1、Matlab數(shù)值計算基礎(chǔ)功能,內(nèi) 容,向量（一維矩陣） 矩陣 數(shù)組 多項式,一、向量輸入及其運算,向量的生成： 直接輸入向量元素用括起來行向量：元素之間用空格或逗號分隔列向量：元素之間用分號分隔 用冒號表達式生成格式：X=X0:step:Xnstep缺省則默認為1,線性等分向量的生成格式：y=linspace(x1,x2,n)生成n維行向量，y(1)=x1、y(n)=x(2)若n缺省，則默認n=100 對數(shù)等分向量的生成格式：y=logspace(x1,x2,n)生成n維行向量，y(1)=10 x1、y(n)=10 x(2)若n缺省，則默認n=50,向量的運算 加、減、數(shù)乘 點積 dot(a,

2、b)，a、b必須同維 叉積 cross(a,b)，a、b為三維向量 兩個三維向量的叉積等于一個新的向量， 該向量與前兩者垂直，且長度為前兩者張成的平行四邊形面積； 混合積 dot(a,cross(b,c) 以a，b，c為棱的平行六面體的體積,二、MATLAB矩陣,2.1 矩陣的建立 1. 直接輸入法 將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。例如 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9,2. 利用M文件建立矩陣 對于比較大且比較復雜的矩陣，可以為它專門建立一個M文件。 例 利用M文件建立MYMAT矩陣。 (1)啟動有關(guān)

3、編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣. (2)把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設文件名為mymatrix.m)。 (3)運行該M文件，就會自動建立一個名為MYMAT的矩陣，可供以后使用。,3. 利用MATLAB函數(shù)建立特殊矩陣 幾個產(chǎn)生常用特殊矩陣的函數(shù)：全零陣zeros、全一陣ones、單位陣eye、均勻分布隨機陣rand、正態(tài)分布隨機陣randn。 這幾個函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩陣的zeros函數(shù)為例進行說明。其調(diào)用格式是： zeros(m) 產(chǎn)生mm零矩陣 zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣。 zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣,例 分別建立3

4、3、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。 (1)建立一個33零矩陣：zeros(3) (2)建立一個32零矩陣：zeros(3,2) (3)建立與矩陣A同樣大小零矩陣：zeros(size(A) 此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成mn的二維矩陣。,例 產(chǎn)生5階隨機方陣A，其元素為10,90區(qū)間的隨機整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。 (1) 生成5階隨機方陣A。 A=fix(90-10+1)*rand(5)+10) (2) 判斷A的元素是否可以被3整除。 P=rem(A,3)=0,其他特殊矩陣函數(shù),希爾伯特矩陣 hilb(n) 希

5、爾伯特矩陣的逆矩陣 invhilb(n) 托普利茲矩陣 toeplitz(k,r)、 toeplitz(c) 友矩陣 compan(p) 生成多項式p的友矩陣，也就是他的特征多項式是p； hadamard(k) 生成hadamard矩陣 hankel函數(shù)，生成hankel矩陣 magic(n)，生成nn的魔方矩陣 pascal函數(shù)，生成pascal矩陣 rosser，給出Rosser矩陣 vander(x)，給出向量x的范德蒙矩陣 wilkinson(n)，給出Wilkinson特征值測試矩陣,4. 建立大矩陣 大矩陣可由方括號中的小矩陣建立起來。例如 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;

6、 C=A,eye(size(A); ones(size(A),A,2. 2 矩陣的拆分 1. 矩陣元素 MATLAB允許用戶對一個矩陣的單個元素進行賦值和操作。例如 A(3,2)=200 也可以采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。,2. 矩陣拆分 (1)利用冒號表達式獲得子矩陣 A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩陣第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第kk+m列中的所有

7、元素。 此外，還可利用一般向量和end運算符等來表示矩陣下標，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標。 如a(1,end),(2)利用空矩陣刪除矩陣的元素 在MATLAB中，定義為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語句為X=。 注意，X=與clear X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間，只是維數(shù)為0。,2.3 多維矩陣 以三維矩陣為例，常用的方法有4種： (1)對二維矩陣進行擴充得到三維矩陣。 (2)若干個同樣大小的二維矩陣進行組合得到三維矩陣。 (3)除產(chǎn)生單位矩陣的eye函數(shù)外，前面介紹的建立矩陣的函數(shù)都可以延伸到三維矩陣。 (4)用cat函數(shù)構(gòu)建多維矩陣。

