1、二重積分的定義和計算，知識的準(zhǔn)備，定積分的回憶。讓一元函數(shù)y=f (x)在A和b中是可積的。然后，如圖所示，其中xi=xi 1 xi代表單元格之間xi和xi 1的長度，而f (i) xi代表一個小矩形的面積。這里有一個空間幾何學(xué)。它的底面是xoy平面上的區(qū)域D，它的側(cè)面是母線，它的頂面是曲面z=f (x，y)，我們稱之為曲面頂柱。眾所周知，頂部為平面的平頂圓柱的體積v在底部區(qū)域較高，那么如何計算曲面圓柱的體積v呢？(1)將d分成n個小區(qū)域，Dn，每個小區(qū)域di對應(yīng)一個小的曲面頂柱，如圖所示，z=f (x，y)，z=f (x，y)，Di，Di，計算步驟，(2)因為Di很小，小平頂柱的高度=f (

2、i，I)。如果I=di的面積，那么小平頂圓柱體的體積=f (i，i) i小曲頂圓柱體的體積。(3)因此，大的曲頂圓柱體的體積越細(xì)分，右端的近似值越接近精確值V，如果無限細(xì)分，右端的近似值將無限接近精確值V 1。設(shè)z=f (x，y)是在有界閉區(qū)域DR2上定義的有界函數(shù)。將D分成n個沒有公共內(nèi)點的小區(qū)域Di(I=1，2，n)，其面積表示為I，I(I)Di，積，f (i，i) i，2，2有一個f (x，y)的極限，它在D上是可積的，表示為f (x，y) R(D)，這個極限I是f (x，y)在D上的二重積分。附注1。定積分、二重積分的區(qū)別在于將單元間的長度xi變換成小面積的面積I，將數(shù)軸上I點的單變量

3、函數(shù)f (x)的函數(shù)值f (i)變換成平面上I點的二元函數(shù)f (x，y)的函數(shù)值f (i，I)?？梢钥闯龆胤e分是定積分的推廣注2。如果D除以平行于X軸和Y軸的兩條線(如圖所示)，除了邊界上的區(qū)域之外，Di是一個矩形，它的面積是：所以也寫二重積分。此時，面積元素被寫成：d=dxdy，i=伊稀，2。二重積分的幾何意義：如果X和Y在D上是可積的，那么(1) (2)當(dāng)z=f (x，y)0，(3)，=(D1曲面上的圓柱體的體積)(D2曲面上的圓柱體的體積)，3。二重積分的性質(zhì)。設(shè)d是一個有界閉區(qū)域，所有下列積分都以直角存在。如果點X處的橫截面積為A(x)，則計算體積、三重積分和二重積分。如果積分面積D表示為：二重積分用直角坐標(biāo)系計算，稱為X型、(特殊情況)、積分面積D一般為：X型，-先積分Y，然后在Y積分的第二次積分后，如果面積如圖所示，比值既不是X型也不是Y型，如果用積分公式得出：在三個分割面積上，必須進(jìn)行分割。解是1:首先畫出積分面積，這說明D是Y型。將d投影到y(tǒng)軸。所以、解2:d也是x類型，將d投影到x軸。例如，例2