1、第二章圓錐曲線和方程1橢圓的定義對(duì)解決問題很有用橢圓的定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線的簡單性。如果定義使用得當(dāng)，有些問題可以達(dá)到事半功倍的效果。這里有一些例子來說明。1.尋求最大值例1線段| AB |=4，| pa | | Pb |=6，m是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p在同一平面內(nèi)移動(dòng)時(shí)，PM的最小長度為()A.2 BC.D.5分析上，因?yàn)閨 pa | | Pb |=64=| ab |，p點(diǎn)的軌跡由橢圓定義為以m為原點(diǎn)、a和b為焦點(diǎn)的橢圓，a=3，c=2， b=。因此，顆粒物的最小長度為b=。答案三2.找到移動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)例2橢圓上兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2之間距離的最大乘積=1的點(diǎn)的坐標(biāo)是_ _ _ _ _

2、 _ _ _ _。假設(shè)橢圓上的移動(dòng)點(diǎn)解析地為p，根據(jù)橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a=10，因此，| pf1 | | pf2 | 2=2=25，當(dāng)且僅當(dāng)| pf1 |=| pf2 |，取等號(hào)。經(jīng)過獲取| pf1 |=| pf2 |=5=a，此時(shí)，點(diǎn)p恰好是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，也就是說，點(diǎn)的坐標(biāo)是p (3，0)。答案(3，0)從橢圓的定義注釋中，我們可以得到“|PF1| |PF2|=10”，即兩個(gè)正數(shù)之和|PF1|和|PF2|是固定值，并且|PF1|和|PF2|的最大乘積可以通過組合基本不等式得到，點(diǎn)p的坐標(biāo)可以通過組合圖得到。3.找到焦點(diǎn)三角形區(qū)域例3如圖所示，已知橢圓方程為=1。如果

3、點(diǎn)p位于第二象限，并且pf1f2=120，則計(jì)算PF1F2的面積。解被稱為a=2，b=，所以c=1，| f1f2 |=2c=2。PF1F2中，源自余弦定理| PF2 | 2=| PF1 | 2+| F1F 2 | 2-2 | PF1 | | F1F 2 | cos 120，即| pf2 | 2=| pf1 | 2 4 2 | pf1 |，由橢圓定義，| pf1 | | pf2 |=4。即| pf2 |=4-| pf1 |。將替換為，得到| pf1 |=。所以s pf1f2=| pf1 | | f1f2 | sin120=2=，也就是說，PF1F2的面積為。在PF1F2中，關(guān)于|PF1|、|PF

4、2|的方程可以通過橢圓和余弦定理的定義得到，并且|PF2|可以求解|PF1|可以消去。從上述問題中不難發(fā)現(xiàn)，我們首先應(yīng)該考慮用橢圓的定義來解決涉及橢圓上的點(diǎn)和橢圓的焦點(diǎn)的問題。解拋物問題的兩個(gè)五種技巧1.不求設(shè)計(jì)，整體處理例1:已知拋物線Y2=-8x的弦PQ被點(diǎn)A (-1，1)二等分，并求出弦PQ的直線方程。如果PQ的兩個(gè)端點(diǎn)是P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么Y=-8X1，Y=-8X2。兩種減法，Y-y=-8 (x1-x2)，即，(y1 y2) (y1-y2)=-8 (x1-x2)。* A是PQ的中點(diǎn)，y1+y2=2，即y1-y2=-4 (x1-x2)。=-4,kPQ=-4.因此，弦P

5、Q所在的直線方程是y-1=-4 (x 1)，那是4x y 3=0。2.巧用定義找到最大值例2:固定長度為3的線段ab的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為m，得到m點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離。解決方案如下：AAl、MNl、BBl，l是拋物線y2=x的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線方程y2=x，知道2p=1，=。假設(shè)從m點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是d，d=|MN|-。根據(jù)拋物線的定義，| af |=| aa |，| BF |=| bb |。因?yàn)锳A、BB和MN垂直于準(zhǔn)線，因此，AA MNBB ，因此，MN是梯形aa b B的中線.然后| Mn |=(| aa | | bb |)=(| af | | BF |)。如果AB不

6、在焦點(diǎn)上，那么根據(jù)三角形的性質(zhì)，獲取| af | | BF | | ab |如果AB通過焦點(diǎn)f，然后| Mn |=(| af | | BF |)=| ab |=。因此，當(dāng)AB通過f時(shí)，|MN|是最小的，d也是最小的。d=|MN|-=-=。因此，從m點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離是。3.巧設(shè)拋物線方程例3拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，由直線y=x 1截得的弦長是，所以可以得到這個(gè)拋物線的方程。如果拋物線方程是y2=ax (a 0)，那么y被消除，x2 (2-a) x 1=0。假設(shè)切割線的兩端是A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1和x2是方程的兩個(gè)實(shí)根。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，X1 x2=a-2，x1