8、一般調(diào)用格式是： cat(n,A1,A2,An) cat函數(shù)把大小相同的若干矩陣，沿第n維方向串接成高維矩陣。當n=1和2時，沿行和列的方向串接，結(jié)果是二維矩陣。當n=3時，沿頁的方向串接，結(jié)果是三維矩陣。,2.4 矩陣的運算,2.4.1 基本算術(shù)運算 1. 四則運算等 MATLAB的基本算術(shù)運算有：(加)、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。 幾點說明：1）加減運算與數(shù)字運算格式相同，要求兩矩陣是同階的； 2）乘法要求兩矩陣有相鄰公共維； 3）用矩陣除法求解方程組Ax=b，A是(nm）階矩陣 討論A的情況： n=m且非奇異，稱恰定方程； nm，超定方程，沒有精確解，matlab

9、使用最小二乘法來求解，來找到一個向量x使它對n個方程的總誤差最??； 方法：Ab 如果b是矩陣B，則對B中的每一列相應的方程組求解 nnls(A,b) 求非負的最小二乘解 lscov(A,b,v) 求在已知協(xié)方差v的情況下的最小二乘解 nm，欠定方程，方程組有無窮多解，matlab在求解時給出一組解，無警告信息。,2 矩陣與常數(shù)間的運算 常數(shù)與矩陣的各元素間進行運算， 當作除法時，常數(shù)只能做除數(shù)。,3 矩陣的逆運算 inv 命令 4 矩陣的行列式運算 det 函數(shù),3 矩陣的逆運算 inv 命令 4 矩陣的行列式運算 det 函數(shù) 5 矩陣的冪運算 算符 6 矩陣的指數(shù)運算 expm(X)常用矩

10、陣指數(shù)函數(shù) expm1(X) Pade法求矩陣指數(shù) expm2(X) Taylor法求矩陣指數(shù) expm3(X)特征值分解法求矩陣指數(shù) 7 矩陣的對數(shù)運算 logm(A) 8 矩陣開方運算 sqrtm 函數(shù),2.4.2 矩陣的函數(shù)運算 特征向量、特征值計算函數(shù) eig、eigs 奇異值函數(shù)svd、svds 條件數(shù)函數(shù)cond、condest、rcond 特征值的條件數(shù)condeig 范數(shù)函數(shù)norm、normest 秩函數(shù)rank 跡函數(shù)trace,舉例： 1. 矩陣的逆 求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆可調(diào)用函數(shù)inv(A)。 例 用求逆矩陣的方法解線性方程組。 x1+2x2+3x3=5

11、 x1+4x2+9x3=-2 x1+8x2+27x3=6 命令如下： A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,2,6; x=inv(A)*b 一般情況下，用左除比求矩陣的逆的方法更有效，即x=Ab。,2 矩陣的秩 一個向量組的極大線形無關(guān)組的個數(shù)。 MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。例如，求例5.7中方程組系數(shù)矩陣D的秩，命令是： D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2; r=rank(D) r = 4 說明D是一個滿秩矩陣。,3 向量和矩陣的范數(shù) 1. 計算向量3種常用范數(shù)的函數(shù) (1)norm(V)或norm(V,2) 計算向量

12、V的2范數(shù) (2)norm(V,1) 計算向量V的1范數(shù) (3)norm(V,inf) 計算向量V的范數(shù) 1-范數(shù):x1=x1+x2+xn 2-范數(shù):x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范數(shù):x=max(x1,x2,xn) V=-1,1/2,1; v1=norm(V,1) %求V的1范數(shù) v2=norm(V) %求V的2范數(shù) vinf=norm(V,inf) %求范數(shù),2. 矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù) MATLAB中提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同 (含義請參見MATLAB help) A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,

13、0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19; a1=norm(A,1) %求A的1范數(shù) a2=norm(A) %求A的2范數(shù) ainf=norm(A,inf) %求A的范數(shù),4 矩陣的條件數(shù)和跡 1.矩陣的條件數(shù) 用矩陣 及其逆矩陣 的范數(shù)的乘積表示矩陣的條件數(shù)，矩陣條件數(shù)的大小是衡量矩陣“壞”或“好”的標志。 條件數(shù)大的矩陣稱為“壞矩陣”或“病態(tài)矩陣”。 MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是： (1)cond(A,1) 計算A的1范數(shù)下的條件數(shù) (2)cond(A)或cond(A,2) 計算A的2范數(shù)數(shù)下的條件數(shù) (3)cond(A,inf) 計算A的 范數(shù)下

