1、第三章 數(shù) 字 濾 波 第一節(jié) 概 述 數(shù)字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法。 數(shù)字濾波器的優(yōu)點： 濾波精度高。 加長字長可以很容易地提高精度 可靠性高。 模擬元器件很容易受環(huán)境和溫度的影響，而數(shù)字系統(tǒng)受這種影響要小得多。 靈活性好。 數(shù)字濾波器改變性能只要改變算法或者某些系數(shù)，而模擬濾波器卻十分麻煩。 便于時分復用。 采用模擬濾波器時，必須每個通道裝一個濾波器，而數(shù)字濾波器通過分時復用，一套硬件系統(tǒng)可以完成各個通道的濾波任務。,數(shù)字濾波器的類型,按頻率特性劃分 低通、高通、帶通和帶阻等 按沖激響應劃分 （1）無限長沖激響應（IIR） （2）有限長沖激響應（FIR） 按結構特點劃分 （1）

2、遞歸型：帶有反饋環(huán)路的結構 （2）非遞歸型：沒有反饋環(huán)路的結構 IIR濾波器只能用遞歸型結構；而FIR濾波器一般是非遞歸濾波器，有時也可含遞歸支路 FIR與IIR濾波器在特性上和設計方法上差別很大，構成了數(shù)字濾波器的兩大類型,第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,在數(shù)字信號處理領域，雖然對數(shù)字濾波器的研究已有完整的理論體系和成熟的設計方法，但由于電力系統(tǒng)信號具有自身的特點，有些方法并不是完全適用的。,巴特沃斯、切比雪夫濾波器、橢園濾波器和貝塞爾濾波器等,按傳遞函數(shù)的逼近方式劃分,第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,差分方程：一種常用的數(shù)學解法，它是在微分方程中用差商代替偏導數(shù)得到相應的差

3、分方程，通過解差分方程得到微分方程的近似解。拉普拉斯變換可以將微分方程的解變?yōu)榇鷶?shù)方程求解。Z變換可以將差分方程解變?yōu)榇鷶?shù)方程的解。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,數(shù)字濾波器的表示方法,數(shù)字濾波器具有數(shù)字系統(tǒng)的一般特點，因此可用以下方法表示： 差分方程 其中系數(shù)ak，bk為常數(shù)，x(n)，y(n)分別為系統(tǒng)的輸入、輸出序列。 傳遞函數(shù),第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,關于FIR，IIR濾波器的簡單說明 （1）濾波器傳遞函數(shù)中，若 ak=0 ，有 ，可求得 即：濾波器單位沖擊響應的時間長度是有限的，若序列時間 間隔為Ts ，則總的時間長度為MTs 因此，稱為有限沖擊響應（FIR

4、）濾波器； 濾波器差分方程為 即：濾波器輸出只與輸入有關 因此，常用非遞歸（無反饋） 結構實現(xiàn),第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,（2）濾波器傳遞函數(shù)中，若ak0 ，最簡單的情況如： 得 即：濾波器單位沖擊響應的時間長度是無限的，因此， 稱為無限沖擊響應（IIR）濾波器；,第三章 數(shù) 字 濾 波,關于FIR，IIR濾波器的簡單說明,第一節(jié) 概 述,濾波器差分方程為 或 即：濾波器輸出不但與輸入有關，也與過去的輸出有關 （遞歸），因此，常用遞歸（有反饋） 結構實現(xiàn),第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,關于FIR，IIR濾波器的簡單說明,數(shù)字濾波器的結構,具有確定傳遞函數(shù)的數(shù)字濾波器，可

5、以有各種不同的結構形式，如級聯(lián)型、并聯(lián)型、直接型等 級聯(lián)型 可用若干二階網(wǎng)絡Hi(z)級聯(lián)構成，這些二階網(wǎng)絡叫濾 波器的二階基本節(jié)。 并聯(lián)型 對高階直接型濾波器，系數(shù)誤差可能導致穩(wěn)定性問題；通常應考慮二階基本節(jié)的級聯(lián)、并聯(lián),第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,數(shù)字濾波器的設計概述 （1）傳遞函數(shù)設計 根據(jù)指標要求（幅頻響應、相位響應或時域響應等）尋找一個可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)。其頻率特性在可接受的程度上接近理想特性。 （2）物理結構設計 將數(shù)字網(wǎng)絡表示用硬件電路或軟件編程實現(xiàn) 本章所討論的數(shù)字濾波器設計問題，主要指數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的設計,第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,工程上有關暫態(tài)分

