1、不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購(gòu)決策問題張澤鵬，仇磊，黃國(guó)健，梁艷摘要：本文對(duì)包含一個(gè)生產(chǎn)商和一個(gè)銷售商的供應(yīng)鏈，提出“預(yù)期損失”的概念（實(shí)際可操作方案與完美的理想方案之間的差異，所帶來的收益上的損失），從生產(chǎn)商（一級(jí)供應(yīng)商）入手，通過對(duì)每個(gè)相鄰環(huán)節(jié)求最優(yōu)方案1的方法，來嚴(yán)格推導(dǎo)出最優(yōu)訂購(gòu)量與市場(chǎng)的關(guān)系及最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量與訂購(gòu)量的關(guān)系，而文中所有求相鄰環(huán)節(jié)最優(yōu)方案都采用了求最小“預(yù)期損失”的方法。關(guān)鍵詞：預(yù)期損失；最佳銷售量；最佳計(jì)劃產(chǎn)量；最佳供應(yīng)量中圖分類號(hào)：F250 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A一、引言供應(yīng)鏈?zhǔn)且环N新的企業(yè)組織形態(tài)和運(yùn)營(yíng)方式,包括從客戶需求信息開始經(jīng)過原材料供應(yīng)、生產(chǎn)批發(fā)銷售等環(huán)節(jié),到最后把產(chǎn)

2、品送到最終用戶的各項(xiàng)制造和商業(yè)活動(dòng)。供應(yīng)鏈運(yùn)作過程中經(jīng)常需要應(yīng)對(duì)生產(chǎn)和需求的不確定性，在這種不確定環(huán)境下研究供應(yīng)鏈成員的生產(chǎn)與訂購(gòu)決策問題，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。在由一個(gè)生產(chǎn)商和一個(gè)銷售商組成的供應(yīng)鏈中，生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品作為銷售商的銷售產(chǎn)品，在供應(yīng)鏈的運(yùn)作過程中，銷售商在追求目標(biāo)利潤(rùn)最大化的條件下決定向生產(chǎn)商訂購(gòu)銷售產(chǎn)品數(shù)量，生產(chǎn)商同樣以追求利潤(rùn)最大化為目標(biāo)決定向銷售商交付數(shù)量。針對(duì)這種情況，本文提出“預(yù)期損失”的概念，建立數(shù)學(xué)模型，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，確定銷售商的最優(yōu)訂購(gòu)量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量，并給出具體實(shí)例。二、模型的建立定義1 稱實(shí)際可執(zhí)行方案與理想方案的相對(duì)損失為預(yù)期損失，記作。概率

3、密度函數(shù)2，當(dāng)?shù)扔跁r(shí)是完美的理想情況，分別為和 的損失權(quán)重函數(shù)，（事實(shí)上本題只要求，是一個(gè)權(quán)重系數(shù)，為計(jì)算簡(jiǎn)便，下文中，都為常函數(shù)，因此當(dāng)，不相同時(shí)則存在M使作者簡(jiǎn)介：張澤鵬（1990），男，本科生，數(shù)理力學(xué)專業(yè)；仇磊（1990），男，本科生，計(jì)算機(jī)與科學(xué)技術(shù)專業(yè)；黃國(guó)?。?989），男，本科生，機(jī)械工程專業(yè)；梁艷（1981），女，講師，研究統(tǒng)計(jì)學(xué)與機(jī)器學(xué)習(xí)。取得最小值，當(dāng)，為線性函數(shù)時(shí)則可以確定唯一的M。假設(shè)最優(yōu)方案為能夠獲得最大收益的方案。從生產(chǎn)商的角度考慮，要獲得最大收益，最理想的狀況便是實(shí)際產(chǎn)量與銷售商的訂購(gòu)量相等，但實(shí)際生產(chǎn)受到隨機(jī)因素的影響在波動(dòng)區(qū)間內(nèi)波動(dòng)，因此可以通過求“預(yù)期損失

