結(jié)論。解：(1)Sn=n2 n。(2)

5、b1、b4、b7、b3n-2組成以3d為公差的等差數(shù)列，Pn=nb1 3d=n2-n。b10、b12、b14、b2n 8構(gòu)成以2d為公差的等差數(shù)列，b10=29，Qn=nb10 2d=3n2 26n。Pn-Qn=(n2-n)-(3n2 26n)=n(n-19 )。因此，對于正整數(shù)n，當(dāng)n20時(shí)，PnQn；在n=19的情況下，Pn=Qn； 當(dāng)n18時(shí)，PnQn。變形訓(xùn)練1如果是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=2n-p，則為解：1)在1)n=1的情況下，2 )當(dāng)時(shí)。數(shù)列是等比數(shù)列，所以因此，以等比數(shù)列為首的項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列。因此以等比數(shù)列為首的項(xiàng)是1、公比的等比數(shù)列。總結(jié)和展開：1)等差數(shù)列的修

6、正式2 )等比數(shù)列的修正式3 )可變換為等差、等比數(shù)列的數(shù)列4 )公式： (參照知識(shí)點(diǎn)部分)。 5 )等比數(shù)列的性質(zhì)：如果數(shù)列是等比數(shù)列的話則數(shù)列及也是等比數(shù)列，最初項(xiàng)分別為、公比分別為、問題型2組加法在例2數(shù)列中，已知a1=2，an 1=4an-3n 1，n -。(1)假設(shè)求數(shù)列的通式(2)將數(shù)列的前n項(xiàng)的和設(shè)為Sn，求出Sn。解： (1)然后以1為首，4為公比的等比數(shù)列(2)在變體訓(xùn)練2 (2010年豐臺(tái)期末18 )的數(shù)列中，在函數(shù)的圖像上有點(diǎn)的(ii )數(shù)列中，依次提取第3、4、6、項(xiàng)，構(gòu)成新的數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和解： (I )點(diǎn)在函數(shù)的圖像上。即以數(shù)列為首，以2為公差等差數(shù)列我

7、是。(ii )以標(biāo)題的意義而知=。總結(jié)和擴(kuò)展：將數(shù)列各項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)目，將數(shù)列項(xiàng)目重新組合，變換為等差數(shù)列或等比數(shù)列，用等差、等比數(shù)列的修正公式求解。問題型三裂項(xiàng)相消法例3 (武漢市2008年高三調(diào)查測試文科)數(shù)列前n項(xiàng)和。 (1)求數(shù)列的公式(2)求記、數(shù)列前的n項(xiàng)和解： (1)數(shù)列前n項(xiàng)之和當(dāng)n=1時(shí)，有時(shí)候另外一方面，在n=1情況下滿足所以求數(shù)列通項(xiàng)是(2)所以數(shù)列的前n項(xiàng)和變化訓(xùn)練3 (2010年東城二型19改編)已知數(shù)列的前項(xiàng)和， (I )證明數(shù)列是等比數(shù)列(ii )數(shù)列得到滿足和求得。證明： (I )為當(dāng)時(shí)，所以得到另外，所以所以，然后，所以。所以.故數(shù)列是第一項(xiàng)，是公比的等比數(shù)列由

8、(ii)(I )可知，()。就是這樣小結(jié)節(jié)和擴(kuò)張：裂項(xiàng)相消法分別分解為正負(fù)二項(xiàng)使正負(fù)相抵，只有很少的幾項(xiàng)，可以求和。 其中適用于各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)的一部分不合理的數(shù)列、包含階乘的數(shù)列等。 例：1)和(其中等差)可裂項(xiàng)如下： 2 )。 (根式在分母時(shí)，可以考慮利用分母有理化，公式緩和問題型4偏差相減求例4數(shù)列前的n項(xiàng)之和解：從問題中了解到的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)的積設(shè)置(不合格)-獲得(位置偏差減法)變化訓(xùn)練4 (2010昌平模擬)設(shè)定為數(shù)列an滿足a1 3a2 32a3 3n-1an=、nN*。(1)求數(shù)列an的公式設(shè)定(2)bn=，求出數(shù)列bn的最初的n項(xiàng)和Sn

9、。解： (1)a1 3a2 32a3 3n-1an=，當(dāng)n2時(shí)，a1 3a2 32a3 3n-2an-1=. -表示3n-1an=、an=。中，設(shè)n=1，得到a1=，適合于an=、an=。bn=，bn=n3n。Sn=3 232 333 n3n，3Sn=32 233 334 n3n 1. 得到-2sn=n3n 1-(3 32 33 3n )，即，2Sn=n3n 1-，Sn=.問題型五并項(xiàng)加法例5求得=1002-992 982-972 22-12解：=1002-992 982-97222-12=(10099 ) (9897 )(21 )=。變形訓(xùn)練2數(shù)列(-1)nn的前2010項(xiàng)的和S2 010是

10、(d )A.-2010 B.-1005 C.2010 D.1005解： s2010=-1 2-3 4-5 2008-2009 2010=(2-1) (4-3) (6-5)(2010-2009 )=1005。問題類型5累計(jì)(乘法)法及其方法：歸納、預(yù)想、證明周期數(shù)列的修訂等求例6 (1)的和(2)各項(xiàng)全部為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)的積等于Tn=(nN* )，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn中最大的一項(xiàng)為(d )A.S6 B.S5 C.S4 D.S3解： (1)原因(查找項(xiàng)和特征)(組合訂正)=(2)D變形訓(xùn)練6 (1)(2009福州八中)已知數(shù)列規(guī)則。 回答： 100. 5000。(2)數(shù)列中，前2010項(xiàng)之和等于(a )A.1005 B.2010 C.1 D.0總結(jié)和擴(kuò)展：四、課程總結(jié)：八種這些個(gè)方法各有特點(diǎn)，原則上善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)它可以進(jìn)行消除處理，或者用等差數(shù)列、等比數(shù)列的總和式和其它已知的基本總和式來解決，如果充分把握該法則，數(shù)列的總和化就不容易，可以容易地解決。五、加強(qiáng)檢查：1 .求下列數(shù)列的前項(xiàng)和(1)五、五、五、五、五、五、。 (2)；(三)； (四)；(五)； (6)。解： (1)就是這樣(2)，。是(3)就是這樣(4)、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，減去兩式，。(五