1、（1） 測量誤差的概念 （2） 測量誤差產(chǎn)生和分類 （3） 各種誤差的基本算法 （4） 誤差的傳播規(guī)律及其在測量中的 應(yīng)用 （5） 等精度觀測誤差分析方法 （6） 不等精度觀測誤差分析方法,5. 測量誤差基本知識(shí),5.1.1 測量誤差的定義 （1）真誤差：多次觀測所得到的觀測值與未知量客觀存在的真值之間的差值，稱為測量的真誤差。 真誤差=觀測值-真值 （2）最或是值：多次觀測值的平均值，也稱似真值 （3）最或是誤差：觀測值與最或是值之差稱為最或是誤差，又稱為似真誤差。 最或是誤差（似真誤差）=觀測值-最或是值 5.1.2 測量誤差來源： 儀器誤差、觀測誤差與外界環(huán)境。,5.1 測量誤差概述,5

2、.1.3 測量誤差分類 按照誤差的性質(zhì)劃分：系統(tǒng)誤差、偶然誤差及粗差。 （1）系統(tǒng)誤差： 在相同觀測條件下對某物理量進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的正、負(fù)符號及數(shù)值大小表現(xiàn)出一致的傾向或保持一定的函數(shù)關(guān)系，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 （2）偶然誤差： 也即隨機(jī)誤差。在相同觀測條件在對某物理量進(jìn)行一系列觀測，觀測誤差的符號和大小沒有表現(xiàn)出一致的傾向，但就大量觀測誤差來看，則具有偶然時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 （3）粗差：測量中的錯(cuò)誤,5.1.4 多余觀測 由于觀測結(jié)果中不可避免地存在著偶然誤差的影響，因此，在測量工作中，為了提高成果的質(zhì)量，同時(shí)也為了發(fā)現(xiàn)和消除誤差，必須進(jìn)行多余觀測，即觀測值的個(gè)數(shù)多于確定未知量

3、所必須觀測的個(gè)數(shù)。有了多余觀測，勢必在觀測結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，在測量上稱為不符值，亦稱閉合差。 多余觀測是發(fā)現(xiàn)粗差存在與否以及計(jì)算觀測結(jié)果中的偶然誤差的必要條件。,5.1.5 測量平差及其任務(wù) 1. 測量平差 對帶有偶然誤差的觀測成果進(jìn)行處理的工作就叫做測量平差。 2. 測量平差的任務(wù)： （1）對一系列帶有偶然誤差的觀測值，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法與最小二乘原理來消除它們之間的不符值，求出未知量的最或然值（亦稱最可靠值或似真值）。 （2）評定測量成果的精度。,（1）有界性 （2）小誤差密集性 （3）對稱性 （4）抵償性 描述偶然誤差特性的函數(shù)： 正態(tài)分布曲線。,5.2 偶然誤差的特性,1. 中誤差 按

4、有限次觀測的偶然求得的標(biāo)準(zhǔn)差稱為中誤差m，即 即n次觀測偶然誤差的平方和。當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，則中誤差變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)差。而標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差2。,5.3 評定偶然誤差的指標(biāo),2,平均誤差： 將多次觀測中各次觀測真誤差的絕對值的平均值稱為平均誤差，即,3. 相對誤差 觀測誤差的絕對值與其對應(yīng)觀測值真值（或似真值）之比稱為相對誤差。相對誤差是個(gè)無量綱數(shù)，通常化為分子為1的形式，即1/M（M為相對誤差的分母）。 相對誤差是專門用于評價(jià)距離測量結(jié)果精度的指標(biāo) 4. 相對中誤差：觀測值中誤差的絕對值與觀測值真值（或似真值）之比稱為相對中誤差，通?；癁榉肿訛?的形式，即1/M （M為相對中誤差的分母）。,4.

5、 極限誤差 （1）限差：衡量某一個(gè)觀測值的質(zhì)量，決定其取舍。限差亦稱極限誤差或允許誤差。 （2）限差的選取方法： 通常以規(guī)定或預(yù)期的中誤差的3倍或2倍作為偶然誤差的限值，即 真誤差、中誤差和極限誤差屬于絕對誤差，其量綱與被觀測量相同。相對誤差則則考慮了觀測量本身大小對誤差的影響，為無量綱量。,獨(dú)立觀測值函數(shù)值誤差傳播定律 5.4.1 線性函數(shù)的誤差傳播規(guī)律 設(shè)有線性函數(shù)z為 則根據(jù)偶然誤差的特性，可得線性函數(shù)的中誤差關(guān)系式為,5.4 誤差傳播定律律,5.4.2 非線性函數(shù)的誤差傳播公式 非線形函數(shù)一般可表達(dá)為 則同樣道理可推導(dǎo)得非線性函數(shù)的中誤差關(guān)系式為,5.4.3 應(yīng)用誤差傳播定律的步驟 (