4、”的最小值來確定生產(chǎn)商的最大收益。從銷售商的角度考慮，為了獲得最大的收益，最理想的情況便是從生產(chǎn)商處得到的供應(yīng)量與市場(chǎng)需求量相等，即剛好全部能賣出且是所能賣出的最大量。通過計(jì)算它的預(yù)期損失的最小值，從而計(jì)算出訂購(gòu)量。在與生產(chǎn)商的博弈3中，銷售商知道生產(chǎn)商會(huì)為追求最大收益而制定生產(chǎn)計(jì)劃，且實(shí)際生產(chǎn)是在計(jì)劃生產(chǎn)的某范圍內(nèi)波動(dòng)，從而銷售商會(huì)根據(jù)生產(chǎn)商的生產(chǎn)方式來調(diào)整自己的訂購(gòu)量。基于實(shí)際情況，我們做如下假設(shè)：（1）生產(chǎn)商，銷售商都只以收益為衡量?jī)?yōu)劣的唯一參考，不考慮其他諸如社會(huì)公益、社會(huì)責(zé)任等因素；（2）所有的生產(chǎn)、銷售、庫(kù)存等操作在文中都只考慮一次，比如庫(kù)存的產(chǎn)品不會(huì)因?yàn)橄麓伪毁u出而減少庫(kù)存帶來的

5、損失（一級(jí)生產(chǎn)商對(duì)二級(jí)生產(chǎn)商的出售除外）；（3）題中所給的生產(chǎn)廠商、市場(chǎng)需求量、一級(jí)生廠商和二級(jí)生廠商的波動(dòng)區(qū)間都是同一種分布，為其概率密度函數(shù)；（4）二級(jí)生產(chǎn)商所購(gòu)得的原產(chǎn)品都是用來生產(chǎn)產(chǎn)成品；（5）二級(jí)生產(chǎn)商投入單位原產(chǎn)品產(chǎn)出產(chǎn)成品數(shù)量為（比如煤炭供應(yīng)鏈中，洗煤廠入1噸原煤，產(chǎn)出噸精煤）；下面對(duì)不同的情況給出相應(yīng)的模型并進(jìn)行檢驗(yàn)。（一）商品的最終需求量是確定的，而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的，即由于受到各種隨機(jī)因素的影響，商品實(shí)際產(chǎn)量可能不等于計(jì)劃產(chǎn)量，呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)。1.模型的建立對(duì)生產(chǎn)商而言，銷售商的訂購(gòu)量是影響生產(chǎn)商制定計(jì)劃生產(chǎn)量的唯一變量，實(shí)際產(chǎn)量m，為波動(dòng)區(qū)間的概率密度函數(shù)，則生產(chǎn)商

6、的預(yù)期損失為=+ (1) (2)當(dāng)取最小值時(shí)，則可得與的函數(shù)關(guān)系為 (3)其中，是生產(chǎn)商單位商品利潤(rùn)（單位商品批發(fā)價(jià)格-單位商品生產(chǎn)成本），是單為商品批發(fā)缺貨成本，是生產(chǎn)商的單位生產(chǎn)成本，是單位商品的庫(kù)存成本。此時(shí)生產(chǎn)商能夠取得最大收益。為方便起見，這里用代替（3）式，即。對(duì)銷售商而言，若銷售商向生產(chǎn)商的訂購(gòu)量為T，將會(huì)從生產(chǎn)商處回饋到一個(gè)實(shí)際產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間，其中，。同時(shí)，當(dāng)生產(chǎn)商的實(shí)際產(chǎn)量大于銷售商的訂購(gòu)量時(shí)，銷售商將只購(gòu)買其訂購(gòu)的數(shù)量；當(dāng)生產(chǎn)商的實(shí)際產(chǎn)量小于訂購(gòu)量時(shí)，銷售商將購(gòu)買生產(chǎn)商的實(shí)際產(chǎn)量，即，為生產(chǎn)商的供應(yīng)量。通過概率密度函數(shù)可以求出：當(dāng)時(shí)，概率，當(dāng)時(shí)，概率，由此即可求出銷售商獲得