6、量的基本考慮 工程上一般將輸電線路用集中參數(shù)描述，除故障工頻分量外，主要考慮以下暫態(tài)分量： 直流分量： 由輸電線路電感引起的基本直流分量； 由輸電線路并聯(lián)電抗器引起的附加直流分量； 低頻分量 由輸電線路串補電容引起的基本附加低頻分量； 高頻分量 由輸電線路分布電容引起； 主要考慮頻率最低的少數(shù)幾個高頻分量；,第三章 數(shù) 字 濾 波,第一節(jié) 概 述,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性 一、電力系統(tǒng)故障頻譜 數(shù)字濾波方法的選擇： 取決于電力系統(tǒng)故障信號的頻譜特征 （）連續(xù)頻譜 電力系統(tǒng)故障信號：非周期暫態(tài)信號 故障信號的頻譜：連續(xù)頻譜 故障信號經(jīng)前置模擬低通濾波： 因為故障是隨機發(fā)生的，因而故障暫態(tài)

7、信號精確的數(shù)學表達往往很復雜（如分布參數(shù)的波動方程），實際工程中需作不同假設。,第三章 數(shù) 字 濾 波,（二）連續(xù)頻譜故障信號的一般形式,一般根據(jù)工程實際要求作不同假設 （1）考慮以下故障分量（工程簡化1） 衰減直流分量 衰減基波分量 有限個衰減諧波分量（包括整次和非整次諧波） 因此，故障信號具有以下形式：,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,（2）考慮以下故障分量（工程簡化2） 衰減直流分量 恒穩(wěn)基波分量 有限個恒穩(wěn)諧波分量（包括非整次諧波）,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,第三章 數(shù) 字 濾 波,（3）考慮以下故障分量（工程簡化3） 衰減直流

8、分量 恒穩(wěn)基波分量 有限個恒穩(wěn)整次諧波分量 1為基波分量角頻率,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,（三）離散頻譜 是一種工程上的近似；在低壓網(wǎng)絡及元件的慢速保護中能夠滿足要求 電力系統(tǒng)故障信號：直流與周期暫態(tài)信號 故障信號的頻譜：離散頻譜 故障信號經(jīng)前置模擬低通濾波： 帶限離散頻譜,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,第三章 數(shù) 字 濾 波,（1）考慮以下故障分量（工程簡化1） 恒穩(wěn)直流分量 恒穩(wěn)基波分量 有限個恒穩(wěn)諧波分量（包括非整次諧波）,（四）離散頻譜故障信號的一般形式,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,（2）考慮以下故障分量（工程簡化2） 恒穩(wěn)直流分量 恒穩(wěn)基波分

9、量 有限個恒穩(wěn)諧波分量（整次諧波）,（四）離散頻譜故障信號的一般形式,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,其它考慮： 結合保護算法考慮信號頻譜特征 距離保護： 使用基頻分量 變壓器保護涌流制動 使用二次諧波分量 發(fā)電機定子接地保護 使用三次諧波分量 通常選擇窄帶濾波器 將連續(xù)譜衰減直流分量濾除后，簡化為離散頻譜,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,按照具體的保護指標和對象的特性，選擇合適的輸入信號數(shù)學模型，這是設計數(shù)字濾波器的第一步。,二、數(shù)字濾波器的主要性能指標,（一）頻域特性 頻率響應 為濾波器的幅頻特性 為濾波器的相頻特性 延遲特性 注意： 以

10、 表示模擬域頻率 以 表示數(shù)字域頻率，有 = Ts 未特別說明時，也以表示模擬域頻率，如上所示,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,對多數(shù)數(shù)字保護的原理，由于只用到基波或某次諧波，因此最關心的是幅頻特性。即使需要進行比相，只要參與比相的各量采用相同的濾波器，其相對相位總是不變的。 頻域分析是一種穩(wěn)態(tài)分析，而繼電保護要求對突發(fā)故障作出正確響應，因此更關心在突加故障信號時濾波器的行為，即暫態(tài)響應。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,（二）時延與計算量 時間窗 濾波器計算時使用的當前采樣值與最早采 樣值間的時間跨度，記為TW 數(shù)據(jù)窗 例：使用相減濾波單元

