1、,彈性力學(xué) 第四章,1,Chapter 4 Solution of plane problems in polar coordinates,第四章 平面問題極坐標(biāo)解答,彈性力學(xué) 第四章,2,解平面問題時，對圓形、楔形、扇形、圓環(huán)形的物體，用極坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)方便。如天平刀口,為常數(shù)，用極坐標(biāo)易于表示，而用直角坐標(biāo)不大方便,解決極坐標(biāo)下的平面問題，仍要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個方面來考慮。,彈性力學(xué) 第四章,3,Polar coordinates 極坐標(biāo),The position of a point P in polar coordinates is defined by the radia

2、l coordinate and the angular coordinate . 一點(diǎn)P的極坐標(biāo)用徑向坐標(biāo)和角坐標(biāo)表示 P (, ) displacements:位移： u u strains:應(yīng)變: r stresses: 應(yīng)力： body force:體力: f 、 f ,彈性力學(xué) 第四章,4,x y,彈性力學(xué) 第四章,5,4.1 Differential equations of equilibrium in polar coordinates極坐標(biāo)中的平衡微分方程,P52 Fig. 4-1; P52(中)圖4-1,2. 平衡微分方程,考慮微元體平衡（取厚度為1）：,將上式化開：,兩邊

3、同除以 ：,兩邊同除以 ，并略去高階小量：,同理可以推得：, 剪應(yīng)力互等定理,于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：,（41）,方程（41）中包含三個未知量， 而只有二個方程，是一次超靜定問題，需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。,彈性力學(xué) 第四章,10,Review: differential equations of equilibrium in rectangular coordinate直角坐標(biāo) 平衡方程,x/x+yx/y+fx=0 -x方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是x方向，故應(yīng)力的第二個下標(biāo)為x方向。對應(yīng)力的第一個下標(biāo)求導(dǎo)。 y/y+xy/x+fy=0 -y方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是y方向，故應(yīng)力

4、的第二個下標(biāo)為y方向。對應(yīng)力的第一個下標(biāo)求導(dǎo)。 In the first (second) differential equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x (y) direction, the second coordinate subscript in stresses is x (y), the differential of stresses is respect to the first subscripts.,彈性力學(xué) 第四章,11,兩種坐標(biāo)系中的平衡微分方程的比較,x/x+yx/y+fx=

5、0 y/y+xy/x+fy=0 (2-2) / + /()+( - )/ +fr=0 (4.1.1) /()+ / +2 / +f=0 (4.1.2) ( - )/ -正面面積大于負(fù)面面積, 與通過形心的軸有一角度 2 / - 作用的正面面積大于負(fù)面面積， 與通過形心的 軸有一角度,彈性力學(xué) 第四章,12,4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates極坐標(biāo)中的幾何物理方程,P57(E) Fig. 4.2.1;P60(中)圖4-2,彈性力學(xué) 第四章,13,Only the radial displacement takes

6、 place只有徑向位移,PP= u AA=u +u/d BB=u+u/d =(PA -PA)/PA=(AA-PP)/PA=(u+u/d)- u/d=u/ =(PB-PB)/PB=(+u)d-d/(d)=u/,彈性力學(xué) 第四章,14,Only the radial displacement takes place只有徑向位移,the angle of rotation of PA will be =0 the angle of rotation of PB will be =(BB- PP)/PB=(u+u/d)-u/d =u/() r=+=u/(),彈性力學(xué) 第四章,15,Only the

7、circumferential displacement takes place只有環(huán)向位移,PP=u AA=u+u/d BB= u+u/d =0 =(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB =(u+u/d)-u/(d)= u/(),彈性力學(xué) 第四章,16,Only the circumferential displacement takes place只有環(huán)向位移,the angle of rotation of PA will be =(AA-PP)/ PA =(u+ud)-u/d= u/ the angle of rotation of PB will be =-POP =- PP/O

