1、要點梳理 1.雙曲線的概念 平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2（|F1F2|=2c0） 的距離之差的絕對值為常數(shù)2a（2a2c），則點 P的軌跡叫 .這兩個定點叫雙曲線的 ， 兩焦點間的距離叫 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a，|F1F2|=2c， 其中a、c為常數(shù)且a0,c0：,9.6 雙曲線,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),雙曲線,焦距,（1）當(dāng) 時，P點的軌跡是 ； （2）當(dāng) 時，P點的軌跡是 ； （3）當(dāng) 時，P點不存在.,ac,a=c,ac,焦點,雙曲線,兩條射線,2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),基礎(chǔ)自測 1.雙曲線方程： 那么k的范圍是 （ ） A.k5 B.2k 5 C.-2k2 D

2、.-2k2或k5 解析 由題意知（|k|-2）（5-k）0， 解得-2k2或k5.,D,2.已知雙曲線的離心率為2，焦點是（-4，0），（4，0），則雙曲線方程為 （ ） A. B. C.D. 解析 由題知c=4,且 =2,a=2,b2=c2-a2=12, 雙曲線方程為,A,3.過雙曲線x2-y2=8的左焦點F1有一條弦PQ在左支 上，若|PQ|=7,F2是雙曲線的右焦點,則PF2Q 的周長是 （ ） A.28 B.14-8 C.14+8 D.8 解析 |PF2|+|PQ|+|QF2| =（2a+|PF1|）+|PQ|+（2a+|QF1|） =4a+2|PQ|=8 +14.,C,4.（2009

3、安徽理，3）下列曲線中離心率為 的 是 （ ） A.B. C.D. 解析 e= ,e2= .即 故B選項正確.,B,5.若m0,點 在雙曲線 上，則點P到該雙曲線左焦點的距離為 . 解析 在雙曲線 上,且m0, 代入雙曲線方程解得m=3,雙曲線左焦點F1(-3,0), 故|PF1|=,題型一 雙曲線的定義 【例1】已知動圓M與圓C1：(x+4)2+y2=2外切，與 圓C2：（x-4）2+y2=2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌 跡方程. 利用兩圓內(nèi)、外切的充要條件找出M 點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,解 設(shè)動圓M的半徑為r， 則由已知|MC1|=r+ ， |MC2

4、|=r- ， |MC1|-|MC2|=2 . 又C1（-4，0），C2（4，0）， |C1C2|=8，2 |C1C2|. 根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1(-4，0)、 C2（4，0）為焦點的雙曲線的右支. a= ，c=4， b2=c2-a2=14， 點M的軌跡方程是 =1 （x ）.,探究提高 求曲線的軌跡方程時,應(yīng)盡量地利用幾 何條件探求軌跡的曲線類型,從而再用待定系數(shù) 法求出軌跡的方程，這樣可以減少運算量,提高 解題速度與質(zhì)量.在運用雙曲線的定義時,應(yīng)特別 注意定義中的條件“差的絕對值”,弄清所求軌 跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一 支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性.

5、,知能遷移1 已知點P是 雙曲線 =1上除頂點外 的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為左、 右焦點，c為半焦距，PF1F2 的內(nèi)切圓與F1F2切于點M，則 |F1M|F2M|= .,解析 根據(jù)從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等, |F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a， 又|F1M|+|F2M|=2c，解得|F1M|=a+c， |F2M|=c-a，從而|F1M|F2M|=c2-a2=b2. 答案 b2,題型二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例2】已知雙曲線的漸近線方程為2x3y=0. （1）若雙曲線經(jīng)過P（ ,2）,求雙曲線方程； （2）若雙曲線的焦距是2 ，求雙曲線方程； （3）若雙曲線頂點間的

