1、復習課(二)數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算數(shù)列的基本運算以小題出現(xiàn)具多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項公式及求和公式，求數(shù)列中的項、公差、公比及前n項和等，一般試題難度較小等差、等比數(shù)列的基本公式等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式ana1(n1)dana1qn1anam(nm)danamqnm前n項和公式SnSn(q1)Snna1dSn(q1)求和公式的函數(shù)特征Snn2nSnqn(q1)典例成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3，b4，b5.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)數(shù)列bn的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列解(1)

2、設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)，b35，公比q2，故bn52n3.(2)證明：由(1)知b1，公比q2，Sn52n2，則Sn52n2，因此S1，2(n2)數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列類題通法對于等差、等比數(shù)列的基本運算主要是知三求二問題，解題時注意方程思想、整體思想及分類討論思想的運用1在等比數(shù)列an中，Sn是它的前n項和，若a2a32a1，且a4與2a7的等差中項為17，則S6_.解析：設(shè)an的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，

3、a2a3a1a42a1，則a42；由a4與2a7的等差中項為17知，a42a721734，得a716.q38，即q2，a1，則S6.答案：2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a3a813，S735，則a7_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由已知得(a12d)(a17d)13，S735.聯(lián)立兩式，解得a12，d1，a7a16d8.答案：83已知等差數(shù)列an，a29，a521.(1)求an的通項；(2)令bn2an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，依題意得方程組解得a15，d4，數(shù)列an的通項an4n1.(2)由an4n1得，bn24n1，bn是首項

4、為b125，公比為q24的等比數(shù)列，于是得，數(shù)列bn的前n項和Sn.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要涉及數(shù)列的單調(diào)性、最值及其前n項和的性質(zhì)利用性質(zhì)求數(shù)列中某一項等，試題充分體現(xiàn)“小”“巧”“活”的特點，題型多以填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較小等差、等比數(shù)列的主要性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq. 特別地，若mn2p，則aman2ap若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.特別地，若mn2p，則amanaam，amk，am2k，仍是等差數(shù)列，公差為kdam，amk，am2k，仍是等比數(shù)列，公比為qk若an，bn是兩個項數(shù)相同

5、的等差數(shù)列，則panqbn仍是等差數(shù)列若an，bn是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則panqbn仍是等比數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比數(shù)列(q1或q1且k為奇數(shù))若數(shù)列an項數(shù)為2n，則S偶S奇nd，若數(shù)列an的項數(shù)為2n，則q若數(shù)列an項數(shù)為2n1，則S奇S偶an1，若數(shù)列an項數(shù)為2n1，則q典例(1)已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示數(shù)列an的前n項和，則使得Sn取得最大值的n是_(2)記等比數(shù)列an的前n項積為Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，則m_.解析(1)由a1a3a510

6、5得，3a3105，a335.同理可得a433，da4a32，ana4(n4)(2)412n.由得n20.使Sn達到最大值的n是20.(2)因為an為等比數(shù)列，所以am1am1a，又由am1am12am0，從而am2.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m1)項積T2m1a，則22m1128，故m4.答案(1)20(2)4類題通法關(guān)于等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應用問題，可以直接構(gòu)造關(guān)于首項a1和公差d(公比q)的方程或方程組來求解，再根據(jù)等差(比)數(shù)列的通項公式直接求其值，此解思路簡單，但運算過程復雜1等差數(shù)列an的前16項和為640，前16項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為2218，則公差d，的值分別是_解析：設(shè)

7、S奇a1a3a15，S偶a2a4a16，則有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，.由解得S奇288，S偶352.因此d8，.答案：8，2等差數(shù)列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則該數(shù)列的前13項和為_解析：3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1326.答案：26數(shù)列的通項及求和數(shù)列求和一直是考查的熱點，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn)一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大1已知遞推公式求通項公式的常見類型(1)類型一an1anf(n)把原遞推公

8、式轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解(2)類型二an1f(n)an把原遞推公式轉(zhuǎn)化為f(n)，再利用疊乘法(逐商相乘法)求解(3)類型三an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中t，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解2數(shù)列求和(1)錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積組成的數(shù)列把Sna1a2an兩邊同乘以相應等比數(shù)列的公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯位相減即可求出Sn.(2)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消

9、法適用于形如(其中an是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列(3)拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項)，再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列，最后分別求和(4)并項求和法：與拆項分組相反，并項求和是把數(shù)列的兩項(或多項)組合在一起，重新構(gòu)成一個數(shù)列再求和，一般適用于正負相間排列的數(shù)列求和，注意對數(shù)列項數(shù)奇偶性的討論典例(1)已知a11，an12an1，則an_.(2)已知a12，an1ann，則an_.(3)設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.求數(shù)列an的通項公式；設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解析(1)an12an1，則an112(an1)，2，又a11，a1