7、x2=1。根據(jù)弦長公式，我們知道=，那是=，解是a=-1或a=5。因此，拋物線方程是y2=-x或y2=5x。4.巧妙地設(shè)置弦所在直線的方程例4一條直線穿過拋物線y2=2px (P0)的焦點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1和y2。證明了y1y2=-p2。證明了當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線和拋物線之間不會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，因此，通過焦點(diǎn)的直線方程可以被設(shè)置為x-=my，也就是說，x=my，代入y2=2px，Y2-2pmy-p2=0。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，y1y2=-p2。5.巧妙設(shè)置拋物線上各點(diǎn)的坐標(biāo)例5如圖所示，拋物線y2=2px (P0)上的一個(gè)固定點(diǎn)P(P在x軸之上)被用作兩條直線，分別

8、與拋物線a和b相交。當(dāng)pa和PB的斜率存在且傾角互補(bǔ)時(shí)，證明直線ab的斜率為非零常數(shù)。讓p，a，b，kpa=-kpb，=-。完成后，y1 y2=-2y0。KAb=-(Y00)。因此，直線AB的斜率是非零常數(shù)。3巧用拋物線聚焦弦如圖所示，AB是通過焦點(diǎn)f的拋物線y2=2px (P0)的弦。假設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，通過A，M和B垂直于拋物線的準(zhǔn)線L，并且垂直的腳分別是A1，M1和B1，可以得出以下重要結(jié)論：(1)直徑為AB的圓必須與準(zhǔn)線相切；(2) | ab |=2 (x0)(焦距與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)；(3)| AB |=x1+x2+p；(4)點(diǎn)A和點(diǎn)B的

9、橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)固定值。即x1x2=，y1y 2=-p2；(5)a1fb1f；(6)、和B1共線；(7)+=。證明了當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，也就是說，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，| fa |=| FB |=p，+=+=.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，讓直線AB的方程為Y=k，替換y2=2px。 2=2px，即k2x2-p (2 k2) x=0。讓A(xA，yA)，B(xB，yB)，Xa XB=，xA+xB=。| FA |=Xa+，|FB|=xB+，|FA|+|FB|=xA+xB+p，|FA|FB|=xAxB+(xA+xB)+=(xA+xB+p)。|FA|+|FB|=|FA|FB|，也就是說。對(duì)這一結(jié)

10、論的評(píng)論是拋物線穿過焦點(diǎn)的一個(gè)重要性質(zhì)。在解決問題時(shí)，我們不能忽視ABx軸心。假設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)Y2=4x，A，B和C是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，如果=0，那么| | | | |=_ _ _ _ _ _ _。分析上，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，和f (1，0)。已知者=0(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0，即x1 x2 x3=3，|+|+|=x1+x2+x3+p=6。回答64解析幾何中定值和最大值問題的解法分析1.定點(diǎn)和定值對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題，我們應(yīng)該善于用辯證的觀點(diǎn)進(jìn)行思考和分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變化”中尋求定值的“不變性”，并運(yùn)用特殊的探索方法(特殊值、

11、特殊位置、特殊圖形等)。)先確定固定值，從而揭開謎底。這樣，盲目探索問題就可以轉(zhuǎn)化為具有方向和目標(biāo)的一般證明問題，從而找到解決問題的突破口。示例1:眾所周知，橢圓的中心是坐標(biāo)的原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1，穿過橢圓右焦點(diǎn)的直線在點(diǎn)a和b處與橢圓相交，并且與a=(3，-1)共線。設(shè)m為橢圓上的任意點(diǎn)，且= (，R)，并證明 2 2為常數(shù)值。證明了M是橢圓上的任意點(diǎn)。如果m和a重合，然后=，其中=1，=0， 2 2=1。現(xiàn)在有必要證明 2 2是固定值1。假設(shè)橢圓方程為=1 (AB0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)。- get=0，那是=-=-，并且kab=，y

12、0=-x0.直線的方向向量是，a，=.* a2=3 B2，橢圓方程是x2 3y2=3b2，線性方程是y=x-C .同時(shí)發(fā)生的4x2-6cx 3c2-3b2=0。* x1+x2=c，x1x2=c2。讓M(x，y)，然后通過= ，必須代入橢圓方程得到它2(x+3y)+2(x+3y)+2(x1 x2+3y1 y2)=3 B2。并且x 3y=3b2，x3y=3 B2，x1x2+3y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2=c2-c2+3c2=0， 2 2=1，所以 2 2是一個(gè)固定值。例2已知在拋物線y2=2px (P0)上有兩個(gè)移動(dòng)點(diǎn)a和b和一個(gè)固定點(diǎn)M(x0，y0)，f是拋物線的焦點(diǎn)，并且|

