1、第7章 濾波器設(shè)計(jì)方法,7.0 引言 7.1 由連續(xù)時(shí)間濾波器設(shè)計(jì)離散時(shí)間IIR濾波器 7.2 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.3 IIR系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 7.4 FIR濾波器的最佳逼近 7.6 IIR和 FIR濾波器的評(píng)價(jià),7.0 引言,選頻濾波器 能讓某些頻率分量通過(guò)，而完全拒絕其他頻率分量的系統(tǒng)。 廣義濾波器 任何能對(duì)頻率進(jìn)行修正的系統(tǒng)。 我們需要的線性時(shí)不變的因果系統(tǒng)。,濾波器的設(shè)計(jì)步驟： 給出系統(tǒng)的性能指標(biāo)； 用一個(gè)離散的時(shí)間系統(tǒng)逼近這些性能指標(biāo)； 實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)。 一般我們利用數(shù)字計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，所以，將該離散時(shí)間濾波器稱為數(shù)字濾波器。,濾波器的指標(biāo)往往是以頻域的形式給出的，尤其是低

2、通、帶通、高通和帶阻這些選頻濾波器。 如圖所示的一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，如果輸入是帶限的，且采樣率滿足奈奎斯特采樣率，這系統(tǒng)是一個(gè)線性時(shí)不變的連續(xù)系統(tǒng)。,例 7.1 離散時(shí)間濾波器指標(biāo)的確定,通帶 寬度 阻帶 寬度 過(guò)渡帶 容限圖 相位除了隱含的穩(wěn)定性、因果性外沒(méi)有其他限制。 濾波器設(shè)計(jì)分為：IIR和FIR兩大類,7.1 由連續(xù)時(shí)間濾波器設(shè)計(jì)離散時(shí)間IIR濾波器,原因： 連續(xù)時(shí)間IIR濾波器設(shè)計(jì)方法已經(jīng)成熟。 許多有用的連續(xù)時(shí)間IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有比較簡(jiǎn)單完整的設(shè)計(jì)公式。 但是將連續(xù)時(shí)間IIR濾波器設(shè)計(jì)方法直接用于離散時(shí)間IIR濾波器并不能得到簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)公式。,主要方法有沖擊響應(yīng)不變法、雙線

3、性變換法。 注意有連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的S平面到Z平面的變換關(guān)系。 虛軸單位圓 收斂于 左平面單位圓內(nèi),7.1.1 沖擊響應(yīng)不變法,變換原理 h(n)為DF的單位沖激響應(yīng)序列， 為AF的沖激響應(yīng)，沖激響應(yīng)不變法就是使h(n)正好等于 的抽樣值，即 則 采樣系統(tǒng)有可能產(chǎn)生頻譜混疊。,拉氏變換 上式表明，先沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過(guò)映射關(guān)系映射到Z平面。,根據(jù)取樣定理，只有當(dāng)AF的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即 才能使DF在折疊頻率 內(nèi)重現(xiàn)AF的頻響，而不產(chǎn)生混疊失真。但是，任何一個(gè)實(shí)際AF的頻響卻不是嚴(yán)格帶限的，就會(huì)產(chǎn)生混迭失真，如下圖,混疊問(wèn)題,設(shè)計(jì)步驟,首先利用 將離散時(shí)間濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí)間濾波

4、器的技術(shù)指標(biāo)。即如果產(chǎn)生的混疊可以忽略，我們可以利用下式 設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)。 再將其轉(zhuǎn)換為離散域。即利用 這時(shí)采樣參數(shù)Td不能控制混疊。 這是由于若采樣率增加，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的截至頻率必須成比例的增加。 解決方法，設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)時(shí)，超標(biāo)設(shè)計(jì)，尤其時(shí)阻帶指標(biāo)。,S平面 z平面 Sk 極點(diǎn) e SkTd 穩(wěn)定 Sk Re0 e SkTd幅度1 穩(wěn)定 設(shè)計(jì)并不是S到Z的簡(jiǎn)單映射 注意，離散時(shí)間系統(tǒng)中的零點(diǎn)時(shí)部分分式展開(kāi)中的極點(diǎn)和TdAk的函數(shù)。,例 7.2 設(shè)計(jì)模擬的巴特沃茲濾波器,離散時(shí)間濾波器的技術(shù)指標(biāo) 連續(xù)時(shí)間濾波器的技術(shù)指標(biāo),由于模擬的巴特沃茲濾波器是頻率的單調(diào)函數(shù), 所以 巴特沃茲的幅度 帶入得,

