1、第三章 三角恒等變換1三角恒等變換中角的變換的技巧三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此三角恒等變換離不開角之間的變換.觀察條件及目標(biāo)式中角度間聯(lián)系，立足消除角之間存在的差異，或改變角的表達(dá)形式以便更好地溝通條件與結(jié)論使之統(tǒng)一，或有利于公式的運(yùn)用，化角是三角恒等變換的一種常用技巧.一、利用條件中的角表示目標(biāo)中的角例1已知cos，求cos的值.分析將看作一個整體，觀察與的關(guān)系.解，.coscoscos，即cos.二、利用目標(biāo)中的角表示條件中的角例2設(shè)為第四象限角，若，則tan 2_.分析要求tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，代入到中，首先求出cos 2

2、的值后，再由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出tan 2.解析由2cos2cos 2.2cos2cos 212cos 2.cos 2.為第四象限角，2k2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 2，2在第四象限，sin 2，tan 2.答案三、注意發(fā)現(xiàn)互余角、互補(bǔ)角，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角例3已知sin，0x，求的值.分析轉(zhuǎn)化為已知角的三角函數(shù)值，求這個角的其余三角函數(shù)值，這樣可以將所求式子化簡，使其出現(xiàn)這個角的三角函數(shù).解原式2sin2cos，sin，且0x0，sin0，故原式 sin.點(diǎn)評一般地，在化簡求值時，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2常常

3、化為平方式：2cos2、2sin2、(sin cos )2、(sin cos )2.三、靈活變角例3 已知sin()，則cos(2)_.解析cos(2)2cos2()12sin2()12()21.答案點(diǎn)評正確快速求解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用已知角“”表示待求角“2”，善于發(fā)現(xiàn)前者和后者的一半互余.四、構(gòu)造齊次弦式比，由切求弦例4 已知tan ，則的值是_.解析3.答案3點(diǎn)評解本題的關(guān)鍵是先由二倍角公式和平方關(guān)系把“”化為關(guān)于sin 和cos 的二次齊次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5 求cos cos cos cos cos 的

4、值.解原式cos cos cos cos cos .點(diǎn)評這類問題的解決方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍數(shù)即可.3聚焦三角函數(shù)最值的求解策略一、化為yAsin(x)B的形式求解例1求函數(shù)f(x)的最值.解原函數(shù)變形得f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函數(shù)ysin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并寫出y取最小值時x的集合.解原函數(shù)化簡得ysin 2xcos 2x2sin2.當(dāng)2x2k，kZ，即xk，kZ時，ymin2.此時x的集合為x|xk，kZ.點(diǎn)評形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d為常數(shù))的式子，都能轉(zhuǎn)化成yA

5、sin(2x)B的形式求最值.二、利用正、余弦函數(shù)的有界性求解例3求函數(shù)y的值域.解原函數(shù)整理得sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.函數(shù)的值域?yàn)閥|y或y3.例4求函數(shù)y的值域.解原函數(shù)整理得sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得y.點(diǎn)評對于形如y或y的這類函數(shù)，均可利用三角函數(shù)中弦函數(shù)的有界性去求最值.三、轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)在某確定區(qū)間上求最值例5設(shè)關(guān)于x的函數(shù)ycos 2x2acos x2a的最小值為f(a)，寫出f(a)的表達(dá)式.解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.當(dāng)1，即a1，

6、即a2時，f(a)ymin14a，此時cos x1.綜上所述，f(a)點(diǎn)評形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)yat2btc在區(qū)間1，1上的最值問題解決.例6試求函數(shù)ysin xcos x2sin xcos x2的最值.解設(shè)sin xcos xt，t， ，則2sin xcos xt21，原函數(shù)變?yōu)閥t2t1，t， ，當(dāng)t時，ymin；當(dāng)t時，ymax3.點(diǎn)評一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函數(shù)采用換元法可以轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)解最值.注意以下結(jié)論的運(yùn)用，設(shè)sin xcos xt，則sin xcos x(t21)；sin

7、 xcos xt，則sin xcos x(1t2).四、利用函數(shù)的單調(diào)性求解例7求函數(shù)y的最值.解y(sin x2)，令tsin x2，則t1，3，yt.利用函數(shù)單調(diào)性的定義易證函數(shù)yt在1，3上為增函數(shù).故當(dāng)t1，即sin x1時，ymin0；當(dāng)t3，即sin x1時，ymax.例8在RtABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)ABa，ABC，ABC的面積為P，正方形面積為Q.求的最小值.解ACatan ，PABACa2tan .設(shè)正方形的邊長為x，AGxcos ，BC.BC邊上的高h(yuǎn)asin ，即，x，Qx2.從而1.易知函數(shù)y在區(qū)間(0，1上單調(diào)遞減，從而，當(dāng)sin 21時，m