14、的條件數(shù) A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9; C1=cond(A,1) C2=cond(A) C3=cond(A,inf),2. 矩陣的跡 方陣對角元素之和。 MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。例如， X=2 2 3;4 5 -6;7 8 9; trace(X) ans = 16,MATLAB在三維向量中的應用 1. 向量共線或共面的判斷 例 設X=(1，1，1)，Y=(-1，2，1)，Z=(2，2，2)，判斷這三個向量的共線共面問題。 命令如下： X=1,1,1;Y=-1,2,1;Z=2,2,2; XY=X;Y;YZ=Y;Z;ZX=Z;X;XYZ=X;Y;Z; ra

15、nk(XY) rank(YZ) rank(ZX) rank(XYZ),2. 向量方向余弦的計算 例 設向量V=(5，-3，2)，求V的方向余弦。 建立一個函數(shù)文件direct.m： function f=f(v) r=norm(v); if r=0 f=0 else f=v(1)/r,v(2)/r,v(3)/r; end return 在MATLAB命令窗口，輸入命令： v=5,-3,2; f=direct(v),3. 向量的夾角 例 設U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U,V間的夾角。 命令如下： U=1,0,0;V=0,1,0; r1=norm(U);r2=norm(V); UV=

16、U*V;cosd=UV/r1/r2; D=acos(cosd) 4. 兩點間的距離 例 設 U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U、V兩點間的距離。 命令如下： U=1,0,0;V=0,1,0;UV=U-V; D=norm(UV),5. 向量的向量積 例 設U=(2，-3，1)，V=(3，0，4)，求UV。 命令如下： U=2,-3,1;V=3,0,4;W=eye(3); A1=W(1,:);U;V;A2=W(2,:);U;V;A3=W(3,:);U;V; UV=det(A1),det(A2),det(A3) UV= -12 -5 9 6. 向量的混合積 例 設U=(0，0，2)，V=(

17、3，0，5)，W=(1，1，0)，求以這三個向量構(gòu)成的六面體的體積。 命令如下： U=0,0,2;V=3,0,5;W=1,1,0; A=U;V;W; det(A) ans = 6,7. 點到平面的距離 例 求原點到平面X+Y+Z=1的距離。 命令如下： u=0,0,0;v=1,1,1; % A=B=C=1,u1=u2=u3=0,D=-1 r=abs(u*v-1)/norm(v,2) r = 0.5774,2.4.3 矩陣分解函數(shù) 特征值分解函數(shù)eig 復數(shù)特征值對角陣與實數(shù)塊特征值對角陣地轉(zhuǎn)化cdf2rdf、rsf2csf 奇異值分解svd LU分解 L,U=lu(A) 將方陣A分解為交換下三

18、角矩陣L和上三角矩陣U，使 A=LU L,U,P=lu(A) 將方陣A分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U，使 PA=LU Chol分解chol QR分解 （正規(guī)正交矩陣Q與上三角形矩陣R）Q,R=qr(A)，根據(jù)方陣A，求一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使A=Q*R例如，對矩陣A進行QR分解的命令是： A=2,1,-2;1,2,1;2,5,3; Q,R=qr(A),例： A=2,1,4,6;1,2,1,5;4,1,3,4;6,5,4,2; Q,D=eig(A) Q*D*Q ans = 2.0000 1.0000 4.0000 6.0000 1.0000 2.0000 1.0000 5.0000

19、 4.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 2.0000 結(jié)果與A相等，說明確實將A分解為了QDQ的乘積。,1、對角陣與三角陣 矩陣的對角元素 (1)提取矩陣的對角線元素 設A為mn矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。 diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。 (2)構(gòu)造對角矩陣 設V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個mm對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。 diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。,2.4.4

20、 矩陣的一些操作,例 先建立55矩陣A，然后將A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，第5行乘以5。 命令如下： A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19; D=diag(1,2,3,4,5); D*A,矩陣的三角陣 (1)下三角矩陣 求矩陣A的下三角陣的MATLAB函數(shù)是tril(A)。 tril(A)函數(shù)也有更進一步的一種形式tril(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以下的元素。 (2)上三角矩陣 在MATLAB中，提取矩陣A的上三角矩陣的函數(shù)是triu(A)和triu(A,k)，其用法與提取下三角矩陣的函數(shù)tril(A)和tril(A,k)完全相同。,2、 矩陣變向 1. 矩陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運算符是單撇號() 2. 矩陣的旋轉(zhuǎn) rot90(A,k)，功能是將矩陣A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90的k倍 當k為1時可省略 3. 矩陣的左右翻轉(zhuǎn) fliplr(A) 4. 矩陣的上下翻轉(zhuǎn) flipud(A) 5.第dim維翻轉(zhuǎn) flipdim(A,dim),3、變維 （1）reshape(x,m,n)，將矩陣x變