10、12，故an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，an122n12n，故an2n1.(2)當n取1,2,3，n1時，可得n1個等式即anan1n1，an1an2n2，a2a11，將其兩邊分別相加，得ana1123(n1)，ana12.答案(1)2n1(2)2(3)解：因為a13a232a33n1an，()所以當n2時，a13a232a33n2an1，()()()得3n1an，所以an(n2)在()中，令n1，得a1，滿足an，所以an(nN*)由知an，故bnn3n.則Sn131232333n3n，3Sn132233334n3n1，兩式相減得2Sn33233343nn3n1n3n1，所以Sn.類題

11、通法(1)由遞推公式求數(shù)列通項公式時，一是要注意判別類型與方法二是要注意an的完整表達式，易忽視n1的情況(2)數(shù)列求和時，根據(jù)數(shù)列通項公式特征選擇求和法，尤其是涉及到等比數(shù)列求和時要注意公比q對Sn的影響1已知函數(shù)f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100_.解析：因為f(n)n2cos(n)，所以a1a2a3a100f(1)f(2)f(100)f(2)f(101)，f(1)f(2)f(100)122232429921002(2212)(4232)(1002992)371995 050，f(2)f(101)22324299210021012(2232)(425

12、2)(10021012)592015 150，所以a1a2a3a100f(1)f(2)f(100)f(2)f(101)5 1505 050100.答案：1002已知a12a222a32n1an96n，則數(shù)列an的通項公式是_解析：令Sna12a222a32n1an，則Sn96n，當n1時，a1S13；當n2時，2n1anSnSn16，an.通項公式an答案：an3已知數(shù)列an的前n項和是Sn，且Snan1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog(1Sn1)(nN*)，令Tn，求Tn.解：(1)當n1時，a1S1，由S1a11，得a1，當n2時，Sn1an，Sn11an1，則Sn

13、Sn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故數(shù)列an是以為首項，為公比的等比數(shù)列故ann12n(nN*)(2)因為1Snann.所以bnlog(1Sn1)logn1n1，因為，所以Tn.4已知數(shù)列an中，a11，前n項和Snan.(1)求a2，a3；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)Snan，且a11，S2a2，即a1a2a2，得a23.由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，得a36.(2)由題設(shè)知a11.當n2時，有anSnSn1anan1，整理得anan1，即，于是3，以上n1個式子的兩端分別相乘，得，an，n2.又a11適合上式，故an，nN*.1等差數(shù)列an

14、的前n項和為Sn，且S36，a30，則公差d_.解析：依題意得S33a26，即a22，故da3a22.答案：22已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和若S84S4，則a10_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.由題設(shè)知d1，S84S4，所以8a1284(4a16)，解得a1，所以a109.答案：3數(shù)列an滿足a10，an1an2n，則an的通項公式an_.解析：由已知，得an1an2n，故ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)0242(n1)n(n1)答案：n(n1)4已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則該數(shù)列的前2 016項的乘積a1a2a3a2 016

15、_.解析：由題意可得，a23，a3，a4，a52a1，數(shù)列an是以4為周期的數(shù)列，且a1a2a3a41，而2 0164504，前2 016項乘積為a1a2a3a41.答案：15設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.解析：由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，則3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.答案：3n16在單調(diào)遞減的等比數(shù)列an中，若a31，a2a4，則a1_.解析：在等比數(shù)列an中，a2a4a1，又a2a4，數(shù)列an為遞減數(shù)列，a22，a4，q2，a30，a2a40，q0，q，a14.答案

16、：47已知數(shù)列an中，a11，(2n1)an(2n3)an1(n2)，則數(shù)列an的通項公式為_解析：由題意可得(n2)，所以，上述各式左右相乘得(n2)，解得an(n2)，又a11符合，所以，通項公式an(nN*)答案：an8在數(shù)列an中，an0，a1，如果an1是1與的等比中項，那么a1的值是_解析：由題意可得，a(2an1anan11)(2an1anan11)0an1an111，(n1)n1an，a11.答案：9數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6_.解析：因為an13Sn，所以an3Sn1(n2)，兩式相減得，an1an3an，即4(n2)，所以數(shù)列a2，a3

17、，a4，構(gòu)成以a23S13a13為首項，公比為4的等比數(shù)列，所以a6a244344768.答案：76810設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：當n1時，S1a11，所以1.因為an1Sn1SnSnSn1，所以1，即1，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以(1)(n1)(1)n，所以Sn.答案：11已知數(shù)列an滿足a11，an12an，數(shù)列bn滿足b13，b26，且bnan為等差數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)由題意知數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，所以an2n1.因為b1a12，b2a24，所以

18、數(shù)列bnan的公差d2，所以bnan(b1a1)(n1)d22(n1)2n，所以bn2n2n1.(2)Tnb1b2b3bn(2462n)(1242n1)n(n1)2n1.12Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解：(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.13在數(shù)列an中，an0，Sn為其前n項和，2Sn4an1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn滿足對任意nN*，都有b1anb2an1bna12nn1，求數(shù)列bn的第5項b5.解：(1)當n1時，2S14a11a1.又兩式相減得：2an14an14an，即an12