6、1)按性質(zhì)先列出函數(shù)關(guān)系式 (2)對函數(shù)式進(jìn)行全微分，得出函數(shù)真誤差與觀測值之間的關(guān)系式 (3)代入誤差傳播定律公式，計(jì)算函數(shù)的中誤差,注意：各觀測值獨(dú)立觀測，單位統(tǒng)一,（1）等精度觀測：在相同條件下對某物理量進(jìn)行的多次觀測 （2）直接平差：根據(jù)對同一個(gè)物理量進(jìn)行多次直接觀測的結(jié)果，按照最小二乘原理，求其似真值并評定精度的過程，稱為直接平差。包括等精度直接平差和不等精度直接平差。,5.5 等精度直接平差,（3）最小二乘準(zhǔn)則 :對某量進(jìn)行n次等精度觀測得到n個(gè)觀測值，由這n個(gè)觀測值確定的似真值為x ，則稱 為第i個(gè)觀測值li的改正數(shù)。 在滿足改正數(shù)的平方和為最小的條件下確定觀測量似真值的準(zhǔn)則，即

7、稱 為最小二乘法。,等精度直接平差過程 1.求取物理量的似真值 由 根據(jù)最小二乘原理 求導(dǎo)，并令等式為零，則得 結(jié)論:（1）等精度觀測的算術(shù)平均值即為觀測量的似真值 （2）在等精度觀測條件下，似真誤差的總和為零。,2. 觀測結(jié)果精度評定 （1）觀測值中誤差：等精度觀測值的中誤差定義為 其中 用似真誤差代替真誤差來求得觀測值的中誤差 即白塞爾公式,（2）似真值中誤差 展開算術(shù)平均值（即似真值）得 則根據(jù)誤差傳播定律可得算術(shù)平均值的中誤差如下 可見，增加觀測次數(shù)可以提高似真值的精度。,（1）不等精度觀測：在不同條件下對某一物理量進(jìn)行的多次觀測 （2）表示不等精度觀測可靠程度的指標(biāo)“權(quán)” 觀測條件不

8、同，則各觀測值的可靠程度不同，即質(zhì)量不同，對測量最后結(jié)果的影響也不同。觀測值精度高的所占“比重”應(yīng)大些，而精度低的則占“比重”小些。這個(gè)“比重”也就表示了觀測值的可靠程度，該比重也就是“權(quán)”系數(shù)，用p表示。,5.6 不等精度直接平差,5.6.1 加權(quán)平均值 設(shè)某未知量的n次不等精度觀測值為l1，l2，ln，其相應(yīng)的權(quán)為p1，p2，pn，則該量的似真值為,5.6.2 權(quán)的定義與單位權(quán) 根據(jù)權(quán)的特征可以將權(quán)寫為以下形式 當(dāng)觀測值很多時(shí) （1）單位權(quán)：中誤差等于的觀測值，其權(quán)必然等于1，稱該權(quán)為單位權(quán) （2）單位權(quán)中誤差：即為單位權(quán)中誤差 （3）單位權(quán)觀測值：權(quán)等于1的觀測值,5.6.3 實(shí)用定權(quán)方

9、法 （1）水準(zhǔn)測量權(quán)的確定 由n條不等精度的水準(zhǔn)路線測定Q點(diǎn)的高程。 1）每站觀測精度相同 2）每條線路站數(shù)不同 3）線路高差中誤差與 測站數(shù)的關(guān)系為 則各路線高差觀測值的權(quán)可寫為 c為可以選定的常數(shù)，Ni為第條水準(zhǔn)路線上的測站數(shù)，即各條水準(zhǔn)路線高差的權(quán)與其測站數(shù)成反比。,（2）角度測量權(quán)的確定 設(shè)對同一角度進(jìn)行測量 （1）每測回觀測精度相同m （2）對該角度進(jìn)行k組觀測ni則，則各組的算術(shù)平均值中誤差分別為 則角度觀測權(quán)值可取為 可見，角度測量權(quán)值與各組觀測的測回?cái)?shù)成正比。,（3）距離丈量時(shí)權(quán)的確定 丈量了n段距離 （1）單位距離丈量的精度相同 （2）各段觀測精度與距離平方根成正比 則距離丈量的權(quán)可取為 si為第i段距離的觀測值（單位：公里）。,5.6.4計(jì)算觀測值中誤差 構(gòu)造新的觀測序列： 這是一組等精度的單位權(quán)觀測值。 2. 計(jì)算新序列的單位權(quán)中誤差： 由等精度觀測值的中誤差計(jì)算公式可得,3. 計(jì)算觀測值的中誤差 用最或是誤差來表示的單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式如下 由單位權(quán)中誤差計(jì)算觀測值中誤差,5.6.5 計(jì)算加權(quán)平均值中誤差 展開加權(quán)平均值的表