1、數(shù)學(xué)物理方法,二階常微分方程,二階常微分方程,常用齊次定解問題 數(shù)學(xué)物理中的對稱性 特殊函數(shù)常微分方程 常微分方程的級數(shù)解法 斯圖姆劉維爾本征值問題 本章小結(jié),常用齊次定解問題,常用齊次定解問題的要素 常用齊次定解問題的分類 拉普拉斯算符的形式 拉普拉斯算符形式的推導(dǎo),常用齊次定解問題要素,常用齊次定解問題的分類,！,！,拉普拉斯算符的形式,極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo),極坐標(biāo)下的形式,直角坐標(biāo)下的形式,坐標(biāo)變換關(guān)系,微分變換關(guān)系,數(shù)學(xué)物理中的對稱性,對稱性的概念 定義：對稱性就是在某種變換下的不變性 分類 對稱性的描述 對稱性原理 當(dāng)定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對稱性時(shí)，它的解也

2、具有同樣的對稱性。 對稱性的應(yīng)用,對稱性的分類,對稱性的描述,對稱性的應(yīng)用柱坐標(biāo)輸運(yùn)方程,特殊函數(shù)常微分方程,球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量 一般情況 歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程 軸對稱情況 勒讓德方程 極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程的分離變量 一般情況 亥姆霍茲方程，貝塞爾方程 軸對稱情況,球坐標(biāo)下拉普拉斯方程,球坐標(biāo)下拉普拉斯方程,極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程,常微分方程的級數(shù)解法,常微分方程中點(diǎn)的分類 各點(diǎn)鄰域級數(shù)解的形式 勒讓德方程的級數(shù)解 貝塞爾方程的級數(shù)解,常微分方程中點(diǎn)的分類,二階變系數(shù)常微分方程的一般形式 w”+p(z)w+q(z)w=0 方程中點(diǎn)的分類 常點(diǎn)：z0 是 p(z) 和 q(

3、z) 的解析點(diǎn) 正則奇點(diǎn)：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析點(diǎn) 非正則奇點(diǎn)：其它情況,各點(diǎn)鄰域級數(shù)解的形式,非正則奇點(diǎn) z0 鄰域 有一解為,常點(diǎn)z0鄰域 兩解均為,正則奇點(diǎn) z0 鄰域 有一解為 其中 s 由判定方程確定,a00,勒讓德方程的級數(shù)解,勒讓德方程的級數(shù)解,勒讓德方程的級數(shù)解,勒讓德方程的級數(shù)解,性質(zhì)： 奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)； 退化性：l 為非負(fù)整數(shù)時(shí)，級數(shù)解退化為多項(xiàng)式； 收斂性：特解的收斂半徑為 1 ； 有界性：在 x = 1 時(shí)，非退化級數(shù)解發(fā)散。,貝塞爾方程的級數(shù)解,ak0=0,貝塞爾方程的級數(shù)解,貝塞爾方程的級數(shù)解,性質(zhì)： 奇偶性：

4、m為奇偶整數(shù)時(shí)，Jm和Nm為奇偶函數(shù)； 收斂性：特解的收斂半徑為 ； 有界性：在 x 0，m0 時(shí), Jm有界，Nm發(fā)散。,斯圖姆劉維爾本征值問題,本征值問題 本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值 本征函數(shù)：相應(yīng)的非零解 本征值問題：求本征值和本征函數(shù)的問題 斯特姆劉維爾本征值問題 斯特姆劉維爾型方程 斯特姆劉維爾型邊界條件 斯特姆劉維爾本征值問題的性質(zhì) 可數(shù)性：存在可數(shù)無限多個(gè)本征值； 非負(fù)性：所有本征值均為非負(fù)數(shù)； 正交性：對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交； 完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開。,斯特姆劉維爾本征值問題,斯特姆劉維爾型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非負(fù)； k(x)、k(x)和q(x)連續(xù)或以端點(diǎn)為一階極點(diǎn)。 斯特姆劉維爾型邊界條件 三類齊次邊界條件 周期性邊界條件 有界性邊界條件,斯特姆劉維爾本征值問題,本征函數(shù)集合的正交性和完備性,正交性,完備性,展開系數(shù),本征函數(shù)集合的正交性和完備性,例題1,問題,本征函數(shù),正交性,完備性,本征函數(shù)