8、P=-u/ r =+=u/-u/,彈性力學(xué) 第四章,17,geometrical equations in rectangular coordinates 直角坐標(biāo)中的幾何方程 x=u/x y=v/y rxy=u/y+v/x,geometrical equations in polar coordinates 極坐標(biāo)中的幾何方程 =u/ +u/() r =u/() +u/-u/,彈性力學(xué) 第四章,18,x=u/x y=v/y中的規(guī)律,由x=u/x y=v/y，得出規(guī)律：某一坐標(biāo)方向的位移對該坐標(biāo)求導(dǎo)為該坐標(biāo)方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)。 1. x=u/x -x方向的位移u對x坐標(biāo)求導(dǎo)u/x 為x方向線段

9、的正應(yīng)變 x 。 2. y=v/y -y方向的位移 v 對y坐標(biāo)求導(dǎo) v/y 為y方向線段的正應(yīng)變 y 。 將此規(guī)律應(yīng)用到極坐標(biāo)。則有方向的位移u對求導(dǎo)為方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)=u/。方向的位移u對求導(dǎo)（再除以以保持因次一致），為方向的正應(yīng)變中的項(xiàng) =u/()。,彈性力學(xué) 第四章,19,xy=u/y+v/x中的一般規(guī)律,由xy=u/y+v/x，總結(jié)出一般規(guī)律，即設(shè)有兩個正交坐標(biāo)方向，一個坐標(biāo)方向的位移（如u）對另一個坐標(biāo)方向（y）求導(dǎo)為該坐標(biāo)方向（y）線段的轉(zhuǎn)角。 1. u/y-x方向的位移 u 對y坐標(biāo)求導(dǎo)為y方向線段的轉(zhuǎn)角。 2. v/x-y方向的位移 v 對x坐標(biāo)求導(dǎo)為x方向線段的轉(zhuǎn)角。 應(yīng)

10、用這一規(guī)律于極坐標(biāo)，就能方便地解釋u/() +u/為r中的項(xiàng)。,彈性力學(xué) 第四章,20,=u/ +u/(), =2(r+a)- 2r)/ 2r=a/r,彈性力學(xué) 第四章,21,r =u/() +u/-u/,彈性力學(xué) 第四章,22,physical equations in polar coordinates 極坐標(biāo)中的物理方程,The physical equations in the two coordinate systems must have the same form, but with and in place of x and y respectively. x=x- y/E (

11、2-12) y=y- x/E rxy=xy/G x- y- =- /E (4-3) = - /E r=/G,彈性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)求解的基本方程：,平衡微分方程：,（41）,幾何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面應(yīng)力情形),邊界條件：,位移邊界條件：,應(yīng)力邊界條件：,為邊界上已知位移，,為邊界上已知的面力分量。,（位移單值條件）,取半徑為 a 的半圓分析，由其平衡得：,半平面體,4.3 stress function and compatibility equation in polar coordinates 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)及相容方程,1. 極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程,方法

12、1：（步驟）,（1）利用極坐標(biāo)下的幾何方程，求得應(yīng)變表示的相容方程：,（2）利用極坐標(biāo)下的物理方程，得應(yīng)力表示的相容方程：,（常體力情形）,（3）利用平衡方程求出用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量：,（4）將上述應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程，得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：,（常體力情形）,方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）,（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系：,（2）應(yīng)力分量與相容方程的坐標(biāo)變換：,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換,(a),(b),(c),由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系（224）：,極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式：,（45）,可以證明：式（45）滿足平衡方程（41）。,相容方程的坐標(biāo)變換,說明：

13、式（45）僅給出體力為零時的應(yīng)力分量表達(dá)式。 體力分量為零時，這些分量確能滿足平衡微分方程。,相容方程的坐標(biāo)變換,(a),(b),將式(a)與(b)相加，得,得到極坐標(biāo)下的 Laplace 微分算子：,極坐標(biāo)下的相容方程為：,（46）,方程（46）為常體力情形的相容方程。,說明：,（46）,當(dāng)不計(jì)體力時，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問題，歸結(jié)為求解一個應(yīng)力函數(shù) ，它必須滿足： （1）滿足相容方程（4-6）； （2）在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)； （3）如為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。,彈性力學(xué) 第四章,38,4.4 coordinate transformation of s

