1、2 空間向量的運(yùn)算（三）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.2.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直.知識(shí)點(diǎn)一空間向量數(shù)量積的概念思考1如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，類(lèi)比平面向量有關(guān)運(yùn)算，如何求向量與的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法. 思考2在等邊ABC中，與的夾角是多少？梳理(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫作a，b的數(shù)量積，記作ab.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(a)b_交換律ab_分配律a(bc)_知識(shí)點(diǎn)二

2、空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)若a，b是非零向量，則ab_若a與b同向，則ab_；若反向，則ab_.特別地，aa_或|a|若為a，b的夾角，則cos _|ab|a|b|類(lèi)型一空間向量數(shù)量積的運(yùn)算命題角度1空間向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)下列命題是否正確？正確的請(qǐng)給出證明，不正確的給予說(shuō)明.p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a與(ab)c(ac)b均不為0，則它們垂直.(2)設(shè)a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；(3a2b)(a2b).反思與感悟(1)如果已知a，b的模及a與b的夾角，則可直接代入數(shù)量積的公式計(jì)算.(2)如果欲求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量

3、積，可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開(kāi)，再利用aa|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|等于()A. B. C. D.4命題角度2利用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的運(yùn)算問(wèn)題例2已知在長(zhǎng)方體ABCD1C1D1中，ABAA12，AD4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn).試計(jì)算：(1)；(2)；(3).反思與感悟兩向量的數(shù)量積，其運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律.跟蹤訓(xùn)練2已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，求：(1)( )()；(2)|.類(lèi)型二利用數(shù)量積求夾角或模命題角度1利用數(shù)量積

4、求夾角例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，若ABa，求異面直線BA1與AC所成的角.反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法 跟蹤訓(xùn)練3已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線，AO是PA在平面內(nèi)的投影，l，且lOA.求證：lPA.命題角度2利用數(shù)量積求模(或距離)例4如圖所示，在平行六面體ABCDB1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的長(zhǎng). 反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以?xún)牲c(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量

5、的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量?jī)蓛芍g的夾角以及它們的模，利用公式|a|求解即可.跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知線段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D與A在的同側(cè)，若ABBCCD2，求A，D兩點(diǎn)間的距離. 類(lèi)型三利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問(wèn)題例5如圖，在空間四邊形OABC中，OBOC，ABAC，求證：OABC. 反思與感悟(1)證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)判斷兩直線是否垂直.(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓(xùn)練5已知向量a，b滿(mǎn)足：

6、|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_(kāi).1.已知a，b，c是兩兩垂直的單位向量，則|a2b3c|等于()A.14 B.C.4 D.22.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是()A. B.C. D.3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，有下列命題：()232；()0；與的夾角為60.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.04.已知a，b為兩個(gè)非零空間向量，若|a|2，|b|，ab，則a，b_.5.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi).1.空間向量運(yùn)算的兩種方法(1)利用定義：利用ab|a|b|c

7、osa，b，并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找?jiàn)A角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)代入ab|a|b|cosa，b求解.提醒：完成作業(yè)第二章2(三)答案精析2空間向量的運(yùn)算(三)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.求兩個(gè)向量的數(shù)量積需先確定這兩個(gè)向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長(zhǎng)度不確定時(shí)，可用已知夾角和長(zhǎng)度的向量來(lái)表示該向量，

8、再代入計(jì)算.思考2120.梳理(2)(ab)baabac知識(shí)點(diǎn)二ab0|a|b|a|b|a|2題型探究例1(1)解此命題不正確.p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，當(dāng)且僅當(dāng)pq時(shí)，p2q2(pq)2.此命題不正確.|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，當(dāng)且僅當(dāng)(pq)(pq)時(shí)，|p2q2|pq|pq|.此命題正確.a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a與(ab)c(ac)b均為非零向量，a與(ab)c(ac)b垂直.(2)解ab|a|b|cosa，b，ab34

9、cos 1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，(3a2b)(a2b)39434()41627246461.跟蹤訓(xùn)練1C例2解如圖，設(shè)a，b，c，則|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b(ca)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.跟蹤訓(xùn)練2解(1)()()()()()( 2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(2)| .例3解如圖所示，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0且a2.a2.又|cos，cos，.又，0，180，120，又異面直線所成的角是銳角或直角，異面直線BA1與AC所成的角為60.跟蹤訓(xùn)練3證明如圖，取直線l的方向向量a，同時(shí)取向量，.因?yàn)閘OA，所以a0.因?yàn)镻O，且l，所以lPO，因此a0.又因?yàn)閍a()aa0， 所以lPA.例4解因?yàn)椋?()22222().因?yàn)锽AD90，BAA1DAA160，所以，90，60，所以21492(13cos 6023cos 60)23.因?yàn)?|2，所以|223，|，即AC1.跟蹤訓(xùn)練4解