1、第二單元圓錐曲線和方程1橢圓定義解題中的妙計橢圓的定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，闡明了曲線中存在的幾何性質(zhì)。有些問題是，如果正確運(yùn)用定義來解決，可以取得更多的成果，下面用幾個例子來說明1 .求最大值例1線段|AB|=4，|PA| |PB|=6，m是AB的中點(diǎn)，p點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動時，PM長度的最小值為()A.2 B. C. D.5因?yàn)榉治鍪莬PA| |PB|=64=|AB|，所以由橢圓定義的p點(diǎn)的軌跡是以m為原點(diǎn)、以a、b為焦點(diǎn)的橢圓，a=3、c=2、b=.答案c2 .求出動點(diǎn)坐標(biāo)例2橢圓=1上到2個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離乘積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)為_ _ _ _ _ _ _ _ _ .分析以橢圓上的動點(diǎn)為

2、p，由橢圓的定義可知|PF1| |PF2|=2a=10，|PF1|PF2|2=2=25，且僅在|PF1|=|PF2|的情況下取等號。從解中|PF1|=|PF2|=5=a，此時的點(diǎn)p正好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)即，求出的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0 )。回答(三，零)根據(jù)橢圓的定義，評價可以將“|PF1| |PF2|=10”，即2個正數(shù)|PF1|，|PF2|之和作為一定值，與平均不等式一起求出|PF1|，|PF2|積的最大值3 .求出焦點(diǎn)三角形面積如例3圖所示，已知橢圓方程式為=1，點(diǎn)p位于第二象限，如果PF1F2=120，則求出PF1F2的面積.從已知解開始，a=2，b=、c=1，|F1F2|=2c=2。在P

3、F1F2中，從侑弦定理得到pf2|2=|pf1|2| f1f2|2| pf1|f1f2| cos 120，即|PF2|2=|PF1|2 4 2|PF1|、從橢圓定義|PF1| |PF2|=4，即|PF2|=4-|PF1|.將代入，|PF1|=。SPF1F2=|PF1|F1F2|sin 120=2=，即PF1F2的面積為。評價在PF1F2中，根據(jù)橢圓的定義和侑弦定理，對于|PF1|，|PF2|的方程組，可以消去|PF2|，可以求出|PF1|。根據(jù)以上的問題，有關(guān)橢圓上的點(diǎn)和橢圓焦點(diǎn)的問題，首先必須考慮利用橢圓的定義來解決2求橢圓離心率的方法1 .根據(jù)橢圓的定義求離心率例1以橢圓的焦距長度為直徑超

4、過2個焦點(diǎn)的圓，正交橢圓在4個不同點(diǎn)，依次連接4個這些個點(diǎn)和2個焦點(diǎn)構(gòu)成正好1個正六邊形時，該橢圓的離心率為如解析圖所示，設(shè)橢圓的方程式為=1 (ab0 )，半焦距長度為c，根據(jù)問題意味著F1AF2=90，AF2F1=60。|AF2|=c，|AF1|=2csin 60=c。|AF1| |AF2|二十進(jìn)制。e=-1。答案-1本問題利用圓和正六邊形的幾何性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義，化難，解決問題簡單2 .解方程(群)求離心率例2橢圓=1 (AB0)的左焦點(diǎn)是F1(-c，0 )、A(-a，0 )、B(0，b )是兩個頂點(diǎn)，如果從F1到直線ab的距離為，則橢圓的離心率e如解析圖所示，直線AB的方程式為=1即

5、，bx-ay ab=0。從點(diǎn)F1(-c，0 )到直線AB的距離為，|a-c|=，即，7a2-14ac 7c2=a2 b2。另外，得到了b2=a2-c2、整理、5a2-14ac 8c2=0。兩邊都用a2除以e=知道。 8e2-14e 5=0。解e=或e=(舍去)。答案3 .用數(shù)形結(jié)合求出離心率例3在平面垂直角坐標(biāo)系中，橢圓=1(ab0 )的焦距長度為2，圓o的半徑為a，通過點(diǎn)p做成圓o的兩條切線，如果這些個的兩條切線相互垂直，則離心率e=_。如解析圖所示，切線PA、PB相互垂直，PA=PB。再有，OAPA、OBPB、OA=OB，四邊形OAPB是正方形所以O(shè)P=OA，即，a，e=。答案4 .綜合類

