1、1,2.5 線性方程組解的一般理論,一、線性方程組有解的判定定理 二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),2,則線性方程組的向量表達(dá)式為,(1),(2),3,系數(shù)矩陣與增廣矩陣,則線性方程組的矩陣表達(dá)式為,非齊次 齊次,4,（1）當(dāng)m=n時(shí)，克萊姆法則,，無解,【問】r 刻畫了矩陣什么屬性？,r =r (A),5,【逆否命題】線性方程組(1)無解的充要條件是,1、判定定理,推論1 線性方程組(1)有唯一解的充要條件是,推論2 線性方程組(1)有無窮解的充要條件是,推論3 線性方程組(2)僅有零解的充要條件是,推論4 線性方程組(2)有非零解的充要條件是,(2.2 補(bǔ)充定理),

2、需證,需證,6,2、上述判定方法與以前判定方法的比較, 對(duì)齊次線性方程組(2),若mn，則存在非零解。, 推論1 保證了克萊姆法則的正確性:,【說明】當(dāng)mn時(shí),一定有 ,則齊次線性方程組一定有非零解.,n個(gè)未知量，n個(gè)方程的線性方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式 D0.,【說明】 D0,一定有 =r() ,則線性方程組有唯一解.,7,8,1、 齊次線性方程組解的性質(zhì),n個(gè)未知量的線性方程組，每個(gè)解是一個(gè)n維向量，,性質(zhì) 若1與2是齊次線性方程組(2)的解，則 c1與 1 +2都是方程組(2)的解, c為任意常數(shù).,稱為解向量，記做 ，代表,9,2、 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),定義基礎(chǔ)解系

3、：齊次線性方程組(2)的解 向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，稱為齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。(只有齊次線性方程組才有基礎(chǔ)解系) 【注】基礎(chǔ)解系中的向量應(yīng)滿足三點(diǎn)： 是齊次線性方程組(2)的解； 線性無關(guān)； 可線性表示齊次線性方程組(2)的任一解。,推廣 若1,2, ,t是齊次線性方程組(2)的解，則 c11 + c22+ +ctt 是方程組(2)的解， ci為任意常數(shù)。,10,【注】基礎(chǔ)解系不唯一，若r(A)=r ,則任意n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量都是一個(gè)基礎(chǔ)解系， n-r即自由未知量的個(gè)數(shù)； 若 1,2, n-r是齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則稱 c11 + c22+ +cn-rn-r

4、 (其中c1 ,c2, cn-r為任意常數(shù))是方程組(2)的一般解或全部解，。,定理 2：若齊次線性方程組(2)系數(shù)矩陣A的秩r(A)=rn, 則該方程組有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)是n-r。,11,例2 求齊次線性方程組的一般解,12,13,1、 非齊次線性方程組解的性質(zhì),(1)定義導(dǎo)出組 ：非齊次線性方程組(1)中的常數(shù)項(xiàng)全換為0，得到齊次線性方程組(2)， (2) 稱為(1)的導(dǎo)出組。,(2)性質(zhì)1 若 是(1)的解，是其導(dǎo)出組 (2)的解，則 + 是方程組(1)的解。,性質(zhì)2 若1與 2是方程組(1)的解，則 1 2 是其導(dǎo)出組 (2)的解。,14,方程組(1)的一個(gè)特解,定

5、理3 若0是方程組(1)的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組(2)的全部解，即 c11 + c22+ +cn-rn-r 其中 1,2, n-r是齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則方程組(1)的全部解或一般解為 0+ 0+ c11 + c22+ +cn-rn-r ， 其中 ci為任意常數(shù)，i=1,2,n-r ，0稱為方程組(1)的一個(gè)特解。,2、 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),15,16,例3 求解線性方程組，若是無窮解，求其全部解。,解,17,18,19,【注】求方程組(1)的解的基本步驟 對(duì)(1)的增廣矩陣化階梯形，判斷解的狀況； 若r(A) r()， 則(1)無解， 若r(A) r( )n(未知量個(gè)數(shù))，

6、則 (1) 有唯一解， 若r(A) r( )=rn，則(1)有無窮解， 此時(shí)求全部解，先求出(1)的一個(gè)特解0， 再求導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 1,2, n-r， 則(1)的全部解為 0+ 0+ c11 + c22+ +cn-rn-r 其中 ci，i=1,2, n-r 為任意常數(shù).,20,例4 線性方程組 (重要題型),【注】矩陣方法適用于任何線性方程組的討論； 當(dāng)方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)時(shí)，如果增廣矩陣不容易化階梯形，可以先用行列式進(jìn)行討論。,21,例5 設(shè)方程組,22,23,24,【注】由于例4、5恰好方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相同, 則也可利用cramer法則:系數(shù)行列式不為零等價(jià)于有唯一解，即先求出取何值時(shí)有唯一解.然后再用增廣矩陣討論無解和無窮多解的情況. (該方法只適用于方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)的線性方程組,過程略),25,