1、五、子空間,概述：線性空間Vn（F）中，向量集合V可以有集合的運算和關系： Wi V， W1W2， W1W2， 問題：這些關系或運算的結果是否仍然為線性空間 ？,1. 子空間的概念,定義： 設集合WVn（F），W ，如果W中的元素關于Vn（F）中的線性運算為線性空間，則稱W是Vn（F）的子空間。 判別方法： W是子空間 W對Vn（F）的線性運算封閉。 子空間本身就是線性空間。 子空間的判別方法可以作為判別某些線性空間的方法。,重要的子空間： 設向量組1，2， mVn（F），由它們的一切線性組合生成的子空間： L1，2，m = ,矩陣AF mn，兩個子空間： A的零空間：N(A)=X ： AX=

2、0F n， A的列空間： R(A)= LA1，A2，A nF m， Ai為A的第i列。 R(A)=y ：x F n, y= Ax,2. 子空間的“交空間”與“和空間”,討論：設W 1 Vn(F)，W2 Vn(F)，且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？ （1） 交空間 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn(F) 容易驗證： W1W2是子空間，被稱為“交空間” （2）和空間 和集： W1W2=X1X2X1W1，X2W2，,W1W2 W1W2,容易驗證： W1W2是子空間，被稱為“和空間”，,W1W2不一定是子空間，W1W2 W1W2,例17 設R3中的子空間W1=Le1，W2

3、=Le2 求和空間W1W2。 比較：集合W1W2和集合W1W2。,如果 W1=L1，2， m ， W2=L1，2， k， 則 W1W2=L1，2，m，1，2， k ,3 . 維數公式,子空間的包含關系：,dimW1W2 dim Wi dimW1W2 dimVn(F)。 定理1.6 ：(P216) dimW1dimW2=dim(W1W2)dim(W1W2) 證明的主要方法：基擴充方法,4. 子空間的直和,分析：如果dim(W1W2)0，則 dim(W1W2)dimW1dimW2 所以： dim(W1W2)=dimW1dimW2 dim(W1W2)=0 W1W2=0 直和的定義： 定義16 ： d

4、im(W1W2)=0 ，則和為直和 W=W 1W2=W1W2，,子空間的“和”為“直和”的充要條件 ： 定理18 設W=W1W2，則下列各條等價： （1） W=W1W2 （2） X W，X=X 1X2的表示 是惟一的 （3） W中零向量的表示是惟一的 （4） dim W =dimW1dimW2,例1 設在Rnn中，子空間 W 1=A AT =A ， W2=BBT= B ， 證明Rnn=W1W2。 例2 子空間W的“直和補子空間” (P.218, 定理6.1-4), 12 內積空間,主題：定義內積的概念，借助于內積建立線性 空間的度量關系（長度，正交等）。 一、 歐氏空間和酉空間 1. 幾何空間

5、中度量的定義基礎 2. 內積的定義 定義17 (P237) ：要點 內積(，)是二元運算：Vn(F) F (，)的公理性質 (，)是任何滿足定義的運算。 討論(，12), (，k),3. 內積空間的定義 Vn（F）；（，） ，F= R ，歐氏空間；F=C，酉空間 4. 常見的內積空間： R n ；(，)= T , C n ；(，)=H , C mn；(A，B)=tr (B H A) PnX ；(f(x)，g(x) )= ,5. 向量的長度 定義： | | =,6 歐氏空間中向量的夾角： 定義：0，0，夾角定義為： cos=,性質： | k | =k | | ； Cauchy 不等式： ， Vn

6、(F)；(，), | (，) | | | | | 。 | | | | | |, 和 正交 （，）=0,6. 線性空間的內積及其計算與矩陣表示： 設1，2，, n 是內積空間Vn(F)的基，Vn(F)，則有 =x11x22x n n = (12 n)X； =y11y22y n n= (1 2 n)Y (，)= =Y HAX，,定義內積 在一個基1，2， n 下定義內積 確定一個度量矩陣A 。,度量矩陣 A,度量矩陣A的性質：Hermite 性與正定性,二、標準正交基,1. 標準正交的向量組： 定義： 1，2，n為正交組(i，j ) =0 性質： 2. 標準正交基 基1， 2，n是標準正交基 (i， j)=,標準正交基的優(yōu)點：,標準正交基的優(yōu)點： 度量矩陣是單位矩陣，即A=I =(12 n)X，=(12 n) Y， (，)=YHX = x1 1x2 2x n n，xi=(，i) 和正交其坐標 X和Y正交 任何向量的內積將對應其坐標空間中的內積,坐標空間F n的 內 積,求標準正交基的步驟 (P.11, 定理1.1-5) Schmidt 正交化 標準化 矩陣