6、將例4m設(shè)為橢圓=1以上的點(diǎn)，將F1、F2設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，按照MF1F2=75、MF2F1=15的方式，求出橢圓的離心率。從正弦定理得到解=，e=。如果MF1F2=，MF2F1=，這個問題就可以作為橢圓的離心率e=來推廣。活用雙曲線定義妙解問題在解決雙曲線中的離心率、最大值等問題時，如果能夠靈活運(yùn)用雙曲線的定義，就能夠以大問題為小題，發(fā)揮提高工作效率的作用。1 .求出焦點(diǎn)三角形的周長例1如果超過雙曲線-=1的左焦點(diǎn)F1的直線和左交叉于a、b兩點(diǎn)，弦AB的長度為6，則ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長為從雙曲的定義解析|AF2|-|AF1|=8，|BF2|-|BF1|=8，兩個公式合并|AF2

7、| |BF2|-(|AF1| |BF1| )=|AF2| |BF2|-|AB|=16，成為|AF2| |BF2|=16 6=22，ABF2的周長是例如，|AF2| |BF2| |AB|=22 6=28。回答28評估與焦點(diǎn)相關(guān)的三角形周長問題，用雙曲線的定義解決，留心問題解決時的拼湊技術(shù)2 .最大值問題已知例2f是雙曲-y2=1的右焦點(diǎn)，p是雙曲右分支上的動點(diǎn)，求定點(diǎn)m (4，2 )、|PM| |PF|的最小值。雙曲線的左焦點(diǎn)為ff (-2，0 )，從雙曲線的定義可以看出：|pf|-| pf|=2a=2，| pf|=|pf|-2，在| pm| pf|=|pm| pf|-2中，必須使用| pm|

8、pf|才能使pm| pf |最小化。因此，|PM| |PF|的最小值為2-2。利用雙曲線的定義變換f的位置，然后用共線容易求出最小值。 另外，如果將m坐標(biāo)變更為m (1，1 )，則其他條件不變，請試著考慮如何解。如果p是雙曲線左分支上的動點(diǎn)，則如何解？3 .求出離心率的范圍例3知道雙曲-=1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)p在雙曲的右分支上，|PF1|=4|PF2|，嘗試求出雙曲離心率的可取值的范圍。解是|PF1|=4|PF2|，點(diǎn)p在雙曲線的右分支上，當(dāng)設(shè)定為|PF2|=m時，|PF1|=4m，根據(jù)雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=4m-m=2a，所以m=a。此外|PF1|

9、|PF2|F1F2|，即4m m2c，所以mc，即，由于ac，所以e=。另外，由于是e1，所以雙曲線離心率可取值的范圍為1b0)、A(x1，y1)、B(x2，y2)、AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，-得到=0，即=-=-，另外，kAB=1，y0=-x0。直線ON的方向矢量=、日本厚樸。a2=3b2，橢圓值行程為x2 3y2=3b2，另外，直線方程式是y=x-c。聯(lián)合起來變成了4x2-6cx 3c2-3b2=0。x1x2=c2，x1x2=c2。另外，設(shè)M(x，y )為= ，必須代入橢圓方程式進(jìn)行整理2(x 3y) 2(x 3y) 2(x1x2 3y1y2)=3b2。另外，x 3y=3b2、x 3y

10、=3b2，x1x2 3y1y2=4x1x2-3c(x1 x2) 3c2=c2-c2 3c2=0，因?yàn)? 2=1，所以2 2是一定值。例2已知拋物線y2=2px (p0)具有兩個動點(diǎn)a、b和一個定點(diǎn)M(x0，y0)，f是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|、|MF|、|BF|為等差數(shù)列。求證：線段AB的垂直平分線通過定點(diǎn)(x0 p，0 )。證明設(shè)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，用拋物線定義并知道例如，|AF|=x1，|BF|=x2，|MF|=x0。|AF|、|MF|、|BF|為等差數(shù)列，2|MF|=|AF| |BF|，即x0=。設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0，t )，t=。kAB=。線段AB的垂直平分線的方程是y