8、in.點(diǎn)評一些復(fù)雜的三角函數(shù)最值問題，通過適當(dāng)換元轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)函數(shù)后，可利用函數(shù)單調(diào)性巧妙解決.4行百里者半九十三角恒等變換一章易錯問題盤點(diǎn)一、求角時選擇三角函數(shù)類型不當(dāng)而致錯例1已知sin ，sin ，和都是銳角，求的值.錯解因?yàn)楹投际卿J角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin cos cos sin .因?yàn)?，則(0，).所以或.剖析由sin ，sin ，和都是銳角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出現(xiàn)兩個答案，其中就有一個是錯誤的.這是因?yàn)閟in()在第一、第二象限沒有區(qū)分度，應(yīng)選擇計算cos()的值.正解因?yàn)楹投际卿J角，且sin ，sin ，所

9、以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因?yàn)?，所?0，)，所以.溫馨點(diǎn)評根據(jù)條件求角，主要有兩步：(1)求角的某種三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍，從而確定所求角的值.完成第一步一般要選擇相對角的范圍區(qū)分度比較大的三角函數(shù)，且確定范圍要盡量縮小.二、忽視條件中隱含的角的范圍而致錯例2已知tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求的值.錯解由題意知tan 、tan 是方程x26x70的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0，角、都是鈍角.上述解法忽視了這一隱含條件.正解由易知tan 0，tan 0

10、.、(0，)，0，得B，且sin B.由sin A，得cos A，當(dāng)cos A時，cos A.sin B，B，B.故當(dāng)cos A時，AB，與A、B是ABC的內(nèi)角矛盾.cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.溫馨點(diǎn)評涉及三角形中的內(nèi)角問題時，一定要注意內(nèi)角和ABC180這一隱含條件.尤其是由內(nèi)角正弦值確定角的大小時，要防止增解出現(xiàn).四、忽略三角函數(shù)的定義域而致錯例4判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.錯解f(x)tan ，由此得f(x)tantan f(x)，因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù).剖析運(yùn)用公式后所得函數(shù)f(x)tan 的定義域?yàn)?兩函數(shù)的定義域不同，變形后的函數(shù)定

11、義域擴(kuò)大致錯.正解事實(shí)上，由1sin xcos x0可得sin xcos x1，即sin1，從而sin，所以x2k且x2k(kZ)，故函數(shù)f(x)的定義域是，顯然該定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱.因此，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù).溫馨點(diǎn)評判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).上述解法正是由于忽視了對函數(shù)定義域這一隱含條件的考慮致錯.五、誤用公式asin xbcos xsin(x)而致錯例5若函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)，xR是偶函數(shù)，求的值.錯解f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos sin.f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù)

12、.|f(0)|f(x)max.f(0)sin，sin1，k，kZ.即k，kZ.剖析x與x是不同的角.函數(shù)f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值誤當(dāng)作來處理.正解f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù).f(x)f(x)對一切xR恒成立.即sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立.sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0恒成立.即2sin x(cos sin )0恒成立.cos sin 0.cos sin sin0.k，即k，kZ.溫馨點(diǎn)評注意公式asin xbcos xsin(x)的左端是同角x.當(dāng)三角函數(shù)式不符合這

13、一特征時，不能使用該公式.例如：函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(xR)的最大值不是2.5平面向量與三角函數(shù)的交匯題型大全平面向量與三角函數(shù)的交匯是當(dāng)今高考命題的一個熱點(diǎn)，這是因?yàn)榇祟愒囶}既新穎而精巧，又符合在知識的“交匯處”構(gòu)題的命題思想.這類試題解答的關(guān)鍵是利用向量的平行、垂直、夾角、模、數(shù)量積公式將問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后聯(lián)想相關(guān)的三角函數(shù)知識求解.一、平面向量平行與三角函數(shù)交匯例1 已知a(2cos x2sin x，1)，b(y，cos x)，且ab.若f(x)是y關(guān)于x的函數(shù)，則f(x)的最小正周期為_.解析由ab得2cos2x2sin xcos xy0，即y2cos2x2sin

