1、3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算最新考綱考情考向分析1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y，y的導(dǎo)數(shù)4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算是高考的必考內(nèi)容，一般滲透在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中考查；導(dǎo)數(shù)的幾何意義常與解析幾何中的直線交匯考查；題型為選擇題或解答題的第(1)問，低檔難度.1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)當(dāng)x1趨于x0，即x趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率

2、在數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào)f(x0)表示，記作f(x0) .(2)如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)：f(x) ，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(為實(shí)數(shù))f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)e

3、xf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)yf(u)和u(x)axb，給定x的一個(gè)值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數(shù)，我們稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)yf(u)和u(x)的復(fù)合函數(shù)，記作yf(x)其中u為中間變量復(fù)合函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)為yxf(x)f(u)(x)知識(shí)拓展1奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函

4、數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率()(2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(3)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線()(4)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x()題組二教材改編2若f(x)xex，則f(1) .答案2e解析f(x)exxex

5、，f(1)2e.3曲線y1在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為 答案2xy10解析y，當(dāng)x1時(shí)，y2.故所求切線方程為2xy10.題組三易錯(cuò)自糾4如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，那么yf(x)，yg(x)的圖像可能是()答案D解析由yf(x)的圖像知，yf(x)在(0，)上是減少的，說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也是減少的，故可排除A，C.又由圖像知yf(x)與yg(x)的圖像在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖像在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.5有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為st2(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t2時(shí)的瞬時(shí)速度為()A. B

6、. C. D.答案D6設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)fsin xcos x，則f .答案解析因?yàn)閒(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcossin，即f1，所以f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.故fcossin.7已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a .答案1解析f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)，又點(diǎn)(2,7)在切線上，可得a1.題型一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，則x0等于()A

7、e2 B1 Cln 2 De答案B解析f(x)2 018ln xx2 019ln x，故由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，則ln x00，解得x01.2若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)且f(1)2，f(1)2.3已知f(x)x22xf(1)，則f(0) .答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.思維升華 導(dǎo)數(shù)計(jì)算的技巧(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，減少運(yùn)算量(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向

8、內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程典例 (1)曲線f(x)在x0處的切線方程為 答案2xy10解析根據(jù)題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，f(x)，故切線的斜率kf(0)2，則直線的方程為y(1)2(x0)，即2xy10.(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為 答案xy10解析點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又f(x)1ln x，直線l的方程為y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直線l的方程為yx1，即xy10.引申探究本例(2)中，若曲線yxln x上點(diǎn)P的切線平行于

9、直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 答案(e，e)解析y1ln x，令y2，即1ln x2，xe，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e，e)命題點(diǎn)2求參數(shù)的值典例 (1)直線ykx1與曲線yx3axb相切于點(diǎn)A(1,3)，則2ab .答案1解析由題意知，yx3axb的導(dǎo)數(shù)y3x2a，則由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，與f(x)圖像的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m .答案2解析f(x)，直線l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，

10、y0x01，y0xmx0，m0，m2.命題點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像典例 (1)已知函數(shù)yf(x)的圖像是下列四個(gè)圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是()答案B解析由yf(x)的圖像是先上升后下降可知，函數(shù)yf(x)圖像的切線的斜率先增大后減小，故選B.(2)已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3) .答案0解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，g(3)130

11、.思維升華 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值kf(x0)(2)若求過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可(3)函數(shù)圖像在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖像在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017山西孝義模擬)已知f(x)x2，則曲線yf(x)過點(diǎn)P(1,0)的切線方程是 答案y0或4xy40解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，f(x)2x，切線方程為y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切線方程為y0或y4(x1)，即y0或4xy40.(2

12、)設(shè)曲線y在點(diǎn)處的切線與直線xay10平行，則實(shí)數(shù)a .答案1解析y，當(dāng)x時(shí)，y1.由條件知1，a1.求曲線的切線方程典例 若存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切，求a的值錯(cuò)解展示：現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解易知點(diǎn)O(0,0)在曲線yx33x22x上(1)當(dāng)O(0,0)是切點(diǎn)時(shí)，由y3x26x2，得當(dāng)x0時(shí)，y2，即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y2x.由得x22xa0，依題意44a0，得a1.(2)當(dāng)O(0,0)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l與曲線yx33x22x相切于點(diǎn)P(x0，y0)，則y0x3x2x0，k3x6x02，又kx3x02，聯(lián)立，得x0(x00舍去)，所以k，故直線l