11、消除直流分量和 4， 8， 12次諧波分量。fs=1200Hz ( N=24 ) ,濾波器差分方程為： 顯然， 為一次計算時所用數(shù)據(jù)的時間跨度 為一次計算時所用數(shù)據(jù)的窗口長度,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,1、時延（暫態(tài)時延） c 輸入信號發(fā)生躍變到濾波器獲得穩(wěn)態(tài)輸出的時間 與濾波器類型有關： FIR濾波器： c=TW IIR濾波器：因其遞推計算，使濾波器 c不確定； 是反應濾波器暫態(tài)響應性能的指標之一 考慮故障信號的突變性，常以基于階躍信號輸入時的各種指標表示：例如，輸出達到給定誤差時的時延 2、計算量 以乘除法次數(shù)表示（乘除法運算時間遠大于加減法） 減少計算量的

12、考慮： 盡量減少乘除法；乘除法系數(shù)用2的正數(shù)次方替代，用移位和加減法代替乘除法；,第三章 數(shù) 字 濾 波,第二節(jié) 數(shù)字濾波的基本前提與特性,一、應用前提與基本原理 微機保護中最簡單的數(shù)字濾波器 由加減運算構成的線性濾波單元 應用前提： 輸入信號為恒穩(wěn)基波信號與整次諧波信號 不考慮衰減直流分量與非整次諧波信號 應用范圍： 動作速度較低的后備保護中（過負荷、過電流保護等）,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,基本原理：如果需要濾除第 n次諧波 fn(t) ，則考慮其周期為Tn ，有,若信號中含其它頻率成份，則其它頻率成份完全保留。,濾波時間窗 TW ，其后得到正確的輸出信號

13、。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,1.差分濾波器（相減濾波單元） 對應的差分方程為 y(n)=x(n)x(n-k) (k1) Z變換后求得轉移函數(shù)： H(z) = Y(z) / X(z) = 1z-k 令 z = ejTs ，可得頻率響應。 將 ejkTs cos(kTs) +j sin(kTs) 代入H(z) ，得到相減濾波單元的幅頻特性與相頻特性：,二、基本形式及其特點,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,其中，=2f 為輸入信號角頻率；fs=1/Ts 為信號的采樣頻率。常要求采樣頻率為基頻頻率的整數(shù)倍，即 fs=Nf1（f1 為基頻頻

14、率）， N 為每基頻周期內(nèi)采樣的點數(shù)。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,1.差分濾波器（相減濾波單元）,確定濾波器階次(差分步長 ) 假定需要濾除 m=fm/f1 次諧波，則 m=m1，令 即,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,1.差分濾波器（相減濾波單元）,m為濾掉的諧波次數(shù)，k為差分步長，N為采樣點數(shù),由采樣定理的要求，f fs/2 則 ， 相減濾波單元幅頻特性曲線：,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,1.差分濾波器（相減濾波單元）,相減濾波單元特點： （1） 相減濾波單元總能濾除直流分量。 （2）m=1 ，即

15、 k=N 時，相減濾波單元能濾除信號中的直流分量，基頻分量和所有整次諧波分量。在穩(wěn)態(tài)情況下，濾波單元無輸出；發(fā)生故障后一個周波內(nèi)，只輸出故障分量，常用作故障啟動元件、故障選相元件及其它類型利用故障分量原理構成的保護。 （3）相減濾波單元的濾波時間窗為 Tw = kTs ，濾波單元的暫態(tài)時延為 c = kTs,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,1.差分濾波器（相減濾波單元）,NTs,nTs,（nN）Ts,y(n),x(n),相減濾波單元計算故障分量,第三章 數(shù) 字 濾 波,K,原始序列,濾波結果,兩者相減,兩者相減,差分濾波器的計算方法,X(1) X(2) X(n-k)

16、 X(n-k+1) X(n) X(n+1),y(n) y(n+1),第三章 數(shù) 字 濾 波,2. 相加濾波單元 對應的差分方程為 y(n)=x(n)+x(n-k) (k1) Z變換后求得轉移函數(shù)： H(z) = Y(z)/X(z) = 1+z-k 令 z = H(ejkTs) ，可得頻率響應。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,式中符號意義同前,幅頻特性,相頻特性,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,2. 相加濾波單元,確定濾波器階次 假定需要濾除 m=fm/f1 次諧波，則 m=m1，令,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾

17、波器,2. 相加濾波單元,相加濾波單元幅頻特性曲線： 相加濾波單元特點： 時，無論 N,k 取何值，m 0 ，即相加濾波單元不能濾除信號中的直流分量。 相加濾波單元的濾波時間窗為 Tw = kTs ，濾波單元的暫態(tài)時延為 c = kTs,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,2. 相加濾波單元,3積分濾波單元 對應的差分方程為 Z變換后求得轉移函數(shù)： 令 ，可得頻率響應。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,式中符號意義同前,幅頻特性,相頻特性,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,3積分濾波單元,確定濾波器階次 假定需要濾除

18、 m=fm/f1 次諧波，則 m=m1， 令 即,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,3積分濾波單元,積分濾波單元幅頻特性曲線： 積分濾波單元特點： =0 時，無論 N,k 取何值， ， 即積分濾波單元不能濾除信號中的直流分量。 積分濾波單元的濾波時間窗為 Tw = kTs ，濾波單元的暫態(tài)時延為 c = kTs,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,3積分濾波單元,4加減濾波單元 對應的差分方程為 Z變換后求得轉移函數(shù)： 令 ，可得頻率響應。,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,式中符號意義同前,(1) k為奇數(shù)時，求得其

19、幅頻特性與相頻特性為奇數(shù)時 幅頻特性,相頻特性,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,4加減濾波單元,確定濾波器階次 假定需要濾除 m=fm/f1 次諧波，則 m=m1， 令 即,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,4加減濾波單元,k為奇數(shù)時, 加減濾波單元幅頻特性曲線： 加減濾波單元特點： 時，無論 N,k 取何值, 即k為奇數(shù)時, 加減濾波單元能濾除信號中的直流分量。 加減濾波單元的濾波時間窗為Tw=kTs ，濾波單元的暫態(tài)時延為 c= kTs,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,4加減濾波單元,式中符號意義同前,（2）

20、k為偶數(shù)時,求得其幅頻特性與相頻特性 幅頻特性,相頻特性,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,4加減濾波單元,確定濾波器階次 假定需要濾除 m=fm/f1 次諧波，則 m=m1，令 即,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,4加減濾波單元,k為偶數(shù)時, 加減濾波單元幅頻特性曲線： 加減濾波單元特點： =0 時，無論 N，k 取何值， 即k為偶數(shù)時, 加減濾波單元不能濾除信號中的直流分量。 加減濾波單元的濾波時間窗為 Tw=kTs ，濾波單元的暫態(tài)時延為 c= kTs,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,4加減濾波單元,簡單濾

21、波單元的共同特點：,運算簡單 除無需乘法運算外，加減運算次數(shù)也很小。 積分、加減濾波器可遞推運算，以減少運算量 積分濾波： 加減濾波，k 為奇數(shù)時 加減濾波，k 為偶數(shù)時,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,梳狀頻譜 幅頻特性上出現(xiàn)一些較大的旁瓣，即“頻率泄漏” 只能濾除由給定 k,N 所確定的 m 次諧波及整次諧波, 對其它諧波的濾波效果很差 系統(tǒng)頻率波動時，會出現(xiàn)較大的誤差 ，需頻率跟蹤 暫態(tài)時延 c反比于 m 濾除的諧波次數(shù)越低（直流除外），暫態(tài)時延越長 使用工頻量的保護主要考慮低次諧波分量，暫態(tài)時延較長 有限沖擊響應 簡單濾波單元只有零點沒有極點，沒有穩(wěn)定性問題

22、。,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,簡單濾波單元的共同特點：,用相減濾波單元（差分濾波器）計算故障分量 用差分濾波器削弱衰減直流分量的影響 用差分濾波器改善付立葉算法的幅頻特性。主 要目的也是對付衰減直流分量 將不同的簡單濾波單元組合成選頻帶通濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,在微機保護中的主要應用方式：,三、簡單濾波單元的組合,保護算法常常依據(jù)單一頻率工作，需使用選頻帶通濾波器 工頻量保護需要獲得工頻電流或電壓 變壓器采用二次諧波制動時需要獲得二次諧波電流 常用簡單濾波單元的組合方式 級聯(lián)（串聯(lián)）組合 并聯(lián)組合,第三節(jié) 簡單濾波單

