1、微積分期末試卷 一、選擇題（6） 1 1.設(shè)f (x) 2cosx,g(x) ( )sinx在區(qū)間（0， ）內(nèi)（）。 22 f (x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù) Bf (x)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù) C二者都是增函數(shù) D二者都是減函數(shù) 2、x 0時(shí)，e2xcosx與sin x相比是（） 高階無(wú)窮小低階無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小同階但不等價(jià)無(wú)價(jià)小 、=是函數(shù)=（-sinx)的（） 連續(xù)點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮型間斷點(diǎn) 、下列數(shù)列有極限并且極限為的選項(xiàng)為（ ） 1n A X n (1)n B X n sin n2 11 C X n n (a 1)D X n cos an 1 x 5、若f (x)在X 0

2、處取得最大值，則必有（） f (X 0 ) oBf (X 0 ) o Cf (X 0 ) 0且f( X 0 )BC( ) 15 四、計(jì)算題 1 用洛必達(dá)法則求極限 1 limx2ex2 x0 2 / 7 ） 且 1 2 1 2exex(2x3) x2 lim lime 解：原式=lim x0 1 x0 x0 2x3 x2 1 2 若 f (x) (x310)4,求f (0) 解 f (x) 4(x310)33x212x2(x310)3 f (x) 24x(x310)312x23(x310)23x2 24x(x310)3108x4(x310)2 f (x) 0 4 ： x)x3求極限lim(co

3、s x0 4 2 解：原式=limex x0 Incosx 2 ex0 lim x2 Incos x 4 1 (sin x) 4Incosxtan xx cosx Q lim 2 Incosx lim lim lim lim 2 2 x0 x x0 x0 x0 x0 xxx x 222 4 原式 e2 5 3 4 求y (3x1) x1的導(dǎo)數(shù) x2 511 解：In y In 3x1 In x1 In x2 322 1531111 y y3 3x12 x12 x2 y (3x1) 3tan xdx 5 5 3 x1 51 1 x2 3x1 2(x1)2(x2) 3 / 7 解：原式=tan2x

4、tan xdx （sec2x1)tan xdx =sec2xtan xdxtan xdx sin x =tan xd tan xdx cosx 1 =tan xd tan xd cosx cosx 1 =tan2x In cosx c 2 6 求xarctanxdx 解：原式= 11 222arctan xd(x ) (x arctan xx d arctan x) 22 1 2 x211 =(x arctan xdx) 221 x 1 1 = x 2arctan x(1)dx 21 x2 1 x2x =arctan xc 22 五、證明題。 1、證明方程x3 x1 0有且僅有一正實(shí)根。 證明

5、：設(shè) f (x) x3 x1 4 / 7 Q f (0) 1 0, f (1)1 0,且f (x)在0,1上連續(xù) 至少存在 （0,1),使得f (） 0 即f (x)在（0， 1)內(nèi)至少有一根，即f (x) 0在（0， ）內(nèi)至少有一實(shí)根 假設(shè)f (x) 0在（0， ）有兩不同實(shí)根x 1,x2 ,x 2 x 1 Q f (x)在x 2 ,x 2 上連續(xù)，在（x 2 ,x 2 ）內(nèi)可導(dǎo) 且f (x 1) f (x2 ) 0 至少 （x 2 ,x 2 ），stf () 0 而f () 3211與假設(shè)相矛盾 方程x3 x1 0有且只有一個(gè)正實(shí)根 2、證明arcsin xarccosx （1 x 1）

6、2 證明：設(shè)f (x) arcsin xarccosx 11 f (x) 0,x1,1 221 x1 x f (x) c f (0) arcsin0arccos0 f (1) arcsin1arccos1 2 2 f (1) arcsin(1)arccos(1) 2 綜上所述，f (x) arcsin xarccosx 2 ，x1,1 六、應(yīng)用題 1、描繪下列函數(shù)的圖形 1 x 解：1.Dy=(-,0)(0,+) y x2 12x31 2.y=2x- 2 xx2 1 令y 0得x 3 2 2 y 2 3x 令y 0,得x 1 3. 5 / 7 4.補(bǔ)充點(diǎn)(2, ).( , ).(1,2).(2, ) 5lim f (x) , f (x)有鉛直漸近線x 0 x0 6 如圖所示： 7 2 1 2 7 2 9 2 2.討論函數(shù) f (x) x2 Inx2的單調(diào)區(qū)間并求極值 解：Df (x) R 22(x1)(x1) (x 0) xx 令f (x) 0,得x 1