1、5-3 函數(shù)矩陣與矩陣微分方程 函數(shù)矩陣 定義： 以實(shí)變量 的函數(shù)為元素的矩陣,稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素 都是定義在閉區(qū)間 上的實(shí)函數(shù)。 函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運(yùn)算，并且運(yùn)算法則完全相同。 例：已知,計(jì)算 定義：設(shè) 為一個(gè) 階函數(shù)矩陣，如果存在 階函數(shù)矩陣 使得對(duì)于任何 都有 那么我們稱 在區(qū)間 上是可逆的。,稱 是 的逆矩陣，一般記為 例 ：已知 ，那么 在區(qū)間 上是可逆的，其逆為,函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件 定理 : n 階矩陣 在區(qū)間 上可逆的充分必要條件是 在 上處處不為零，并且 ，其中 為矩陣 的伴隨矩陣。 定義：區(qū)間 上的 型矩陣函數(shù)不恒等于零的

2、子式的最高階數(shù)稱為 的秩。,特別地，設(shè) 為區(qū)間 上的 階矩陣函數(shù)，如果 的秩為 ，則稱 一個(gè)滿秩矩陣。 注意：對(duì)于n階函數(shù)矩陣而言，滿秩與可逆不是等價(jià)的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。 例 ：已知,其中 為固定常數(shù)。則稱 在 處有極限，且記為 其中,如果 的各元素 在 處連續(xù)，即 則稱 在 處連續(xù)，且記為 其中,容易驗(yàn)證下面的等式是成立的： 設(shè) 則,定義：如果 的所有各元素 在點(diǎn) 處(或在區(qū)間 上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣 在點(diǎn) 處(或在區(qū)間 上)可導(dǎo)，并且記為,函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有下列性質(zhì)： 是常數(shù)矩陣的充分必要條件是 設(shè) 均可導(dǎo)，則,設(shè) 是 的純量函數(shù)， 是函數(shù)矩 陣，

3、與 均可導(dǎo)，則 特別地，當(dāng) 是常數(shù) 時(shí)有,(4) 設(shè) 均可導(dǎo)，且 與 是可乘的，則 因?yàn)榫仃嚊](méi)有交換律，所以,(5) 如果 與 均可導(dǎo)，則 (6) 設(shè) 為函數(shù)矩陣， 是 的純量函數(shù)， 與 均可導(dǎo)，則,定義： 如果函數(shù)矩陣 的所有各元素 在 上可積，則稱 在 上可積，且,函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)： 例 1 ：已知函數(shù)矩陣 試計(jì)算,證明：,由于 ，所以 下面求 。由伴隨矩陣公式可得,再求,例 2 ：已知函數(shù)矩陣,試求,例 3 ：已知函數(shù)矩陣 試求 證明：,同樣可以求得,例 4 ：已知函數(shù)矩陣 試計(jì)算,函數(shù)向量的線性相關(guān)性 定義：設(shè)有定義在區(qū)間 上的 個(gè)連續(xù)的函數(shù)向量 如果存在一組不全為零的常實(shí)

4、數(shù) 使得對(duì)于所有的 等式 成立，我們稱，在 上,線性相關(guān)。,否則就說(shuō) 線性無(wú)關(guān)。即如果只有在 等式才成立，那么就說(shuō) 線性無(wú)關(guān)。 定義：設(shè) 是 個(gè)定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量 記,以 為元素的常數(shù)矩陣 稱為 的Gram矩陣， 稱為Gram行列式。 定理：定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量 線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。,例 ： 設(shè) 則 于是 的Gram矩陣為,所以 故當(dāng) 時(shí)， 在 上是線性無(wú)關(guān)的。,定義： 設(shè) 是 個(gè)定義在區(qū)間 上的 有 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記 那么稱矩陣,是 的Wronski矩陣。,其中 分別是 的一階，二階， 階導(dǎo)數(shù)矩陣。 定理： 設(shè) 是 的Wronski矩陣。如果