6、距離是6，求雙曲線方程. 用定義法或待定系數(shù)法求方程. 解 方法一 由雙曲線的漸近線方程y= x， 可設(shè)雙曲線方程為,思維啟迪,（1）雙曲線過點P（ ，2）， 故所求雙曲線方程為 （2）若 0，則a2=9 ,b2=4 . c2=a2+b2=13 . 由題設(shè)2c=2 , =1, 所求雙曲線方程為 若 0，則a2=-4 ,b2=-9 ,c2=a2+b2=-13 .,由2c=2 , =-1, 所求雙曲線方程為 所求雙曲線方程為 （3）若 0，則a2=9 ,由題設(shè)2a=6, =1. 所求雙曲線方程為 若 0，則a2=-4 ,由題設(shè)2a=6, =- ， 所求雙曲線方程為 故所求雙曲線方程為,方法二 （1

7、）由雙曲線漸近線的方程y= x, 可設(shè)雙曲線方程為 （mn0）. 雙曲線過點P（ ，2），m0,n0. 又漸近線斜率k= , 故所求雙曲線方程為,（2）設(shè)雙曲線方程為 c2=a2+b2，13=a2+b2, 由漸近線斜率得 所求雙曲線方程為,（3）由（2）所設(shè)方程 故所求雙曲線方程為,探究提高 待定系數(shù)法是求曲線方程最常用的方 法之一. （1）與雙曲線 有共同漸近線的雙曲 線方程可表示為 （2）若雙曲線的漸近線方程是y= x, 則雙曲線的方程可表示為 （3）與雙曲線 共焦點的雙曲線方程可 表示為,（4）過兩個已知點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程表示為 （5）與橢圓 有共同焦點的 雙曲線方程表示為 利用上述結(jié)

8、論求關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可簡化 解題過程，提高解題速度.,知能遷移2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. （1）與雙曲線 有共同的漸近線，且過點 （-3，2 ）； （2）與雙曲線 有公共焦點，且過點 （3 ，2）.,解 （1）設(shè)所求雙曲線方程為 將點（-3,2 ）代入得 所以雙曲線方程為 (2)設(shè)雙曲線方程為 由題意易求c=2 . 又雙曲線過點（3 ，2）, 又a2+b2=（2 ）2，a2=12，b2=8. 故所求雙曲線的方程為,題型三 雙曲線的性質(zhì) 【例3】中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一 雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2 ， 橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率

9、 之比為37. （1）求這兩曲線方程； （2）若P為這兩曲線的一個交點,求cosF1PF2 的值.,思維啟迪,設(shè)橢圓方程為 雙曲線方程為,解 （1）由已知：c= ,設(shè)橢圓長、短半軸長分 別為a、b，雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n， 解得a=7,m=3.b=6，n=2. 橢圓方程為 雙曲線方程為,（2）不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象 限的一個交點，則|PF1|+|PF2|=14， |PF1|-|PF2|=6, 所以|PF1|=10，|PF2|=4. 又|F1F2|=2 ， cosF1PF2=,探究提高 在研究雙曲線的性質(zhì)時，實半軸、虛 半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要

10、 內(nèi)容;雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e= 是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的 一個關(guān)系式，利用b2=c2-a2消去b，然后變形求e， 并且需注意e1.,知能遷移3 已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144. （1）求此雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線 方程； （2）設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點,點P在雙 曲線上,且|PF1|PF2|=32,求F1PF2的大小. 解 （1）由16x2-9y2=144,得 a=3,b=4,c=5.焦點坐標(biāo)F1(-5，0),F2(5，0), 離心率e= ,漸近線方程為y= x.,（2）|PF1|-|PF2|=6， cosF1PF2= F1PF

11、2=90.,題型四 直線與雙曲線的位置關(guān)系 【例4】(12分)已知雙曲線C: 的右焦點為B，過點B作直線交雙曲線C的右支 于M、N兩點，試確定 的范圍,使 =0, 其中點O為坐標(biāo)原點. 直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，尋找 交點坐標(biāo)的關(guān)系.,思維啟迪,解 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求 B（1，0）， 當(dāng)MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1， 設(shè)M（1，y0），N（1，-y0） （y00）， 由 =0，得y0=1， M（1，1），N（1，-1）. 又M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上， 因為0 1,所以 4分,當(dāng)MN不垂直于x軸時,設(shè)MN的方程為y=k(x-1). 得 -(1-