14、tress components應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,Egs. (4-7)-(4-8),本節(jié)研究極坐標(biāo)應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量間的變換關(guān)系。,一、用 、 、 表示 、 、和,取厚度為的三角形單元體A(注意：兩個面的法線分別與x、y軸平行，一個面的法線與的的方向平行)，它的ab為x面，ac為y面，bc為 面。各面應(yīng)力如圖所示。Bc的長度為dx，ab及ac的長度分別為dscos及dssin。,由單元體的平衡條件，得:,化簡得:,再研究方向平衡以及單元體B的平衡，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)得變換式為：,(4-7),二、用、和表示、,取單元體A和B，對單元體A，兩面的法線分別與 、方向平行，一個

15、面的法線與x軸平行。,（4-8）,研究單元體A、B的平衡，得應(yīng)力分量的變換式為：,彈性力學(xué) 第四章,43,4.5 Axisymmetrial stresses and corresponding displacements軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移,Axisymmetrial stresses：軸對稱應(yīng)力：1.the normal stress components are independent of 2.the shearing stress components vanish 3.hence the stress distribution is symmetrical with respec

16、t to any plane passing through the z axis.,4-5 軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移,所謂軸對稱，是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對稱的，凡通過對稱軸的任何面都是對稱面。如圓環(huán)的外面沿環(huán)向受均布載荷問題，即為軸對稱問題。若應(yīng)力是繞 z 軸對稱的，則在任一環(huán)向線上的各點(diǎn)，應(yīng)力分量的數(shù)值相同，方向?qū)ΨQ于z 軸。可見繞z 軸對稱的應(yīng)力，在極坐標(biāo)下平面內(nèi)應(yīng)力分量僅為 的函數(shù)，不隨 而變，切應(yīng)力 為零。,求解方法：,逆解法,（1）應(yīng)力分量,（45）,（2）相容方程,（45）,此時，(4-5) 在這特殊情況下，可簡化為：,（49）,一、軸對稱應(yīng)力 用逆解法。由于軸對稱問題，

17、應(yīng)力分量與 無關(guān)。,由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量公式為：,相容方程(4-6),（46）,簡化為,這是一個4階變系數(shù)齊次微分方程,將其展開，有,方程兩邊同乘以 ：, Euler 齊次微分方程,為方程的特征值,方程的特征根為：,于是，方程的解為：,將 代 回 ：,（410）, 軸對稱問題相容方程的通解，A、B、C、D 為待定常數(shù)。,3. 應(yīng)力分量,（410）,將方程（4-11）代入應(yīng)力分量表達(dá)式,（411）, 軸對稱平面問題的應(yīng)力分量表達(dá)式,二、軸對稱應(yīng)力對應(yīng)的形變,平面應(yīng)力情況下，將應(yīng)力分量(4-11)代入物理方程(4-3),（43）,現(xiàn)在來求與軸對稱應(yīng)力相對應(yīng)的形變和位移,對于平面應(yīng)力問題，有物理方程

18、,（a）,可見，形變也是軸對稱的。積分式（a）第一式，有,（b）, 是任意的待定函數(shù),將式（b）代入式（a）中第二式，得,將上式積分，得:,（c）, 是 任意函數(shù),將式（b）代入式（c）中第三式，得,或?qū)懗桑?要使該式成立，兩邊須為同一常數(shù)。,（d）,（e）,式中F 為常數(shù)。對其積分有：,（f）,其中 H 為常數(shù)。對式（e）兩邊求導(dǎo),其解為：,（g）,（h）,將式（f） （h）代入式（b） （c），得,（4-12）,平面軸對稱問題小結(jié)：,（410）,（1）,應(yīng)力函數(shù),（2）,應(yīng)力分量,（411）,（3）,位移分量,（4-12）,式中：A、B、C、H、I、K 由應(yīng)力和位移邊界條件確定。,由式（4