14、 xcos xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，所以f(x)2sin(2x)1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T.答案點(diǎn)評解答平面向量平行與三角函數(shù)的交匯試題一般先用平面向量平行的條件求涉及到三角函數(shù)的解析式或某角的函數(shù)值，然后再利用三角知識求解.二、平面向量垂直與三角函數(shù)交匯例2 已知向量a(4，5cos )，b(3，4tan )，(0，)，若ab，則cos(2)_.解析因?yàn)閍b，所以435cos (4tan )0，解得sin .又因?yàn)?0，)，所以cos .cos 212sin2，sin 22sin cos ，于是cos(2)cos 2cossin 2sin.答案點(diǎn)評解答平面向

15、量垂直與三角函數(shù)的交匯試題通常先利用平面向量垂直的條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的知識進(jìn)行處理.三、平面向量夾角與三角函數(shù)交匯例3 已知向量m(sin ，1cos )(0)與向量n(2，0)的夾角為，則_.解析由條件得|m|，|n|2，mn2sin ，于是由平面向量的夾角公式得cos ，整理得2cos2 cos 10，解得cos 或cos 1(舍去).因?yàn)?，所以.答案點(diǎn)評解答平面向量的夾角與三角函數(shù)的交匯試題主要利用平面向量的夾角公式建立某角的三角函數(shù)的方程或不等式，然后由三角函數(shù)的知識求解.四、平面向量的模與三角函數(shù)交匯例4 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，則

16、|2ab|的最大值為_.解析由條件可得|a|1，|b|2，abcos sin ，則|2ab| 4，所以|2ab|的最大值為4.答案4點(diǎn)評解答平面向量的模與三角函數(shù)交匯一般要用到向量的模的性質(zhì)|a|2a2.如果是求模的大小，則一般可直接求解；如果是求模的最值，則常常先建立模關(guān)于某角的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性求解.五、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)交匯例5 若函數(shù)f(x)2sin(x)(2x10)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線l與函數(shù)的圖象交于B、C兩點(diǎn)，則()等于()A.32 B.16C.16 D.32解析由f(x)0，解得x4，即A(4，0)，過點(diǎn)A的直線l與函數(shù)的圖象交于B、C兩點(diǎn)，

17、根據(jù)對稱性可知，A是BC的中點(diǎn)，所以2，所以()22|224232，答案D點(diǎn)評平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合主要體現(xiàn)為兩類：(1)利用三角函數(shù)給出向量的坐標(biāo)形式，然后求數(shù)量積，解答時利用數(shù)量積公式可直接解決；(2)給出三角函數(shù)圖象，求圖象上相關(guān)點(diǎn)構(gòu)成的向量之間的數(shù)量積，解答時關(guān)鍵是求涉及到的向量的模、以及它們的夾角.6單位圓與三角恒等變換巧結(jié)緣單位圓與三角函數(shù)有著密切聯(lián)系，下面我們通過例題來看看單位圓與三角恒等變換是如何結(jié)緣的.一、借助單位圓解決問題例1已知sin sin ，cos cos ，求tan .(提示：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為解設(shè)A(cos ，sin

18、 )，B(cos ，sin )均在單位圓上，如圖，則以O(shè)A、OB為終邊的角分別為、，由已知，sin sin ，cos cos ，用題設(shè)所給的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得AB的中點(diǎn)C，如圖，由平面幾何知識知，以O(shè)C為終邊的角為，且過點(diǎn)C，由三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，知tan .點(diǎn)評借助單位圓使問題簡單化，這種思維方法貫穿整個三角函數(shù)問題的始終，特別在求值中更能顯出它的價值.二、單位圓與恒等變換的交匯例2已知圓x2y2R2與直線y2xm相交于A、B兩點(diǎn)，以x軸的正方向?yàn)槭歼?，OA為終邊(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的角為，OB為終邊的角為，則tan()的值為_.解析如圖，過O作OMAB于點(diǎn)M，不妨設(shè)、0，2，則AOMBOMAOB

19、()，又因?yàn)閤OMAOM，所以tan kOM，故tan().答案點(diǎn)評若是采用先求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求、的正切值這一思路就很繁鎖甚至做不下去，可見用不同的解決方法繁簡程度不同.例3如圖，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，OA為角的終邊，OB為角的終邊，M為AB的中點(diǎn)，連接OM并延長交圓O于點(diǎn)C. (1)若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)設(shè)()，C(m，n)，求ymn的最小值，并求使函數(shù)取得最小值時的取值.解(1)由三角函數(shù)定義可知，A，B，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M.(2)由已知得xOC()()，即C，故mcos，nsin，所以ycossinsin，又因?yàn)?，故，?dāng)0或時，函數(shù)取得最小值yminsin.點(diǎn)評借助單位圓和點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合，利用平面幾何知識和三角函數(shù)的定