5、在區(qū)間 上的某個(gè)點(diǎn) ，常數(shù)矩陣 的秩等于 ，則向量 在 上線性無(wú)關(guān)。,例 ： 設(shè) 則 因?yàn)?的秩為2，所以 與 線性無(wú)關(guān)。,小結(jié)：一、一元函數(shù)矩陣的微積分,定義1 設(shè)有函數(shù)矩陣 。稱矩陣 可微，如果其每個(gè)元素 都是可微函數(shù)，且微分為,定義2 設(shè)有函數(shù)矩陣 。稱矩陣 的微分為滿足下式的矩陣 ：,聯(lián)想到普通函數(shù) 的微分 也滿足下式：,定理 3 設(shè) 和 都是可微矩陣，則,這里 為可微矩陣。,遺憾的是，鏈?zhǔn)戏▌t對(duì)矩陣值函數(shù)并不成立。例如對(duì)矩陣多項(xiàng)式函數(shù) 顯然,上式中，要使法則成立，顯然需要補(bǔ)充條件,如此，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù) ，才能成立鏈?zhǔn)椒▌t,定義4 設(shè)有函數(shù)矩陣 。稱矩陣 二階可微，如果其每個(gè)元素 都是二

6、階可微函數(shù)，且二階微分為,一般地，不難給出矩陣的高階導(dǎo)數(shù)。,定義5 設(shè)有函數(shù)矩陣 。稱矩陣 在 上可積，如果其每個(gè)元素 都在 上可積，且積分為,容易驗(yàn)證矩陣積分具有下列性質(zhì)：,這里 為常量矩陣。,定理 6 設(shè) 和 都在 上可積，則,定理 7 設(shè) 在 上連續(xù)，則成立微積分基本定理：,定理 8 設(shè) 在 上連續(xù)，則成立牛頓-萊布尼茲公式：,例 9 矩陣 為任意常量方陣，證明,例 10 已知 (1)求矩陣 ; (2)求 。,注意到 時(shí)， ，因此,解：（1）兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得,解：（1）各元素分別對(duì) 求定積分，得,%ex603.m syms t % 函數(shù)矩陣S S=sin(2*t)+3*sin(t) 5*

7、sin(2*t)-sin(t); 3*sin(2*t)-sin(t) 5*sin(2*t)+sin(t); DS=diff(S,t) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)diff求S對(duì)t的導(dǎo)數(shù),ans = 2*cos(2*t) + 3*cos(t), 10*cos(2*t) - cos(t) 6*cos(2*t) - cos(t), 10*cos(2*t) + cos(t),%ex603.m（續(xù)） syms t % 函數(shù)矩陣S S=sin(2*t)+3*sin(t) 5*sin(2*t)-sin(t); 3*sin(2*t)-sin(t) 5*sin(2*t)+sin(t); syms a b % 聲明符號(hào)變量a

8、，b IS=int(S，t，a, b) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)int對(duì)S從a到b求定積分,IS = (cos(a) - cos(b)*(cos(a) + cos(b) + 3), (cos(a) - cos(b)*(5*cos(a) + 5*cos(b) - 1) (cos(a) - cos(b)*(3*cos(a) + 3*cos(b) - 1), (cos(a) - cos(b)*(5*cos(a) + 5*cos(b) + 1),例11 設(shè)矩陣 ，證明,因?yàn)榫仃嚨嫩E是線性函數(shù)，即,例11說(shuō)明對(duì)函數(shù)矩陣A(t)而言，求導(dǎo)和A(t)的線性函數(shù)l(A(t)可以交換運(yùn)算次序，即,二、函數(shù)對(duì)向量的微分,

9、定義12 設(shè)有多元函數(shù) 。定義函數(shù) 對(duì) 的微分(即梯度)為向量,顯然，梯度的各分量給出了標(biāo)量函數(shù)在該分量上的變化率，從而指出了此函數(shù)的最大增長(zhǎng)率。,例13 對(duì)雙線性型,有,特別地，有,對(duì)二次型 ，有,特別地，當(dāng) 對(duì)稱時(shí)，有,有,例14 當(dāng) 對(duì)稱時(shí)，對(duì)二次函數(shù),因此求二次函數(shù) 的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組 的解，即二次函數(shù) 的穩(wěn)定(Stationary)點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)。,%ex604.m syms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2,y=y1; y2 z=y1 y2; %引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果，同理引入AT A=a b; c d ;AT=a c;b d; f=z *A*x; % 線性型f

10、 R1=jacobian(f,x) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)x的導(dǎo)數(shù) AT*y,R1 = a*y1 + c*y2, b*y1 + d*y2 ans = a*y1 + c*y2 b*y1 + d*y2,理論結(jié)果是列向量，但顯示為行向量,%ex604.m（續(xù)） syms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2,y=y1; y2 z=y1 y2; %引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果，同理引入AT A=a b; c d ;AT=a c ; b d f=z *A*x; % 線性型f R2=jacobian(f,y) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)y的導(dǎo)數(shù) A*x,R2 = a*x1 +