19、-12）可以看出：,應(yīng)力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。,但在軸對稱應(yīng)力情況下，若物體的幾何形狀、受力、位移約束都是軸對稱的，則位移也應(yīng)該是軸對稱的。,這 時，物體內(nèi)各點(diǎn)都不會,有環(huán)向位移，即不論 和 取何值，都應(yīng)有： 。,對這種情形，有,式（4-12）變?yōu)椋?4-12（a）,4-6 Hollow cylinder subjected to uniform pressures,結(jié)構(gòu)關(guān)于圓心對稱，受力也對稱于圓心，故應(yīng)力對稱于過圓心的垂直圓面的軸。 取(4-11):,圓環(huán)或圓筒，內(nèi)半徑，外半徑，受內(nèi)壓力，外壓力。 求其應(yīng)力分布。,然后由邊界條件、位移單值條件定出、,邊界條件：,（a）,將式（4-

20、11）代入，有：,（b）,說明：極坐標(biāo)解平面問題時，不需要另有邊界條件公式，只需從應(yīng)力分析即可。直角坐標(biāo)中，之所以需推導(dǎo)應(yīng)力邊界條件公式，是因?yàn)榭赡苡行边吔绯霈F(xiàn)。,兩個方程不能求解三個常數(shù)、,一、邊界條件,對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。,由（b），得：,對于點(diǎn)（ ， ）和（ ， ）、（ ， ）均表示同一個點(diǎn)，然而由這些坐標(biāo)算得 ，卻各不相同，這是不可能的。所以要使單值，須有：B = 0 。,將其代回應(yīng)力分量式（4-12），有：,（4-13）,拉梅解答,（1）若：,( 二向等壓情況),（2）若：,（壓應(yīng)力）,（拉應(yīng)力）,即只有內(nèi)壓力作用,（3）若：,（壓應(yīng)力）,（壓應(yīng)力）,（4）若：,

21、具有圓形孔的無限大薄板；或 具有圓形孔道的無限大彈性體。,可見應(yīng)力和 成正比。在 遠(yuǎn)大于 之處（即距圓孔或圓形孔道 較遠(yuǎn)之處），應(yīng)力是很小的，可以不計(jì)。這也證實(shí)了圣維南原理。,即只有外壓力作用,邊緣處的應(yīng)力：,問題：,圓筒埋在無限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓 q 作用，求圓筒的應(yīng)力。,1. 分析：,與以前相比較，相當(dāng)于兩個軸對稱問題：,(a) 受內(nèi)外壓力作用的圓筒；,(b) 僅受內(nèi)壓作用的無限大彈性體。,確定外壓 p 的兩個條件：,徑向變形連續(xù)：,徑向應(yīng)力連續(xù)：,4- 壓力隧洞,圓筒和無限大彈性體兩者材料性質(zhì)不同，不符合均勻性假定，因此不能用同一個函數(shù)表示其解答。本題屬于接觸問題。,2. 求解,應(yīng)力：,

22、（a）,邊界條件：,(1) 圓筒的應(yīng)力與邊界條件,取圓筒解答中的系數(shù)為、，無限大彈性體解答中的系數(shù)為 、 、 。由多連體中的位移單值條件，有,0,(2) 無限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件,應(yīng)力：,（b）,邊界條件：,將式（a）、（b）代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：,(c),(d),4個方程不能解5個未知量，,需由位移連續(xù)條件確定。,上式也可整理為：,位移連續(xù)條件:,利用：,(e),要使對任意的 成立，須有自由項(xiàng)相等。,(f),對式（f）整理有，有,(g),式（g）中：,將式（g）與式（c）（d）聯(lián)立求解,(c),(d),（4-16）,當(dāng) n 1 時，應(yīng)力分布如圖所示。,討論：,（1）,壓力隧洞