11、-t=-(x-x0)，即，tx-(x0 p) py=0。因此線段AB的垂直平分線通過定點(diǎn)(x0 p，0 )。2 .最大值問題解決圓錐曲線最大值問題一般有兩種方法。 一種是幾何法，特別是在關(guān)于圓錐曲線的定義和平面幾何的結(jié)論中求解非常巧妙。 二是代數(shù)方法，將圓錐曲線中的最大值問題變換為函數(shù)問題(即列舉按條件求的目標(biāo)函數(shù))，根據(jù)函數(shù)特征選擇殘奧元法、分配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單色法及基本不等式法等，求最大或最小值。例如，已知3f是雙曲線-=1的左焦點(diǎn)，a (1，4 )，p是雙曲線右分支上的動點(diǎn)，|PF| |PA|的最小值是_。分析設(shè)右焦點(diǎn)為f，從題意來看設(shè)f坐標(biāo)為(4，0 )，從雙曲線的定

12、義來看設(shè)為| pf|-|pf|=4，pf| |pa|=4答案9評價“使化曲直溜溜”法求出有關(guān)距離的最大值是平面幾何中巧妙的方法，特別是有關(guān)圓錐曲線上的動點(diǎn)、定點(diǎn)和焦距長度之和的最大值問題經(jīng)常使用該方法可知例4平面內(nèi)的從一點(diǎn)p到點(diǎn)f (1，0 )的距離與從點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離之差等于1。(1)求動點(diǎn)p軌跡c的方程式(2)設(shè)過點(diǎn)f以2個傾斜度存在，相互正交的直線l1、l2，求出l1和軌跡c在點(diǎn)a、b、l2和軌跡c在點(diǎn)d、e相交的最小值。設(shè)解(1)動點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y )，出于題意，從-|x|=1.化簡并性為y2=2x 2|x|。x0時，y2=4x；在x0的情況下，y=0由此，動點(diǎn)p的軌跡c的方程為y

13、2=4x (x0 )和y=0 (x0)。(2)從題意可知，直線l1的傾斜存在，并且不是0，設(shè)為k，則l1的方程式為y=k(x-1 )。由得到k2x2-(2k2 4)x k2=0。假設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1、x2是上述方程的兩個實(shí)根，x1 x2=2，x1x2=1。由于l1l2，所以l2的傾斜為-。設(shè)定為D(x3，y3)、E(x4，y4)，同樣得到x3 x4=2 4k2、x3x4=1。因此=() ()=| |。=(x1 1)(x2 1) (x3 1)(x4 1 )=x1x2 (x1 x2) 1 x3x4 (x3 x4) 1=1 1 1 (2 4k2) 1=8 48 42=16。且

14、僅在k2=即k=1時，取得最小值16。5圓錐曲線存在的搜索型問題的求解方法存在探索型問題作為探索性問題之一，具有內(nèi)容廣泛、重點(diǎn)問題型豐富等命題要求，易于考察分析、比較、推測、歸納等綜合能力，深受命題人的喜愛1 .常數(shù)有問題例1直線y=ax 1和雙曲線3x2-y2=1在a、b兩點(diǎn)相交，這樣的實(shí)數(shù)a是否存在，a、b關(guān)于直線y=2x對稱。 請說明理由分析首先假定實(shí)數(shù)a存在，然后通過推論和修正算得出滿足題意的結(jié)果，得到與假說不符點(diǎn)的結(jié)果，否定假說，得出不存在某個數(shù)學(xué)對象的結(jié)論實(shí)數(shù)a、b以關(guān)于直線l:y=2x對稱的方式解設(shè)并排設(shè)置A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)是。按問題分類=2即y1 y2=2(x1 x2)、另外，a、b在直線y=ax 1上，y1=ax1 1，y2=ax2 1，y1 y2=a(x1 x2) 2、從中得到2(x1 x2)=a(x1 x2) 2，即，(2-a)(x1 x2)=2，聯(lián)合(3-a2)x2-2ax-2=0，x1 x2=，代入時，(2-a)=2，得到解的a=被驗(yàn)證符合問題的意思kAB=、kl=2，kABkl=2=3-1。不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a。2 .點(diǎn)存在型問題已知在例2平面正交坐標(biāo)系中，中心位于第2象限，半徑2的圓和直線y=x與原點(diǎn)o相接，橢圓=1和從圓c的一方的升交點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為10 .(1