7、的期望供應(yīng)量 (4)為方便起見，令，。由于市場(chǎng)的需求量是確定的，則可求出銷售商的預(yù)期損失為 (5)其中，是銷售商單位商品利潤(rùn)（單位商品銷售價(jià)格-單位商品批發(fā)價(jià)格，是單位商品銷售缺貨成本，是銷售商的單位生產(chǎn)成本。類似求銷售商最小預(yù)期損失的方法，當(dāng)最小時(shí)，銷售商即可獲得最大收益，此時(shí)，與關(guān)系為 (6) 其中，。2.模型的檢驗(yàn)為方便起見，假設(shè)生產(chǎn)中受隨機(jī)因素影響而產(chǎn)生的波動(dòng)區(qū)間近似滿足均勻分布，下面我們?cè)诰鶆蚍植嫉臈l件下對(duì)模型求解檢驗(yàn)。將各參數(shù)值代入：，進(jìn)行代入求解。依次得到，等,最后得到,模型是合理的。（二）商品的最終需求量是隨機(jī)的，而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的，即由于受到各種隨機(jī)因素的影響，商品

8、實(shí)際產(chǎn)量可能不等于計(jì)劃產(chǎn)量，呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)。1.模型的建立對(duì)生產(chǎn)商而言，m，確定最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量的方法與假設(shè)6中類似，因?yàn)樯a(chǎn)商只要對(duì)銷售商的訂購(gòu)量求最小預(yù)期損失，從而可以計(jì)算求得只與訂購(gòu)量有關(guān)的計(jì)劃生產(chǎn)量，即可保證獲得最大收益，而不受銷售商影響。因此與的函數(shù)關(guān)系為： (7) 為方便起見，用來表示上式函數(shù)關(guān)系，則對(duì)銷售商而言，由于增加了市場(chǎng)需求量的不確定性，雖然可以求得期望供應(yīng)量 (8)但無法直接對(duì)的波動(dòng)區(qū)間求最小預(yù)期損失，為此引入“最佳可銷售量”。假設(shè)的波動(dòng)區(qū)間為，下面來確定最佳銷售量與的波動(dòng)區(qū)間的關(guān)系，首先為方便判別可在區(qū)間內(nèi)找一些點(diǎn)求其預(yù)期損失，不妨就找兩個(gè)邊界點(diǎn)和，則的預(yù)期損失為 (9)若最

9、佳銷售量小于時(shí)，可令，則的預(yù)期損失為 (10) 即。因此，小于時(shí)不會(huì)最優(yōu)；類似地，可證明若最佳銷售量大于時(shí)，即大于時(shí)也不會(huì)最優(yōu)。因此最佳銷售量必在內(nèi)，此時(shí) (11)當(dāng)為時(shí)，即 取得最小值，此銷售量就是能使銷售商獲得“最佳收益量”，與的關(guān)系為： 即 (12)由圖可知，銷售量就是銷售商實(shí)際獲得的供應(yīng)量，因此只要銷售商的期望供應(yīng)量與最佳銷售量（最佳供應(yīng)量）的預(yù)期損失最小，所確定的即是能讓銷售商獲得最大收益的訂購(gòu)量。與的關(guān)系為：其中，2.模型檢驗(yàn)為方便起見，假設(shè)生產(chǎn)中受隨機(jī)因素影響而產(chǎn)生的波動(dòng)區(qū)間近似滿足均勻分布，下面我們?cè)诰鶆蚍植嫉臈l件下對(duì)模型求解檢驗(yàn)。將各參數(shù)值代入：，進(jìn)行代入求解。得, 模型是合

10、理的。實(shí)際上，大多數(shù)供應(yīng)鏈具有兩級(jí)生產(chǎn)不確定性。（三）產(chǎn)成品的市場(chǎng)需求量是確定的，研究在兩級(jí)生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中，二級(jí)生產(chǎn)商（產(chǎn)成品生產(chǎn)商）的最優(yōu)訂購(gòu)量和一級(jí)生產(chǎn)商（原材料或原產(chǎn)品生產(chǎn)商）的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。1.模型的建立：對(duì)一級(jí)生產(chǎn)商而言，一級(jí)生產(chǎn)商的實(shí)際生產(chǎn)量，為一級(jí)生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量。其要獲得最大收益的方式與上兩題中的生產(chǎn)商相同，影響其制定最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量的唯一變量就是二級(jí)生產(chǎn)商的訂購(gòu)量，因此用相同的方法可求得最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量與的函數(shù)關(guān)系為： (13)為方便起見，用來表示上式函數(shù)關(guān)系，則。是一級(jí)生產(chǎn)商產(chǎn)品利潤(rùn)，是一級(jí)生產(chǎn)商的單位原產(chǎn)品缺貨成本，是一級(jí)生產(chǎn)商的單位生產(chǎn)成本。對(duì)二級(jí)生產(chǎn)商而言，實(shí)際產(chǎn)出