23、元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,級聯(lián)濾波器的傳遞函數(shù) 幅頻特性 相頻特性 暫態(tài)時延,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,三、簡單濾波單元的組合,級聯(lián)濾波的特點 具有簡單濾波單元的主要特點 性能有了較大的改善 對于高次諧波分量有了足夠大的衰減,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,例3.1 設采樣頻率 fs=600Hz ，要求完全濾除直流分量及2、 3、4、6次諧波分量。 使用相減濾波單元與兩個積分濾波單元共同組成四單元級聯(lián)濾波器，它們各自的轉移函數(shù)為： 使用相減濾波單元濾除直流及

24、2、4、6次諧波；用積分濾波單元濾除3、4、6次諧波，并使頻率響應的高頻部分大大壓低。幅頻特性見圖3-7.,由圖可見，雖不能完全濾除5次諧波，但已使之大大衰減。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,例3.2 采樣頻率 fs=1200Hz ( N=24 , 要求濾除直流分量和 3，4，6，8，9，12次諧波分量并具有良好的高頻衰減（旁瓣?。┨匦浴?(1)使用相減濾波單元消除直流分量和 4， 8， 12次諧波分量 相應傳遞函數(shù)為：,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,（3）使用另外一級積分濾波單元消除 2.4，4.8， 9.6，12次諧波分量 相應傳

25、遞函數(shù)為：,（2）使用一級積分濾波單元消除 3， 6， 9，12次諧波分量 相應傳遞函數(shù)為：,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,（4）級聯(lián)濾波器的傳遞函數(shù)為： （5） 級聯(lián)濾波器的暫態(tài)時延,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,幅頻特性見圖3-8,第三章 數(shù) 字 濾 波,第三節(jié) 簡單濾波單元及其級聯(lián)濾波器,從以上兩個例子可以看出，要想改善級聯(lián)濾波器的特性，通常都要提高采樣頻率和加長數(shù)據(jù)窗（但延時會增加），除此之外，還應合理選擇級聯(lián)濾波器中的濾波單元,濾波器的幅頻特性,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,通過在Z平面合理設置零、極點，可以使數(shù)字

26、濾波器得到合乎要求的幅頻特性和暫態(tài)時延。 一、零、極點對傳遞函數(shù)頻率響應的影響 傳遞函數(shù)的零、極點在Z平面的位置分布情況，決定了濾波器的頻率特性 數(shù)字濾波器的一般形式，可表示為線性常系數(shù)差分方程：,第三章 數(shù) 字 濾 波,通過Z變換，得到其傳遞函數(shù)： 用零、極點表示傳遞函數(shù)為：,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,為了表述的方便，暫時以表示數(shù)字域頻率，得到其頻率響應為： 在Z平面上，（ ej-ck ）可以用由零點指向單位圓上 ej點的向量表示如下:,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,同樣，（ ej-dk ）可以用由極點指向單位圓上ej

27、點的向量表示如下: 因此,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,其中，幅頻特性為 相頻特性為 頻率響應的幅頻特性可以用各個零、極點指向單位圓上 ej點的向量幅度所確定 相頻特性則由這些向量的幅角所確定 當頻率由0 到 2 變化時，這些向量的端點沿單位圓反時針旋轉一周，從而估計整個系統(tǒng)的頻率響應,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,零、極點位置與頻率特性的關系,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,零、極點位置與頻率特性具有以下基本關系：,(1)極點在單位圓外時，暫態(tài)響應發(fā)散，因此濾波器不穩(wěn)定; (2)極點在單位圓上時，幅頻特性在該頻率 處

28、為無窮大。 (3)零、極點在 z=0 處，只影響濾波器的相頻特性，不影響濾波器的幅頻特性。 (4)零點在單位圓上時，幅頻特性在該頻率 處為0。 (5)極點在單位圓內(nèi)靠近單位圓時，幅頻特性在該頻率 處出現(xiàn)峰值；離單位圓越近，峰值越尖銳。 (6)零點在單位圓內(nèi)靠近單位圓時，幅頻特性在該頻率 處出現(xiàn)谷點；離單位圓越近，谷點越接近零。,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,零、極點位置與濾波器可物理實現(xiàn)的約束條件：,(1)除實數(shù)零、極點外，其余均為成對出現(xiàn)的共軛零、極點（因為差分方程的系數(shù)必須為實數(shù)）； (2)保證濾波器的穩(wěn)定性，極點必須在單位圓內(nèi)； 零點的位置不受此限制，但

