1、第2講函數(shù)的應(yīng)用1.求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見(jiàn)題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)2函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題熱點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0)的根存在的大致區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)答案B解析設(shè)f(x)ln(x1)，則f(1)ln(11)2ln 220，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2)所以B選項(xiàng)正確(2)(2017屆河北滄州一中月考)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0

2、,1時(shí)，f(x)x，則方程f(x)log3|x|的解的個(gè)數(shù)是()A0 B2C4 D6答案C解析運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、周期性在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)，ylog3|x|的圖象，結(jié)合圖象可以看出：兩個(gè)函數(shù)yf(x)，ylog3|x|有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)log3|x|有四個(gè)解，故選C.思維升華函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的有(1)函數(shù)零點(diǎn)大致存在區(qū)間的確定(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定解決這類問(wèn)題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解跟蹤演練1(1)函數(shù)f(x)

3、2x2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A2，1B1,0C0,1D1,2答案B解析f(2)222(2)0，f(1)212(1)0，由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在1,0內(nèi)，故選B.(2)(2017屆甘肅高臺(tái)縣一中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)滿足：定義域?yàn)镽；xR，都有f(x2)f(x)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)|x|1，則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()A5 B6 C7 D8答案A解析畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個(gè)解熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與參數(shù)的范圍解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解例2(1)(

4、2017屆山東菏澤一中宏志部月考)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x2，若在區(qū)間1,3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(3,5)解析偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間1,3內(nèi)函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)當(dāng)0a1且解得3a5.(2)已知實(shí)數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f2(x)f(x)t0有三個(gè)不同的實(shí)根，則t的取值范圍為_(kāi)答案(，2解析方法一原問(wèn)題等價(jià)

5、于f2(x)f(x)t有三個(gè)不同的實(shí)根，即yt與yf2(x)f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，yf2(x)f(x)e2xex為增函數(shù)，在x0處取得最小值2，與yt只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，yf2(x)f(x)lg2(x)lg(x)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，其在(，0)上先減后增所以，要有三個(gè)不同交點(diǎn)，則需t2，解得t2. 方法二設(shè)mf(x)，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則當(dāng)m1時(shí)，mf(x)有兩個(gè)根，當(dāng)m1時(shí)，mf(x)有一個(gè)根，若關(guān)于x的方程f2(x)f(x)t0有三個(gè)不同的實(shí)根，則等價(jià)為m2mt0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且m1或m1，當(dāng)m1時(shí)，t2，此時(shí)由m2m20，解得m1或m2，滿足

6、f(x)1有兩個(gè)根，f(x)2有一個(gè)根，滿足條件；當(dāng)m1時(shí)，設(shè)h(m)m2mt，則h(1)0即可，即11t0，解得t2，綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為t2.思維升華(1)方程f(x)g(x)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)關(guān)于x的方程f(x)m0有解，m的范圍就是函數(shù)yf(x)的值域跟蹤演練2(1)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k0有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案0,1)(2，)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出當(dāng)0k2時(shí)符合題設(shè)(2)(2017全國(guó))已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點(diǎn)，則a等于()A B. C. D1

7、答案C解析方法一f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，g(t)也有唯一零點(diǎn)又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a.故選C.方法二f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”若a0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C.熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)

8、題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果(4)實(shí)際問(wèn)題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題作出解答例3(2017屆湖北孝感市統(tǒng)考)經(jīng)測(cè)算，某型號(hào)汽車在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油量y(升)與速度x(千米/小時(shí))(50x120)的關(guān)系可近似表示為：y(1)該型號(hào)汽車速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最低？(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號(hào)汽車勻速?gòu)腁地駛向B地，則汽車速度為多少時(shí)總耗油

9、量最少？解(1)當(dāng)x50,80)時(shí)，y(x2130x4 900)(x65)2675當(dāng)x65時(shí)，y有最小值6759.當(dāng)x80,120時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x120時(shí)，y有最小值10.因?yàn)?10，故當(dāng)x65時(shí)每小時(shí)耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為l，由題意可知ly.當(dāng)x50,80)時(shí)，ly16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x70時(shí)，l取得最小值16.當(dāng)x80,120時(shí)，ly2為減函數(shù)當(dāng)x120時(shí)，l取得最小值10.因?yàn)?00，xR)若f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以2，所以，所以01.當(dāng)x(，2

10、)時(shí)，x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)有零點(diǎn)，則k2 (kZ)，即k(kZ)當(dāng)k0時(shí)，；當(dāng)k1時(shí)，.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，0或.2(2017山東改編)已知當(dāng)x0,1時(shí)，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(0,13，)解析在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形：(1)當(dāng)0m1時(shí)，1，如圖，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意(2)當(dāng)m1時(shí)，01，如圖，要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個(gè)交點(diǎn)，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或

11、m0(舍去)綜上所述，m(0,13，)3(2017江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)其中集合D，則方程f(x)lg x0的解的個(gè)數(shù)是_答案8解析由于f(x)0,1)，則只需考慮1xg，g(4)32，g(1)2，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)一共有5個(gè)，所以f(x)2sin xx1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押題依據(jù)利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想答案D解析g(x)f(x)2x要使函數(shù)g(x)恰有