5、s-平面,三對(duì)極點(diǎn)在s平面的位置如圖,7.1.2 雙線性變換法,沖擊響應(yīng)不變法只能設(shè)計(jì)帶限系統(tǒng)，無(wú)法設(shè)計(jì)高通系統(tǒng)。,雙線性變換法 將 映射到,變換公式如下,注意收斂域，即s的左半平面和z平面單位圓之間的映射關(guān)系,虛軸的映射關(guān)系,圖示 用雙線性變換法由s平面到z平面的映射,預(yù)失真 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)選頻特性 巴特沃茲：通帶、阻帶內(nèi)單調(diào) I型切比雪夫：通帶等波紋、阻帶內(nèi)單調(diào) II型切比雪夫：通帶紋內(nèi)單調(diào)、阻帶等波紋 橢圓：通帶、阻帶內(nèi)等波紋,相位特性,雙線性變換對(duì)線性相位特性的影響 （虛線表示線性相位，實(shí)線表示由雙線性變換得到的相位）,例 7.3,s-平面,雙線性變換是將整個(gè)虛軸映射到單位圓上，所以幅頻

6、特性下降的快一些。 另外在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 有一個(gè)6階零點(diǎn)， 因此在離散時(shí)間系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的z1處有一個(gè)6階零點(diǎn)。,和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)比較： 頻率響應(yīng)相同 具有最平特性 離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)是周期的 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)下降的快一點(diǎn),巴特沃茲逼近,I型切比雪夫逼近,I I型切比雪夫逼近,橢圓逼近,7.2用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器,IIR濾波器中有延遲回路，因此設(shè)計(jì)中有迭代出現(xiàn)，所以增加了設(shè)計(jì)難度。 離散FIR設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單。同時(shí)由于大多數(shù)情況下假定為線性相位，避免了設(shè)計(jì)中復(fù)雜的頻譜因式分解問(wèn)題。 最簡(jiǎn)單的方法：窗函數(shù)法。,給定一個(gè)頻譜響應(yīng) 根據(jù)傅里葉逆變換 是無(wú)限長(zhǎng)的非因果序列,窗函數(shù)法,得到一個(gè)因果的系統(tǒng) 即

7、 根據(jù)傅里葉變換中的調(diào)制（加窗）定理,(1) 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。這時(shí)有 。,(2) 時(shí)， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。,(3) 時(shí)，主瓣全部在通帶外， 出現(xiàn)負(fù)的肩峰。,(4) 當(dāng) 時(shí)，隨 增加， 左邊 旁瓣的起伏部分掃過(guò)通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積 變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。,(5) 當(dāng) 時(shí)， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動(dòng)。,加窗后， 使頻響產(chǎn)生一過(guò)渡帶，其寬度正好等于窗的頻響的主瓣寬度 。 在 處出現(xiàn)肩峰，肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少。,幾點(diǎn)結(jié)論,過(guò)渡帶寬

8、 ：由窗函數(shù)傅立葉變換的主瓣決定。 通帶和阻帶的波紋：由窗函數(shù)旁瓣的積分決定。,吉布斯(Gibbs)效應(yīng) 因?yàn)榇昂瘮?shù)的頻響的幅度函數(shù)為 這是一個(gè)很特殊的函數(shù)，分析表明，當(dāng)改變N時(shí)僅能改變 的絕對(duì)值的大小，和主瓣的寬度 ，旁瓣的寬度 ，但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例，也就是說(shuō)，不會(huì)改變歸一化頻響 的肩峰的相對(duì)值。對(duì)于矩形窗最大相對(duì)肩峰8.95%，不管N怎樣改變，最大肩峰總是8.95% ，這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應(yīng)。,窗函數(shù)長(zhǎng)度的選取,計(jì)算量 越短越好 逼近程度 越長(zhǎng)越好 吉布斯現(xiàn)象,7.2.1 常用窗函數(shù)的性質(zhì),1、基本概念 (1)窗譜：窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜。 (2)對(duì)窗函數(shù)要求： a)