29、為了使衰減最大，常將零點設 置在單位圓上，其極徑為1。 零、極點累試法，一般用來設計要求簡單且階數(shù)不高的濾波器,二、零、極點配置方法,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,二、零、極點配置法,為了合理設置零、極點，需要確定單位圓上各次諧波對應的位置 數(shù)字域/模擬域頻率 /的關系為Ts 消除/保留特定的i，就必須設置零點或極點的幅角（數(shù)字域頻率）: iiTs 12f1為模擬域基頻頻率，模擬域頻率的k次諧波分量對應的數(shù)字域頻率： kk1Ts k 2f1 Ts k2/N。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,為了消除或保留模擬域頻率的直流分量，取

30、k=0，從而有零點或極點的幅角 0 針對采樣定理的要求，即ms /2，有k1s/2。對于每周期N點采樣，有 0kN/2 k 次諧波在單位圓上的對應的位置為 ejk= ejk1Ts = ejk2/N 若要保留或消除 k 次諧波，則應在對應的位置設置極點或零點。,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,二、零、極點配置法,設置零點的方式 若要抑制 k 次諧波，可在 rejk2/N(r0)處設置零點 為使傳遞函數(shù)的系數(shù)為實數(shù)，需要設置一對共軛零點 傳遞函數(shù)如下： 若希望完全濾除 k 次諧波，可令 r=1 ，這時零點 在單位圓上 當零點在正實軸/負實軸時，有 和,第三章 數(shù) 字

31、 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,二、零、極點配置法,設置多個零點分別濾除 k1,k2, 次諧波時，有以下傳遞函數(shù)： 將其作為基本濾波單元的級聯(lián)，則共軛零點構成的基本濾波單元的一般表達式為： M個基本濾波單元的級聯(lián)濾波傳遞函數(shù)為 設置極點的方式 極點的設置與此類似，只要對以上各式求倒數(shù)即可,二、零、極點配置法,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,三、零、極點配置法設計濾波器,（一） 設計步驟（累試法） (1)給出濾波器幅頻特性的具體要求。 (2)按照上述原則在Z平面上選擇適當?shù)牧銟O點的位置。特別注意：設置的零極點必須是實數(shù)，或共軛零極點；而極點必須在

32、單位圓內(nèi)。 (3)按照以上各式作出初步的濾波器的幅頻特性。 (4)如果幅頻特性達不到要求，可以通過移動零極點 的位置以調(diào)整濾波器的幅頻特性。 * 微機繼電保護中所使用的數(shù)字濾波器，往往幅頻特性比較特殊，如陷波、狹窄帶通等，都可以使用這種方法設計,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,（二）、設計舉例 1.全零點濾波器 傳遞函數(shù)中只含有零點而無極點時的濾波器稱 為全零點濾波器。 常被用來設計選頻濾波器。例如，當要求濾波器濾除直流、N/2 次諧波和其它整次諧波，而只保留 m 次諧波時，則應在在單位圓上設置以下零點（此時 r=1 ）：,三、零、極點配置法設計濾波器,第四節(jié)

33、用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,傳遞函數(shù)為： 例3.3 為采用二次諧波制動的差動保護設計兩個選頻濾波器，第一個為基波濾波器，要求保留基波，完全濾除濾除直流和其它整次諧波；第二個為二次諧波濾波器，要求保留二次諧波，完全濾除濾除直流、基波和其它整次諧波。采樣頻率為 fs=600Hz ( N=12 ),第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,1.全零點濾波器,（1）設計基波濾波器：確定零點位置的向量的 極徑為1，幅角為 其傳遞函數(shù)為： 即,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,1.全零點濾波器,零極點分布圖及傳遞函數(shù)幅頻特性,

34、（2）設計二次諧波濾波器：確定零點位置的向量的極 徑為1，幅角為 其傳遞函數(shù)為,1.全零點濾波器,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,零極點分布圖及傳遞函數(shù)幅頻特性,2.狹窄帶通濾波器 在使用全零點濾波器實現(xiàn)選頻濾波器時，由于使用了較多的零點，使得其暫態(tài)時延較長 只需要設置一個極點和少量的零點，就可以得到幅頻特性很好的選頻狹窄帶通濾波器 假定要保留 k 次諧波，則需要設置極點： 同時要求濾波器濾除直流、N/2 次諧波，則應在單位圓上設置零點： 對應的傳遞函數(shù)為,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,例3.4 設計一狹窄選頻帶通濾波器，要求幅