11、 b*x2, c*x1 + d*x2 ans = a*x1 + b*x2 c*x1 + d*x2,理論結(jié)果是列向量，但顯示為行向量,%ex604.m（續(xù)） syms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2； z=x1 x2; %引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果，同理引入AT A=a b; c d ;AT=a c ; b d f=z *A*x; % 二次型f R3=jacobian(f,x) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求f對(duì)x的導(dǎo)數(shù) (A+AT)*x,R3 = 2*a*x1 + b*x2 + c*x2, b*x1 + c*x1 + 2*d*x2 ans = 2*a*x1 + x2*(b + c

12、) 2*d*x2 + x1*(b + c),理論結(jié)果是列向量，但顯示為行向量,定義15 設(shè)有多元函數(shù) 。定義函數(shù) 對(duì) 的微分(即行梯度)為行向量,定義16 行向量值函數(shù) 對(duì)列向量 的微分為Jacobi矩陣（行對(duì)列）,將梯度推廣到向量值函數(shù)，我們有,定義17 列向量值函數(shù) 對(duì)行向量 的微分為Jacobi矩陣（列對(duì)行）,特別地，當(dāng) 時(shí)，有Jacobi行列式,例18 對(duì) ， 有,例19 對(duì) ， 有,都是行對(duì)列,例20 推廣例13的結(jié)論。對(duì),有,例 21 （二重積分的坐標(biāo)變換）,直角坐標(biāo)系下的二重積分,變成相應(yīng)的極坐標(biāo)下的二重積分,經(jīng)過(guò)變換,定義22 多元函數(shù) 對(duì)列向量 的二階微分為Hessian矩陣

13、,其Hessian矩陣為,例 23 當(dāng) 對(duì)稱時(shí)，對(duì)二次函數(shù),如果矩陣 還是正定的，并且存在 ，使得 ，則由 可知 是二次函數(shù)的局部極小點(diǎn)。,%ex605.m syms x1 x2 a b c d x=x1 ;x2, z=x1 x2; %引入z的目的是簡(jiǎn)化結(jié)果 R1=jacobian(z,x) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求x對(duì)x的導(dǎo)數(shù) A=a b; c d; R2=jacobian(z*A,x) % 調(diào)用內(nèi)置函數(shù)jacobian求xA對(duì)x的導(dǎo)數(shù),R1 = 1, 0 0, 1 R2 = a, c b, d,都是行向量對(duì)列向量，返回的是Jacobi矩陣,%ex605.m（續(xù)） syms x1

14、x2 a b c d b1 b2 x=x1 ;x2;z=x1 x2; A=a b; b d; % A是對(duì)稱矩陣 B=b1;b2,BT=b1 b2; f=(1/2)*z*A*x-BT*x+c % 二次泛函 f R3=jacobian(f,x) %R3是列向量 %列向量對(duì)行向量，這里返回的Jacobi矩陣是二次泛 %函的Hessian矩陣，即對(duì)稱矩陣A H=jacobian(R3,z),R3 = a*x1 - b1 + b*x2, b*x1 - b2 + d*x2 H = a, b b, d,實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常要考慮諸如矩陣的跡、矩陣的行列式等矩陣標(biāo)量函數(shù)與矩陣元素值變化之間的關(guān)系，比如擾動(dòng)分析中某個(gè)矩陣元素值的變化對(duì)矩陣的跡的影響等。矩陣標(biāo)量函數(shù)顯然可理解為 元的函數(shù)，即,因此有必要將梯度推廣到矩陣標(biāo)量函數(shù)。,三、矩陣標(biāo)量函數(shù)對(duì)矩陣的微分,定義25 設(shè)有矩陣標(biāo)量函數(shù) 。函數(shù) 對(duì) 的微分為梯度矩陣,例 27 對(duì)雙線性型,有,例 26 對(duì)矩陣的跡,有,因此,例 28 對(duì)矩陣乘積的跡,有,四、矩陣對(duì)矩陣的微分,定義28 設(shè)矩陣值函數(shù) 的元素 都是矩陣標(biāo)量函數(shù)。矩陣函數(shù) 對(duì) 的微分指的是 矩陣,其中,例 29 已知 ，設(shè) ，求,解： 因?yàn)?函數(shù)矩陣在微分方程中的應(yīng)用 形如,的線性微分方程組在引進(jìn)函數(shù)矩陣與函數(shù)