1、1 函數(shù)逼近的基本概念,第3章 函數(shù)逼近與快速傅里葉變換,一、函數(shù)逼近與函數(shù)空間,函數(shù)類A通常是連續(xù)函數(shù)，函數(shù)類B通常是多項(xiàng)式，有理函數(shù)或分段低次多項(xiàng)式。,二、范數(shù)與賦范線性空間,三、內(nèi)積與內(nèi)積空間,2 正交多項(xiàng)式,一、正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式,二、勒讓德多項(xiàng)式,三、切比雪夫多項(xiàng)式,四、其他常用正交多項(xiàng)式,3 最佳平方逼近,一、函數(shù)的最佳平方逼近,二、用正交函數(shù)族求最佳平方逼近,4 曲線擬合的最小二乘法,一、擬合問題的提出及其最小二乘法,x,例9 已知實(shí)測數(shù)據(jù)表,試用最小二乘法求多項(xiàng)式曲線與此數(shù)據(jù)組擬合.,例10 已知實(shí)測數(shù)據(jù)表,試求它的最小二乘擬合.,二、用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合,用MATL

2、AB作多項(xiàng)式最小二乘擬合,1. 作多項(xiàng)式 f (x)=amxm+ +a1x+a0 擬合,可利用已有程序:,a= polyfit (x,y,m),2.多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算： y=polyval（a，x）,例 : 對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項(xiàng)式擬合,即要求 出二次多項(xiàng)式:,中 的 使得:,最小.,1）輸入以下命令： x=0.1:0.1:1; y=1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形,2）計(jì)算

3、結(jié)果： = -8.0803 17.9488 0.5429,5 有 理 逼 近,3.5.1 有理逼近與連分式,有理函數(shù)逼近是指用形如,的函數(shù)逼近,與前面討論一樣，如果 最小就可得到 最佳有理一致逼近.,（5.1）,如果 最小則可得到最佳有理平方逼近 函數(shù).,本節(jié)主要討論利用函數(shù)的泰勒展開獲得有理逼近函數(shù) 的方法.,對函數(shù) 用泰勒展開得,（5.2）,取部分和,另一方面若對（5.2）式用輾轉(zhuǎn)相除可得到 的,一種連分式展開,（5.3）,（5.4）,（5.3）右端為 的無窮連分式的前5項(xiàng)，最后式子,若取（5.3）的前2，4，6，8項(xiàng)，則可分別得到 的以下有理逼近,是它的緊湊形式.,若用同樣多項(xiàng)的泰勒展開

4、部分和 逼近,并計(jì)算 處的值 及 ，計(jì)算結(jié)果見表3-3.,的準(zhǔn)確值為,從表3-3可以看出，,但它們的計(jì)算量是相當(dāng)?shù)?，這說明用有理逼近比多項(xiàng)式逼近好得多.,由此看出 的精度比 高出近10萬倍，,例9,用輾轉(zhuǎn)相除法將它化為連分式并寫成緊湊形式.,解,給出有理函數(shù),用輾轉(zhuǎn)相除可逐步得到,本例中用連分式計(jì)算 的值只需3次除法，1次乘 法和7次加法.,若直接用多項(xiàng)式計(jì)算的秦九韶算法則需6次乘法和1次 除法及7次加法.,可見將 化成連分式可節(jié)省計(jì)算乘除法次數(shù).,對一般的有理函數(shù)（5.1）可轉(zhuǎn)化為一個(gè)連分式,它的乘除法運(yùn)算只需 次.,而直接用有理函數(shù)（5.1）計(jì)算乘除法次數(shù)為 次.,3.5.2 帕德逼近,

5、利用函數(shù) 的泰勒展開可以得到它的有理逼近.,設(shè) 在 的泰勒展開為,（5.5）,它的部分和記作,（5.6）,定義8,設(shè),其中 無公因式，且滿足條件,（5.8）,則稱 為函數(shù) 在 處的 階帕德逼近，,記作 ,簡稱 的帕德逼近.,如果有理函數(shù),（5.7）,根據(jù)定義，若令,則滿足條件（5.8）等價(jià)于,即,由于 應(yīng)用萊布尼茲求導(dǎo)公式得,這里 是由（5.6）得到的，,上式兩端除 ，,并由 可得,（5.9）,及,（5.10）,注意當(dāng) 時(shí),故（5.10）可寫成,（5.11）,其中 時(shí) ，,若記,（5.12）,則方程組（5.11）的矩陣形式為,定理11,（5.7）的有理函數(shù) 是 的 階帕德逼近的,充分必要條件是

6、多項(xiàng)式 的系數(shù),及 滿足方程組（5.9）及（5.11）.,設(shè),則形如,根據(jù)定理11, 求 的帕德逼近時(shí)，首先要由（5.11）,解出 的系數(shù) ，,的系數(shù) .,的各階帕德逼近可列成,再由（5.9）直接算出,一張表，稱為帕德表（見表3-4）.,例10,求 的帕德逼近 及 .,解,由 的泰勒展開,得,當(dāng) 時(shí)，由（5.11）得,求得,再由（5.9）得,于是得,當(dāng) 時(shí)，由（5.11）得,代入（5.9）得,解得,于是得,可以看到這里得到的 及 與 的前面,為了求帕德逼近 的誤差估計(jì)，由(5.9)及(5.11) 求得的 系數(shù) 及 ，直 接代入則得,將 除上式兩端，即得,連分式展開得到的有理逼近（5.4）結(jié)果一樣.,（5.13）,其中,當(dāng) 時(shí)可得誤差近似表達(dá)式,6 三角多項(xiàng)式逼近與快速傅立葉變換,當(dāng) 是周期函數(shù)時(shí)，顯然用三角多項(xiàng)式逼近 比用代數(shù)多項(xiàng)式更合適，本節(jié)主要討論用三角多項(xiàng)式做最 小平方逼近及快速傅里葉變換，簡稱FFT算法.,1、最佳平方三角逼近與三角插值,設(shè) 是以 為周期的平方可積函數(shù)，用三角多 項(xiàng)式,（6.1）,做最佳平方逼近函數(shù).,由于三角函數(shù)族,在 上是正交函數(shù)族，于是 在 上的最佳 平方三角逼近多項(xiàng)式 的系數(shù)是,最佳平方三角逼近,稱為傅里葉系數(shù).,函數(shù) 按傅里葉系數(shù)展