35、頻特性在基頻處為峰值， 并能夠濾除直流分量和N/2 次諧波分量，濾波器的采樣頻率為 fs=600Hz ( N=12 ) 解 (1)確定零點位置向量的極徑為1，幅角為 0, ；確定 極點位置 (2) 向量的極徑為0.9，幅角為 /6 。,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,2.狹窄帶通濾波器,零極點分布圖及傳遞函數(shù)幅頻特性,狹窄帶通濾波器特性分析,(1). 極點的極徑與狹窄帶通濾波器幅頻特性的關系 傳遞函數(shù)的增益隨極點的極徑變化；幅頻特性作歸一化處理后， 有以下結論： 極點在單位圓內(nèi)靠近單位圓時，幅頻特性在極點處出現(xiàn)峰值 離單位圓越近，峰值越尖銳，狹窄帶通濾波器的過渡

36、帶越窄，濾除非基頻分量的能力越強,2.狹窄帶通濾波器,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,(2). 采樣頻率與狹窄帶通濾波器幅頻特性的關系 采樣頻率影響傳遞函數(shù)位于高頻端零點的位置；因為傳遞函數(shù)位于高頻端的零點對應于 N/2 次諧波分量，因此 采樣頻率越高，高頻端的零點越是遠離基頻分量，高頻端狹窄帶通濾波器的過渡帶越寬，濾除非基頻分量的能力越差 （只有兩個零點?。?采樣頻率越低，高頻端的零點越是接近基頻分量，高頻端狹窄帶通濾波器的過渡帶越窄，濾除非基頻分量的能力越強 低頻端的零點位置不變，采樣頻率對低頻端的過渡帶影響很小,2.狹窄帶通濾波器,第四節(jié) 用零、極點配置法

37、設計數(shù)字濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,狹窄帶通濾波器特性分析實例,1. 極點的極徑與狹窄帶通濾波器幅頻特性的關系 例4.4 中，在極徑分別為 r=0.9,0.95,0.98 時，對應的幅頻特性分別為 H1,H2,H3（圖a) （采樣頻率為 fs=600Hz ） 2. 采樣頻率與狹窄帶通濾波器幅頻特性的關系 例4.4 中，采樣頻率分別為 fs=600,1200,1800Hz 時，對應的幅頻特性分別為 H1,H2,H3 (圖b) （極徑為 r=0.95 ）,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,2.狹窄帶通濾波器,狹窄帶通濾波器特性分析,使用中應注意的問題,極徑取值應適

38、當 避免因濾波器系數(shù)量化誤差引起極點偏離圓外，導致濾波器不穩(wěn)定 系統(tǒng)頻率的影響 由于狹窄帶通濾波器尖銳的幅頻特性，在系統(tǒng)頻率偏離基頻頻率時，會降低數(shù)字保護的靈敏度 使用狹窄帶通濾波器時，一般要求使用頻率跟蹤采樣技術，即保證每基頻周期采樣點數(shù)N為常數(shù),2.狹窄帶通濾波器,第三章 數(shù) 字 濾 波,第四節(jié) 用零、極點配置法設計數(shù)字濾波器,第五節(jié) 設計濾波器的經(jīng)典方法,一、IIR濾波器設計的經(jīng)典方法 基本方法 按給定技術指標設計模擬濾波器（相應設計方法成熟，設計成果豐富） 按一定變換關系將其轉換為滿足預定指標的數(shù)字濾波器 設計關鍵 將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) 映射為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

39、,映射要求 穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)映射為具有相同幅頻特性的穩(wěn)定的數(shù)字濾波器系統(tǒng)，即 S平面的虛軸 j 映射為Z平面的單位圓|Z|=1 S平面的左半平面Re(s)0映射到Z平面的單位圓內(nèi) 基本映射方法 脈沖響應不變法 雙線性變換法,(一) 脈沖響應不變法,脈沖響應不變法原理 由濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位沖擊響應序列 h(n) 模仿模擬濾波器的沖擊響應序列 ha(t) ： h(n)=ha(nTs) 將 h(n) 作為 ha(t) 的離散采樣，則離散采樣信號的頻譜 H(e j)（即數(shù)字濾波器頻率響應）為連續(xù)信號頻譜 Ha(e j) （即模擬濾波器頻率響應）的周期延拓,采樣序列的Z變換與模擬信號的拉氏變換之間有以下關系： 它是先對 Ha(s)