11、量，是二級(jí)生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量。與前兩題類似的是只要二級(jí)生產(chǎn)商給出一個(gè)訂購(gòu)量，得到的預(yù)期供應(yīng)量為 (14)雖然其實(shí)際產(chǎn)出量在區(qū)間，內(nèi)波動(dòng)，但市場(chǎng)需求是確定的，因此可以求得生產(chǎn)量對(duì)市場(chǎng)需求實(shí)際產(chǎn)出量的預(yù)期損失為 (15)使最小時(shí)與的函數(shù)關(guān)系為 (16)為最佳計(jì)劃產(chǎn)量，是二級(jí)生產(chǎn)商產(chǎn)品利潤(rùn)，是二級(jí)生產(chǎn)商的單位產(chǎn)成品缺貨成本，是二級(jí)生產(chǎn)商的單位生產(chǎn)成本。又由于二級(jí)生產(chǎn)商投入單位原產(chǎn)品產(chǎn)出產(chǎn)成品數(shù)量為，且二級(jí)生產(chǎn)商將得到的原產(chǎn)品都用來生產(chǎn)，就可得到一級(jí)生產(chǎn)商的最佳供應(yīng)量為，再與預(yù)期供應(yīng)量區(qū)間求預(yù)期損失為 (17)其中，。使損失最小時(shí)確定的即為最優(yōu)訂購(gòu)量，此時(shí)與的相互關(guān)系為，其中，2.模型檢驗(yàn)為方便起見，

12、假設(shè)生產(chǎn)中受隨機(jī)因素影響而產(chǎn)生的波動(dòng)區(qū)間近似滿足均勻分布，下面我們?cè)诰鶆蚍植嫉臈l件下對(duì)模型求解檢驗(yàn)。將各參數(shù)值代入：,進(jìn)行代入求解。得, 模型是合理的。（四）產(chǎn)成品的市場(chǎng)需求量是不確定的，研究在兩級(jí)生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中，二級(jí)生產(chǎn)商（產(chǎn)成品生產(chǎn)商）的最優(yōu)訂購(gòu)量和一級(jí)生產(chǎn)商（原材料或原產(chǎn)品生產(chǎn)商）的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。此時(shí)不影響一級(jí)生產(chǎn)商的計(jì)劃產(chǎn)量，與一的情況相同，用相同的方法可得出模為而對(duì)二級(jí)生產(chǎn)商設(shè)市場(chǎng)需求的波動(dòng)區(qū)間為，?？梢苑抡諉栴}2確定最佳供應(yīng)量后用與相同的方法求解最后得到模型： ，其中，. 三、總結(jié)與展望模型思路清晰，在求解最優(yōu)關(guān)系時(shí)進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，且以一般情況為研究對(duì)象增強(qiáng)了模型的普遍

13、性和實(shí)用性。模型中采用的“預(yù)期損失”的思想可以在生活中很多問題上適用，比如確定一些最便捷行車路線等一些不確定問題。參考文獻(xiàn)1 姜啟源,謝金星,葉俊著.數(shù)學(xué)模型第三版.北京:高等教育出版社,2003.8(2009重印).2 盛驟,謝式千,潘承毅著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版.北京:高等教育出版社,2008.6(2009重印). 3 米勒著.活學(xué)活用博弈論.北京: 中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社,2006.1.Supply Chain Of Production And Ordering Decision Problem Based On Uncertain EnvironmentZepeng Zhang, Le

14、i Qiu, Guojian Huang, Yan Liang (Colledge of Jincheng, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics , Nanjing, 211156)Abstract: In by a manufacturer and a retailers.studying the supply chain, manufacturers of products as vendors sell products,and in supply chain operation process, Vendors in p

15、ursuit of the goal profit maximization conditions decided to order quantity, selling products manufacturer manufacturer same in order to maximize profit for target decided to distributors delivered quantity. This paper introduces the concept of the expected loss (the actual operational programs with the perfect ideal solution, the difference between the benefits losses). From producer (top supplier) start, through for each adjacent link for the optimal sche