13、AF|，|MF|和|BF|成為算術(shù)級(jí)數(shù)。證明了線段ab的垂直平分線穿過不動(dòng)點(diǎn)(x0 p，0)。證明了A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義，稱為|AF|=x1+，|BF|=x2+，|MF|=x0+。因?yàn)閨AF|、|MF|和|BF|是算術(shù)級(jí)數(shù)，因此2 | MF |=| af | | BF |，那就是x0=。假設(shè)AB的中點(diǎn)是(x0，t)，t=。Kab=。線段AB的垂直平分線方程是y-t=-(x-x0)，也就是說，tx-(x0(p)py=0。因此，線段AB的垂直平分線與固定點(diǎn)(x0 p，0)相交。2.最大值問題解決圓錐曲線最大值問題一般有兩種方法：一是幾何方法，特別是圓錐曲線的定義和平面幾

14、何的相關(guān)結(jié)論，非常巧妙；二是代數(shù)方法，將二次曲線中的最大值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)選擇參數(shù)法、配點(diǎn)法、判別式法、三角形定界法、函數(shù)單調(diào)法和基本不等式法求解最大值或最小值。例3已知f是雙曲線的左焦點(diǎn)-=1，A(2，4)和p是雙曲線右分支上的移動(dòng)點(diǎn)，所以| pf | | pa |的最小值是_ _ _ _ _。分析上，讓右焦點(diǎn)為F，根據(jù)雙曲線的定義，F(xiàn)的坐標(biāo)為(5，0)，| pf |-| pf |=6。|pf|+|pa|=6+|pf|+|pa|，最小化| pf | | pa |，只要| pf | | pa |是最小值，| pF | | pa |最小需求p，f

15、和a共線。最小值為6 | f a |=6=11?；卮?1關(guān)于“化曲線為直線”求距離相關(guān)的最大值是平面幾何中的一個(gè)巧妙方法，特別是對(duì)于移動(dòng)點(diǎn)與固定點(diǎn)之間的距離之和的最大值，并以二次曲線為重點(diǎn)。例4眾所周知，在平面中從移動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)F(1，0)的距離與從點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離之差等于1。(1)求出移動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程；(2)交叉點(diǎn)F是兩條直線l1、l2，它們具有斜率并且彼此垂直。讓l1和軌跡C在點(diǎn)A，B相交，l2和軌跡C在點(diǎn)D，E相交，得到最小值。(1)讓移動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，這意味著-| x |=1。簡化y2=2x 2 | x |。當(dāng)x0時(shí)，Y2=4x當(dāng)x0時(shí)Y=0。因此，移動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程

16、是(2)如圖所示，從問題的含義來看，直線l1的斜率存在并且不是0。如果設(shè)置為k，l1的等式為y=k (x-1)。k2x2-(2k2 4) x k2=0。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，X1和x2是上述等式的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么x1 x2=2，x1x2=1。因?yàn)閘1l2，l2的斜率是-。讓D(x3，y3)，E(x4，y4)，那么x3 x4=2 4k2和x3x4=1可以用同樣的方法得到。因此=()()=+=|+|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+1+1+(2+4k2)+1=8+48+42=16。當(dāng)且僅當(dāng)k2=，也

17、就是說，當(dāng)k=1時(shí)，最小值為16。5.圓錐曲線中探索性問題的解法作為探索性問題之一，探索性問題具有內(nèi)容廣泛、關(guān)鍵問題豐富等命題要求，便于考查、分析、比較、猜測(cè)和歸納等綜合能力，因此受到命題者的喜愛。二次曲線的探索性問題是指在給定條件下，是否有一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、性質(zhì)、圖形)使某一數(shù)學(xué)結(jié)論成立的數(shù)學(xué)問題。圓錐曲線中的探索性問題只是為了幫助學(xué)生復(fù)習(xí)而開發(fā)的。1.常數(shù)存在問題例1直線y=ax 1和雙曲線3x2-y2=1在兩點(diǎn)a和b相交，有沒有這樣一個(gè)實(shí)數(shù)a使a和b關(guān)于直線l對(duì)稱：y=2x？請(qǐng)解釋原因。分析首先假設(shè)實(shí)數(shù)A的存在，然后根據(jù)推理或計(jì)算得出滿足問題含義的結(jié)果，或者得出與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，從而否定假設(shè)，得出不存在數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)論。求解實(shí)數(shù)A的存在性，使A和B關(guān)于直線L對(duì)稱：Y=2x，并假設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是。根據(jù)主題設(shè)置=2，即y1 y2=2 (x1 x2)，a和b在直線y=ax 1上，y1=ax1+1,y2=ax2+1，y1+y2=a(x1+x2)+2,2(x1 x2)=的a (x1 x2) 2。即，(2-a) (x1 x2)=2，同時(shí)發(fā)生的得到(3-a2) x2-2