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文檔簡介

1、絕對收斂與條件收斂,一、 交錯級數(shù)及其斂散性,交錯級數(shù)是各項正負相間的一種級數(shù)，它的一般形式為,或,其中，un0 (n=1, 2, ),定理(萊布尼茲判別法) 若交錯級數(shù),滿足條件,(1),(2) unun+1 (n=1, 2, ),則交錯級數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.,(級數(shù)收斂的必要條件),證 只需證明級數(shù)部分和Sn當n時的極限存在.,1) 取交錯級前2m項之和,由條件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及,由極限存在準則：,2) 取交錯級數(shù)的前2m+1項之和,由條件1):,綜上所述，有,例1. 討論級數(shù),的斂散性.,解：這是一個交錯級數(shù)，,又,由萊布尼茲判別法，該級數(shù)是收斂.,

2、例2. 判別級數(shù),的斂散性.,解：這是一個交錯級數(shù)，,又,令,x2, +)，則,x2, +)，,故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由萊布尼茲判別法，該級數(shù)收斂.,解,原級數(shù)收斂.,二、 任意項級數(shù)及其斂散性,(1) 級數(shù)的絕對收斂和條件收斂,定義：若級數(shù),對收斂的；若級數(shù),但級數(shù),定理：若,(即絕對收斂的級數(shù)必定收斂),證： un |un|,從而,上定理的作用：,任意項級數(shù),正項級數(shù),解,故由定理知原級數(shù)絕對收斂.,定理 (達朗貝爾判別法) 設(shè)有級數(shù),若,(1) 1時, 級數(shù)絕對收斂；,(2) 1 (包括= )時，級數(shù)發(fā)散；,(3) =1時，不能由此斷定級數(shù)的斂散性.,例5.

3、判別級數(shù),的斂散性.,解：,由P一級數(shù)的斂散性，,即原級數(shù)絕對收斂.,例6. 判別,的斂散性，其中，x1為常數(shù).,解：記,當|x|1時，=|x|1, 原級數(shù)絕對收斂.,當|x|1時，=1, 此時不能判斷其斂散性.,由達朗貝爾判別法：,但|x|1時，,從而，原級數(shù)發(fā)散.,例6. 級數(shù),是否絕對收斂?,解：,由調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性可知，,故,發(fā)散.,但原級數(shù)是一個收斂的交錯級數(shù)：,故原級數(shù)是條件收斂，不是絕對收斂的.,(2) 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1. 任意交換絕對斂級數(shù)中各項的位置，其斂散性不變，其和也不變.,性質(zhì)2. 兩個絕對收斂的級數(shù)的積仍是一個絕對收斂的級數(shù)，且其和等于原來兩個級數(shù)的和之積.,小

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