12、 )k2x2+2(1- )k2x-(1- ) (k2+ )=0, 8分 由題意知： -(1- )k20, 所以x1+x2= x1x2= 于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)= 10分,因為 =0,且M、N在雙曲線右支上， 由，知 12分,探究提高 （1）直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線與 橢圓的位置關(guān)系有類似的處理方法，但要注意聯(lián)立 后得到的一元二次方程的二次項系數(shù)能否為零. (2)當(dāng)涉及直線與雙曲線的交點在同一支或兩支上 時，在消元時要注意消去范圍為R的變量，為解決 根據(jù)一元二次方程兩根的正負(fù)條件的問題打下基礎(chǔ).,知能遷移4 雙曲線C與橢圓 有相同的 焦點，直線y= x為C的一條漸近線.

13、（1）求雙曲線C的方程； （2）過點P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、 B兩 點，交x軸于Q點(Q點與C的頂點不重合). 當(dāng) 時，求Q 點的坐標(biāo).,解 （1）設(shè)雙曲線方程為 由橢圓 求得兩焦點為(-2，0),(2,0), 對于雙曲線C：c=2. 又 為雙曲線C的一條漸近線， ，解得a2=1，b2=3， 雙曲線C的方程為x2-,（2）方法一 由題意知，如圖所示，直線l的斜率 k存在且不等于零. 設(shè)l的方程為：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）. 則Q, = 1 ， A（x1，y1）在雙曲線C上，,（16-k2） +32 +16- =0. 同理有（16-k2） +32 2+16-

14、 =0. 若16-k2=0，則直線l過頂點，不合題意. 16-k20. 1、 2是二次方程（16-k2）x2+32x+16- =0的兩根. 1+ 2= k2=4，此時0，k=2. 所求Q的坐標(biāo)為（2,0).,方法二 由題意知直線l的斜率k存在且不等于零. 設(shè)l的方程：y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 則Q = 1 ，,即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0. (*) 又 消去y得(3-k2)x2-8kx-19=0. 當(dāng)3-k2=0時，則直線l與雙曲線的漸近線平行，不 合題意，3-k20.,由根與系數(shù)的關(guān)系有 代入（*）式得k2=4，k=2， 所求Q點的坐標(biāo)為（2,0）.

15、,方法與技巧 1.兩條雙曲線的漸近線的交點就是雙曲線的中心. 2.焦點到漸近線的距離等于虛半軸長b. 3.共用漸近線的兩條雙曲線可能是：共軛雙曲線； 放大的雙曲線;共軛放大或放大后共軛的雙曲線. 所以與雙曲線 共用漸近線的雙曲線 的方程可設(shè)為 (t0).,思想方法 感悟提高,4.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程 時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0” 就得到兩漸近線方程，即方程 就是 雙曲線 的兩條漸近線方程.,失誤與防范 1.區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓a,b,c關(guān) 系,在橢圓中a2=b2+c2，而在雙曲線中c2=a2+b2. 2.雙曲線的離心率大于1,而橢圓的離心率

16、e(0,1). 3.雙曲線 (a0,b0)的漸近線方程 是y= , (a0,b0)的漸近線 方程是y=,4.若利用弦長公式計算，在設(shè)直線斜率時要注意 說明斜率不存在的情況. 5.直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如： 當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線 相交于一點，但不是相切；反之,當(dāng)直線與雙曲 線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點.,一、選擇題 1.雙曲線 的焦點坐標(biāo)為 （ ） A.（-1,0）,（1,0） B.（-3,0）,（3,0） C.（0,-1）,（0,1） D.（0,-3）,（0,3） 解析 a2=4，b2=5，c2=a2+b2=9. 又焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為（0，-3