13、的方程為yx.由得x2xa0，依題意知4a0，得a.綜上，a1或a.糾錯(cuò)心得求曲線過一點(diǎn)的切線方程，要考慮已知點(diǎn)是切點(diǎn)和已知點(diǎn)不是切點(diǎn)兩種情況1函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)答案C解析f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像可能是()答案C解析原函數(shù)的單調(diào)性是當(dāng)x0時(shí)，f(x)的單調(diào)性變化依次為增、減、增，故當(dāng)x0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)的符號(hào)變化依次為，.故選C.3(2017西安質(zhì)檢)曲線f(x)x

14、3x3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y2x1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1，3)答案C解析f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1,3)，(1,3)均不在直線y2x1上，故選C.4設(shè)曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，則a等于()A0 B1 C2 D3答案D解析yeaxln(x1)，yaeax，當(dāng)x0時(shí)，ya1.曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，a12，即a3.故選D.5(2018廣州調(diào)研)已知曲線yln x的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為()Ae B

15、e C. D答案C解析yln x的定義域?yàn)?0，)，且y，設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0)，則當(dāng)xx0時(shí)y，切線方程為yln x0(xx0)，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切線的斜率為.6一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為st33t28t，那么速度為零的時(shí)刻是()A1秒末 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末答案D解析s(t)t26t8，由導(dǎo)數(shù)的定義知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度為零7(2017西安模擬)設(shè)曲線yaxln(x1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y2x，則a .答案3解析ya，由題意得當(dāng)x0時(shí)，y2，即a12

16、，所以a3.8(2018屆云南紅河州檢測(cè))已知曲線f(x)xln x在點(diǎn)(e，f(e)處的切線與曲線yx2a相切，則a .答案1e解析因?yàn)閒(x)ln x1，所以曲線f(x)xln x在xe處的切線斜率為k2，則曲線f(x)xln x在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為y2xe.由于切線與曲線yx2a相切，故yx2a可聯(lián)立y2xe，得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.9已知曲線y，則曲線的切線斜率取得最小值時(shí)的直線方程為 答案x4y20解析y，因?yàn)閑x0，所以ex22(當(dāng)且僅當(dāng)ex，即x0時(shí)取等號(hào))，則ex24，故y(當(dāng)x0時(shí)取等號(hào))當(dāng)x0時(shí)，曲線的切線斜率取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)的坐

17、標(biāo)為，切線的方程為y(x0)，即x4y20.10(2018成都質(zhì)檢)已知f(x)，g(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且它們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)的圖像如圖所示(1)若f(1)1，則f(1) ；(2)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，則h(1)，h(0)，h(1)的大小關(guān)系為 (用“”連接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由圖可得f(x)x，g(x)x2，設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，則f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，則

18、f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，則有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)h(1)11已知函數(shù)f(x)x34x25x4.(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)的曲線f(x)的切線方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲線在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y2x2，即xy40.(2)設(shè)曲線與經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)的切線相切于點(diǎn)P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切線方程為y(2)(3x8x05)(x2)，又切線過點(diǎn)P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8

19、x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)的曲線f(x)的切線方程為xy40或y20.12已知曲線yx3x2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4xy10，且點(diǎn)P0在第三象限(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線ll1，且l也過切點(diǎn)P0，求直線l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解得x1.當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y4.又點(diǎn)P0在第三象限，切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，4)(2)直線ll1，l1的斜率為4，直線l的斜率為.l過切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，4)，直線l的方程為y4(x1)，即x4y170.13已知函數(shù)f(x)1，g(x)aln x，若在x處函數(shù)f(x)與g(x)的圖像的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為()A. B. C1 D4答案A解析由題意可知f(x)，g(x)，由fg，得，可得a，經(jīng)檢驗(yàn)，a滿足題意14(20