9、希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶，這是因?yàn)檫^(guò)渡帶等于主瓣寬度。 b)盡量減少窗譜最大旁瓣的相對(duì)幅度，這樣可使肩峰和波紋減少。,常用的窗函數(shù),矩形窗 Bartlett(三角)窗 Hanning窗 Hamming窗 Blackman窗,旁瓣降低。 主瓣展寬。,矩形窗,Bartlett窗,Hanning窗,Hamming窗,Blackman窗,7.2.2 廣義線性相位的合并,廣義線性相位是我們需要的。 注意到窗函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì) 即 若所需的脈沖響應(yīng)也以M/2對(duì)稱，則加窗后的脈沖響應(yīng)也以M/2對(duì)稱。 若所需的脈沖響應(yīng)也以M/2反對(duì)稱，則加窗后的脈沖響應(yīng)也以M/2反對(duì)稱。,如果沖擊響應(yīng)對(duì)稱，則 即

10、化簡(jiǎn) 可見(jiàn)： 系統(tǒng)為廣義線性相位 可用周期卷積求,例7.7 線性相位低通濾波器,要求的頻率響應(yīng)定義 則 由于 所以如果使用對(duì)稱窗函數(shù)便能得到廣義線性相位系統(tǒng),理想頻率響應(yīng)間斷點(diǎn)處得到的逼近形式的說(shuō)明,7.2.3 Kaiser窗濾波器設(shè)計(jì)法,利用第一類Bessel函數(shù)可以構(gòu)造一種近似最佳的窗函數(shù)。 Kaiser窗的定義為： 除了長(zhǎng)度參數(shù)外，還有形狀參數(shù)。 過(guò)渡帶寬,例 7.8 用Kaiser窗設(shè)計(jì)濾波器,1.給出技術(shù)指標(biāo)； 2. 求出截至頻率； 3. 確定Kaiser窗的參數(shù)； 4. 計(jì)算濾波器沖擊響應(yīng)。,7.2.4 Kaiser窗與其他窗之間的關(guān)系,上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、海明窗等，為

11、了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價(jià)的。而且，每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。,7.3 Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR濾波器舉例,7.3.1 高通濾波器 響應(yīng),例 7.9 用Kaiser窗設(shè)計(jì)高通濾波器,技術(shù)指標(biāo),I類,II類,多頻帶選頻濾波器,每個(gè)間斷點(diǎn)足夠遠(yuǎn)，則間斷點(diǎn)的特性相同。 所以誤差逼近是成比例的，即幅度為1的間斷點(diǎn)產(chǎn)生 峰值逼近誤差，則幅度為1/2的間斷點(diǎn)產(chǎn)生 峰值逼近誤差。,7.3.2 離散時(shí)間微分器,由于hn = -hM-n，所以得到的系統(tǒng)為III 或IV型FIR。 Kaiser公式是針對(duì)單幅度間斷點(diǎn)的頻率響應(yīng)，所以不能直接用于微分器。,例 7.10 用Kaiser窗設(shè)計(jì)微分器,III類,IV類,7.4 FIR濾波器的最佳逼近,以矩形窗為例 特點(diǎn)：最好的均方逼近。 缺點(diǎn)：間斷點(diǎn)的特性不好。 窗函數(shù)不能單獨(dú)控制不同頻率上的逼近誤差。 引出了最大最小準(zhǔn)則（最大誤差最小化）。,7.6 IIR和 FIR濾波器的評(píng)價(jià),包括幅度和相位,只有幅度響應(yīng),DSP中一般有乘加單元。,可控性好，因?yàn)橛凶罴牙碚摗?可以逼近任意的的頻率響應(yīng)。設(shè)計(jì)復(fù)雜。,迭代法。,精確的廣義線性相位，但不存在完整的設(shè)計(jì)方法。,可以用完整的設(shè)計(jì)公式設(shè)計(jì)各種選頻濾波器。,FIR,IIR,作業(yè)：,P412 7.4 7.5 7.8,作業(yè)：,1