17、）和 （0，3）.,定時檢測,D,2.若雙曲線 =1的一條漸近線方程為 +y=0，則此雙曲線的離心率為 （ ） A.B.C. D. 解析 漸近線方程為 +y=0, 又a2+b2=c2,從而 即e=,B,3.兩個正數(shù)a、b的等差中項是 ,一個等比中項是 ,且ab,則雙曲線 的離心率e等于 （ ） A.B.C.D. 解析 a+b=5，ab=6，解得a,b的值為2或3. 又ab,a=3,b=2. c= ，從而e= = .,D,4.（2009全國理,4）設(shè)雙曲線 (a0,b0)的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則 該雙曲線的離心率等于 （ ） A. B.2C. D. 解析 雙曲線 的漸近線方程為 因為

18、y=x2+1與漸近線相切，故x2+1 x=0只有 一個實根， -4=0, e= .,C,5.（2009四川理，7）已知雙曲線 (b0)的左、右焦點分別為F1、F2，其一條漸 近線方程為y=x，點P( ,y0)在該雙曲線上,則 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 解析 漸近線方程為y=x,b2=2. 又P（ ，y0）在雙曲線上，y =1. 又F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）， （-2- ，-y0）（2- ,-y0） =3-4+y =0.,C,6.已知點F是雙曲線 =1（a0,b0）的左 焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于 x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是直 角三角

19、形，則該雙曲線的離心率是 （ ） A. B.2 C.1+ D.2+ 解析 將x=-c代入雙曲線方程得y= . 由ABE是直角三角形得 =a+c， 即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0. e2-e-2=0，解得e=2(e=-1舍去).,B,二、填空題 7.（2009湖南文，13）過雙曲線C： (a0,b0)的一個焦點作圓x2+y2=a2的兩條切 線，切點分別為A、B.若AOB=120(O是坐 標(biāo)原點)，則雙曲線C的離心率為 . 解析 如圖，由題知OAAF， OBBF且AOB=120, AOF=60, 又OA=a,OF=c, =cos 60= , =2.,2,8.P為雙曲線

20、x2- =1右支上一點,M、N分別是圓 (x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點，則|PM|-|PN| 的最大值為 . 解析 已知兩圓圓心（-4，0）和（4，0）（記為 F1和F2）恰為雙曲線x2- =1的兩焦點. 當(dāng)|PM|最大，|PN|最小時，|PM|-|PN|最大， |PM|最大值為P到圓心F1的距離|PF1|與圓F1半 徑之和，同樣|PN|最小=|PF2|-1，從而|PM|-|PN|=|PF1|+2-（|PF2|-1）=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.,5,9.（2009遼寧理，16）已知F是雙曲線 =1的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的 動點，則|PF|

21、+|PA|的最小值為 . 解析 設(shè)右焦點為F,由題可知F坐標(biāo)為 （4,0）,根據(jù)雙曲線的定義，|PF|-|PF|=4, |PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|， 要使|PF|+|PA|最小，只需|PF|+|PA|最小 即可， |PF|+|PA|最小需P、F、A三點共線，最小 值即4+|FA|=4+ =4+5=9.,9,三、解答題 10.已知AOB的頂點A在射線l1:y= x（x0）上,A,B兩點關(guān)于x軸對稱，O為坐標(biāo)原點，且線段AB上有一點M滿足|AM|MB|=3.當(dāng)點A在l1上移動時，記點M的軌跡為W.求軌跡W的方程. 解 因為A，B兩點關(guān)于x軸對稱，所以AB邊所 在的直線與y軸平行. 設(shè)M(x,y),由題意,得A(x, x),B(x，- x),所以|AM|= x-y，|MB|=y+ x. 因為|AM|MB|=3， 所以（ x-y）（y+ x）=3，即x2- =1. 所以點M的軌跡W的方程為x2- =1（x0）.,11.已知離心率為 的橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2 . （1）求橢圓及雙曲線的方程； （2）