12、三個(gè)不同的零點(diǎn)，只需g(x)0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以或所以g(x)0的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助數(shù)軸，可得1a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2)，故選D.3在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)m.押題依據(jù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是高考的必考點(diǎn)，函數(shù)的最值問(wèn)題是應(yīng)用問(wèn)題考查的熱點(diǎn)答案20解析如圖，過(guò)A作AHBC交BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)F，易知AFxFH40x，則Sx(40x)2，當(dāng)且僅當(dāng)40xx，即x20時(shí)取等號(hào)，所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20 m.A組專題通關(guān)1已知函數(shù)f(x)xsin x, 則f(x)在0,2上的

13、零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3答案C解析由題意得f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)yx與函數(shù)ysin x在0,2上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，結(jié)合圖象可得函數(shù)yx與函數(shù)ysin x在0,2上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選C.2(2017屆遵義期中)某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn)，第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用2萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加3萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為21萬(wàn)元，設(shè)該設(shè)備使用了n(nN*)年后，盈利總額達(dá)到最大值(盈利額等于收入減去成本)，則n等于()A6 B7C8 D7或8答案B解析盈利總額為21n9n2n9，由于對(duì)稱軸為n，所以當(dāng)n7時(shí)，取最大值，故選B.3(20

14、17屆陜西西安鐵一中三模)如圖是函數(shù)f(x)x2axb的部分圖象，則函數(shù)g(x)ln xf(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.B.C(1,2) D(2,3)答案B解析由函數(shù)圖象可知即函數(shù)g(x)ln x2xaln x2x1b，gln 11bln 2b0，所以零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，故選B.4已知函數(shù)yf(x)的周期為2，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)(x1)2，如果g(x)f(x)log5|x1|，則方程g(x)0的所有根之和為()A2 B4 C6 D8答案D解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)及ylog5|x1|的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可以看出函數(shù)共有8個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于x1對(duì)稱，故所有零點(diǎn)的和為248，故

15、選D.5(2017屆湖南長(zhǎng)沙一中月考)將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過(guò)5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)m min甲桶中的水只有升，則m的值為()A5 B6C8 D10答案A解析根據(jù)題知，因?yàn)? min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)yaent，滿足f(5)ae5na，可得nln ，因此當(dāng)k min后甲桶中的水只有升，即f(k)，即ln kln ，所以ln k2ln ，解得k10，k55，即m5，故選A.6(2017屆陜西黃陵中學(xué)月考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1，圖象如圖1所示，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,2，圖象如圖2所示，

16、方程f(g(x)0有m個(gè)實(shí)數(shù)根，方程g(f(x)0有n個(gè)實(shí)數(shù)根，則mn等于()A6 B8C10 D12答案C解析注意到f(1)f(0)f(1)0，g(x)1有2個(gè)根，g(x)0有3個(gè)根，g(x)1有2個(gè)根，故m7.注意到gg(0)g0，1f(x)1，f(x)0有3個(gè)根，故n3，所以mn10.7(2017屆江蘇無(wú)錫市普通高中期中)若函數(shù)y在區(qū)間(2,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案0,2ln 2)解析由題設(shè)可知函數(shù)yx2a與函數(shù)yxaln x在給定的區(qū)間(2,0和區(qū)間(0,2)內(nèi)分別有一個(gè)根，結(jié)合圖象可得即所以0a2ln 2.8(2017屆江蘇泰州中學(xué)期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿

17、足f(x)f(x5)16，當(dāng)x(1,4時(shí)，f(x)x22x，則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2 016上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_答案605解析因?yàn)閒(x)f(x5)16，則f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以該函數(shù)的周期是T10.由于函數(shù)yf(x)在(1,4上有三個(gè)零點(diǎn)，因此在區(qū)間(1,9)上只有三個(gè)零點(diǎn)，而2 01654031，故在區(qū)間0,2 016上共有(40331)2(1 2091)2605(個(gè))交點(diǎn)9(2017屆河南省鄭州市第一中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)f(

18、x)ex2x3與g(x)x2axx4互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析由題意知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x2，設(shè)g(x)滿足|2|1的零點(diǎn)為，因?yàn)閨2|1，解得13.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象開(kāi)口向上，所以要使g(x)的一個(gè)零點(diǎn)落在區(qū)間1,3上，則需滿足g(1)g(3)0或解得a4或3a，取并集得3a4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.10(2017屆江西撫州市七校聯(lián)考)食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來(lái)一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元，搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大

19、棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足P804，Qa120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)(1)求f(50)的值；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解(1)因?yàn)榧状笈锿度?0萬(wàn)元，則乙大棚投入150萬(wàn)元，所以f(50)804150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t2，6，則yt24t250(t8)2282，當(dāng)t8，即x128時(shí)，f(x)max282，所以當(dāng)甲大棚投

20、入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收益為282萬(wàn)元B組能力提高11(2017屆湖北孝感統(tǒng)考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則關(guān)于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和為1，則實(shí)數(shù)a的值為()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x(1,0時(shí)，f(x)f(x)log(x1)log2(1x)；當(dāng)x(，1時(shí)，f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1，所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)yf(x)與ya的交點(diǎn)，如圖所示，共5個(gè)；當(dāng)x(，1時(shí)，令|x3|1a，解得x14a，x2a2，當(dāng)x(1,0)時(shí)，令log2(1x)a，解得x312a；當(dāng)x1，)時(shí)，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零點(diǎn)之和為x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1，a.12(2017屆杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則方程fa的實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為()A8 B7C6 D5答