1、,習(xí)題課,一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法,二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法,定積分及其相關(guān)問(wèn)題,第五章,一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法,1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限,2. 用定積分性質(zhì)估值,3. 與變限積分有關(guān)的問(wèn)題,例1. 求,解: 因?yàn)?時(shí),所以,利用夾逼準(zhǔn)則得,1) 思考例1下列做法對(duì)嗎 ?,利用積分中值定理,不對(duì) !,且,說(shuō)明:,2) 此類問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng) .,如, P270 題7,故沒理由認(rèn)為,解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和形式,已知,利用夾逼準(zhǔn)則可知,(1998考研),例2. 求,思考:,提示:由上題,故,練習(xí): 1.,求極限,解：,原式,2. 求

2、極限,提示：,原式,左邊,= 右邊,例3.,估計(jì)下列積分值,解: 因?yàn)?即,例4. 證明,證: 令,則,令,得,故,例5.,設(shè),在,上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，,試證,都有不等式,證明：顯然,時(shí)結(jié)論成立.,(用積分中值定理),當(dāng),時(shí),故所給不等式成立 .,明對(duì)于任何,例6.,且由方程,確定 y 是 x 的函數(shù) , 求,解：方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得,令 x = 1, 得,再對(duì) y 求導(dǎo), 得,故,例7.,求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足,解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,不妨設(shè) f (x)0,則,注意 f (0) = 0, 得,例8. 求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程,解: 令,則,代入原方程得,

3、兩邊求導(dǎo):,可見 f (x) 應(yīng)為二次多項(xiàng)式 ,設(shè),代入 式比較同次冪系數(shù) , 得,故,再求導(dǎo):,二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法,1. 熟練掌握定積分計(jì)算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算,3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分,4. 有關(guān)定積分命題的證明方法,思考: 下列作法是否正確?,例9. 求,解: 令,則,原式,例10. 選擇一個(gè)常數(shù) c , 使,解: 令,則,因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使,即,可使原式為 0 .,例11. 設(shè),解:,例12. 如圖, 曲線 C 的方程為,解:,是它的一,個(gè)拐點(diǎn),線, 其交點(diǎn)為(2,4),設(shè)函數(shù)f (x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定,積分

4、,直線 l1與 l2 分別是曲線C在點(diǎn)(0, 0)與(3, 2)處的切,(2005 考研),0,例13. 若,解: 令,試證 :,則,因?yàn)?對(duì)右端第二個(gè)積分令,綜上所述,例14. 證明恒等式,證: 令,則,因此,又,故所證等式成立 .,例15.,試證,使,分析:,即證,故作輔助函數(shù),至少存在一點(diǎn),即,證明: 令,在,上連續(xù),在,至少,使,即,因在,上,連續(xù)且不為0 ,從而不變號(hào),因此,故所證等式成立 .,故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn),思考: 本題能否用柯西中值定理證明 ?,如果能, 怎樣設(shè)輔助函數(shù)?,提示: 設(shè)輔助函數(shù),例15,例16.,設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且,(1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使,(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使,(2003 考研),證: (1),由 f (x)在a, b上連續(xù),知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)內(nèi)單調(diào)增,因此,(2) 設(shè),滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中結(jié)論得,因此得,例16 題,例17. 設(shè),證: 設(shè),且,試證 :,則,故 F(x