23、問題為最簡單的接觸問題（面接觸）。,完全接觸：,接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動。接觸條件為,應(yīng)力：,位移：,（）,非完全接觸（光滑接觸）,應(yīng)力：,位移：,接觸條件：,接觸面上正應(yīng)力相等，切應(yīng)力也相等,接觸面上法向位移相等，切向位移也相等,4- 圓孔的孔邊應(yīng)力集中,1. 孔邊應(yīng)力集中概念,由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。,稱為孔邊的應(yīng)力集中。,應(yīng)力集中系數(shù)：,與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；,與孔的大小幾乎無關(guān)。,（圓孔為最小，其它形狀較大）,2. 孔邊應(yīng)力集中問題的求解,（1）問題：,帶有圓孔的無限大板（R r），圓孔半徑為 r，在無限遠(yuǎn)處受有

24、均勻拉應(yīng)力 q 作用。,求：孔邊附近的應(yīng)力。,在大圓處點(diǎn)，應(yīng)力和無孔時相同。也就是 ， 。代入坐標(biāo)變換式(4-7)，可得到該處極坐標(biāo)應(yīng)力分量為 ， 于是原問題就變?yōu)檫@樣一個新問題：內(nèi)半徑為r而外半徑為得圓環(huán)或圓筒，在外邊界上受到均布拉力q。,4-7,為得出這個問題的解答，只需要在圓環(huán)受均布外壓力時的解答(4-14)中命。于是得到：,既然R r，可以取，從而得到解答：,矩形件左右兩邊受有均布拉力q而在上下兩邊受有均布壓力q。,在大圓處點(diǎn)，應(yīng)力和無孔時相同。也就是 ， 。代入坐標(biāo)變換式(4-7)，可得到該處極坐標(biāo)應(yīng)力分量為：,（a）,此為外邊界上的邊界條件。,孔邊的邊界條件是,（）,由邊界條件(a

25、)和（b）可見，用半逆解法時，可以假設(shè)為的某一函數(shù)乘以，而為的另一函數(shù)乘以。但,因此可以假設(shè),（c）,將式（c）代入相容方程(4-6)得：,刪去因子 以后，求解這個微分方程，得:,其中、為待定常數(shù)。代入（c），得應(yīng)力函數(shù),由式(4-5)得應(yīng)力分量,（d）,將式(d)代入邊界條件式(a)和(b)，得:,求解、，然后命得,再將各已知值代入(d)，得應(yīng)力分量的最后表達(dá)式,(4-18),（2）問題的求解,問題分析:左右兩邊受拉應(yīng)力作用,取一半徑為 =b (ba），在其上取一點(diǎn) A 的應(yīng)力：,由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：,原問題轉(zhuǎn)化為：,無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。,新問題的邊界條件可表示為：,內(nèi)邊界,外邊界

26、,（a）,問題1,（b）,（c）,問題2,將外邊界條件（a）分解為兩部分：,問題1的解：,該問題為軸對稱問題，其解為,當(dāng) ba 時，有,（d）,問題1,問題2的解：,（非軸對稱問題）,由邊界條件（c），可假設(shè)： 為 的某一函數(shù)乘以 ； 為 的某一函數(shù)乘以 。,又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：,可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：,將其代入相容方程：,問題2,與前面類似，,令：,有,該方程的特征方程：,特征根為：,方程的解為：,相應(yīng)的應(yīng)力分量：,對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）, 有,（e）,求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得,代入應(yīng)力分量式（e）, 有,（f）,將問題1和問題2的解相加, 得全解：

27、,（4-19）,討論：,（1）,沿孔邊，= a，環(huán)向正應(yīng)力：,（4-19）,3q,2q,q,0,q,90,60,45,30,0,（2）,沿 y 軸， =90，環(huán)向正應(yīng)力：, 基爾斯（G. Kirsch）解答,（3）,沿 x 軸， =0，環(huán)向正應(yīng)力：,（4）,若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用,疊加后的應(yīng)力：,（5）,任意形狀薄板（或長柱）受面力 作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。,只要知道無孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力:,先求出相應(yīng)于圓孔中心處的應(yīng)力分量，然后求出相應(yīng)的兩個應(yīng)力主向,以及主應(yīng)力和。如果圓孔很小，圓孔附近就可以當(dāng)做是沿兩個主向分布受均布拉力及。就可以應(yīng)用上面的解答疊加

28、求解。這樣求的孔邊應(yīng)力，會有一定誤差，但在工程實(shí)際上很有參考價值。,對于其他各種形狀的孔口，大多是應(yīng)用彈性理論中的復(fù)變函數(shù)解法求解的。由圓孔和其他孔口的解答可見，這些小孔口問題的應(yīng)力集中現(xiàn)象具有共同的特點(diǎn)： 一是集中性，孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，且最大和最小的應(yīng)力一般都發(fā)生在孔邊上。 二是局部性。由于開孔引起的應(yīng)力擾動，主要發(fā)生在距孔邊.倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。在此區(qū)域外，由于開孔引起的應(yīng)力擾動值一般小于5%，可以忽略不計(jì)。 孔口應(yīng)力集中與孔口的形狀有關(guān)，圓孔的應(yīng)力集中程度較低，應(yīng)盡可能采用圓孔型。此外，對于具有凹尖角的孔口，在尖角處會發(fā)生高度的應(yīng)力集中，因此在孔口中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)凹尖角。,

29、4-9 半平面體在邊界上受集中力,F,一、與邊界法向線成角,半平面體，直邊界上受有集中力，與邊界法線成角，研究單位寬度，單位寬度所受力為。,、設(shè)應(yīng)力函數(shù),用半逆解法，仍然用量綱分析的方法。,（45）,中的次數(shù)比應(yīng)力分量中高次,設(shè),(a),應(yīng)力各分量形式為,無量綱,無量綱,應(yīng)力分量形式為,為應(yīng)力為組成的無量綱量,將(a)式代入相容方程(4-6),可得,，以負(fù)一次冪出現(xiàn),兩邊乘以 ，解得方程得：,代入（a）得,式中前兩項(xiàng)等于Ax+By，不影響應(yīng)力，可以刪除，故應(yīng)力函數(shù)可以取為,（）,將（）代入（），得應(yīng)力分量為：,（）,由應(yīng)力邊界條件定常數(shù),在直邊界處，除原點(diǎn)外，均應(yīng)有,顯然，這些應(yīng)力邊界條件自然

30、得到滿足。(見b式),在原點(diǎn)附近有面力作用，分布未給出，但單位寬度合力為，半平面體任何一個半圓形的應(yīng)力，須合這一面力合力平衡，于是有：,(c),(b)式代入，積分得,于是解得,將以上、代入（b）式得,(4-21),半平面體在邊界上法向受集中力,F,1. 應(yīng)力分量,由楔形體受集中力的情形，可以得到,（4-22）, 極坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（4-8），可求得,（4-23）,或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示，有,代入（4-2）,（4-23）,2. 位移分量, 直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量,假定為平面應(yīng)力情形。,其極坐標(biāo)形式的物理方程為,(a),(b),(c),積分式（a）得，,(d),將式（d）代入式（b），有,積分上式，得,(e),將式（d）(e) 代入式（c） 得，,(d),(e),(c),要使上式成立，須有：,不妨令=0，可解得：,代入位移分量式（d）（e），有,式中，常數(shù)H，I，K 由邊界條件確定。,(f),常數(shù) I 須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。,由式（f）得：,(g),由問題的對稱性，有：,(f),3. 邊界沉陷計(jì)算,M點(diǎn)的下沉量：,由于常數(shù) I 無法確定，,所以只能求得的相對沉陷量。,為此，在邊界上取,一基準(zhǔn)點(diǎn)B，如圖所示。,M點(diǎn)相對于基準(zhǔn)點(diǎn)B的沉陷為,簡化后得：,（4-25）,符拉芒（A. Flaman