1、線 性 代 數(shù) 第一章 n階行列式,第一節(jié) 二階和三階行列式,第二節(jié) n階行列式定義及性質(zhì),第三節(jié) n階行列式的計(jì)算,第四節(jié) 克萊姆法則,第一節(jié) 二階和三階行列式,3,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,一、行列式概念的引進(jìn) 二元線性方程組 其中 為常數(shù)， 為未知量。,4,定義1四個(gè)數(shù)排成二行二列的方形數(shù)表，加上記號(hào)“| |”，表 示一個(gè)二階行列式 ，其值為 ，即 其中 稱為行列式的元素。元素 的腳標(biāo) 表第 行， 表第 列，即 表行列式中位于第 行第 列的元素。,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,5,由二階行列式的定義，可將前述二元線性方程組的解寫為：

2、,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,稱 為線性方程組（1）的系數(shù)行列式。 上述結(jié)論還可簡(jiǎn)記為：當(dāng)二元方程組（1）的系數(shù)行列式 時(shí)，方程組有唯一解 。 其中 為系數(shù)行列式 的第 列換為常數(shù)列 ，其余列不動(dòng)而得到的行列式。,6,定義2 九個(gè)數(shù)排成三行三列的方形數(shù)表，加上記號(hào)“| |”，表示一個(gè)三階行列式：,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,三階行列式值的計(jì)算可按圖示“對(duì)角線法則”來記憶。,7,三元線性方程組：,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,當(dāng)系數(shù)行列式 時(shí)，方程組（2）有唯一解,上述結(jié)論仍可簡(jiǎn)記為 ，其中 為系數(shù)行 列式， 為

3、的第 列換為常數(shù)列 ，其余列不動(dòng)而得 到的行列式。,8,三階行列式性質(zhì)： 性質(zhì)1將行列式的行列互換，行列式值不變。即,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,稱這兩個(gè)行列式互為轉(zhuǎn)置行列式。 行列式行列互換（將行列式行依次改為列）稱為行列式轉(zhuǎn)置。 性質(zhì)2行列式任意兩行（列）互換，行列式值反號(hào)。 推論若行列式兩行（列）相同，則行列式值為零。,二、行列式的性質(zhì),9,性質(zhì)3行列式某一行有公因子 ，則 可提到行列式號(hào)外。即,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,推論1行列式有一行（列）元素均為0，則行列式值為0。 推論2行列式有二行（列）元素成比例，則行列式值為0。,1

4、0,性質(zhì)4行列式某一行（列）的元素可以表示成兩項(xiàng)之和，則該行列式可寫成兩個(gè)行列式之和。,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,性質(zhì)5將行列式一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）上，行列式值不變。,11,三、行列式按行（列）展開定理 定義3 三階行列式中劃去元素 所在的第 行與第 列的元 素，其余的元素按原來的次序構(gòu)成一個(gè)二階行列式，稱為元素 的余子式，記作 ，令 ，稱 為元素 的代數(shù)余子式。 定理1三階行列式值等于其任一行（或列）的元素與其代數(shù)余子式乘積之和。即：,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1節(jié) 二階和三階行列式,12,例1求上三角行列式,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第1

5、節(jié) 二階和三階行列式,例2求,例3求,第二節(jié) n階行列式定義及性質(zhì),14,定義1由自然數(shù) 組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè) 階排 列。 一般地說一個(gè) 階排列可用 表示。所有的 階排列 的總數(shù)為 個(gè)。 定義2在 階排列 中，如果 就 稱 為該排列的一個(gè)逆序，排列中逆序的總個(gè)數(shù)稱為該 排列的逆序數(shù)，記作 排列 具有自然順序，即逆序數(shù)為0，稱之為自然排列。 定義3逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),一、 階排列,15,例1計(jì)算下列排列的逆序數(shù)并指出排列的的奇偶性。 1）五階排列（4 2 1 5 3） 2） 階自然排列 偶

6、排列 3） 階倒序排列 時(shí)，偶排列 時(shí)，奇排列 例2求,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),16,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),在一個(gè)排列中，把其中兩個(gè)數(shù)的位置互換，其余數(shù)位置不動(dòng)，這樣的變換稱為對(duì)換。 如,17,二、 階行列式的定義 三階行列式定義：,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),18,定義3由 個(gè)數(shù)排成 行， 列的數(shù)表，加符號(hào)“| |”，稱為 階行列式，它的值為所有取自不同行、不同列的 個(gè)元素 乘積 的代數(shù)和，每項(xiàng)的符號(hào)由 決定， 即： 規(guī)定一階行列式 。 階行列式的完全展開式中含有 項(xiàng)。所帶符號(hào)一半為正，

7、一半為負(fù)。,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),19,例1 在五階行列式中，決定 這項(xiàng)前面所帶的符號(hào)。 例2計(jì)算上三角行列式 之值。 進(jìn)一步考慮,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),當(dāng) 時(shí)，符號(hào)為正， 時(shí)，符號(hào)為負(fù)。,20,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),階行列式展開也可表為：,階行列式定義中，每一項(xiàng)中 個(gè)元素的排列次序是使 它們的行標(biāo)成自然排列的，即 。數(shù)的乘法有交 換率，故可以適當(dāng)調(diào)換 個(gè)元素的次序，使這 個(gè)元素的列 標(biāo)成自然排列，即 。故 。,與 同為奇排列或偶排列。,21,三、 階行列式的性質(zhì)： 性質(zhì)1行列式行

8、列互換，行列式值不變。 性質(zhì)2行列式任意兩行互換，行列式值變號(hào)。 推論行列式若兩行相等，行列式值為0。 性質(zhì)3行列式某一行有公因子 ，則 可提到行列式號(hào)外。 推論1行列式有一行元素均為0，則行列式值為0。 推論2行列式有二行元素成比例，則行列式值為0。 性質(zhì)4如果行列式第 行 個(gè)元素可表為兩項(xiàng)之和，那么行列式可寫為兩個(gè)行列式之和。 性質(zhì)5行列式一行的倍數(shù)加到另一行上，行列式值不變。 注意以上各條性質(zhì)及推論的敘述與二、三階行列式完全相同，但證明方法不同，應(yīng)用 階行列式定義及推理方法。,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第2節(jié) n階行列式定義與性質(zhì),22,例3證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式值為0。 （書P13

9、/例4） 一個(gè) 階行列式 若 ，稱 為對(duì)稱行列式， 若 ，稱 為反對(duì)稱行列式。 可見反對(duì)稱行列式主對(duì)角線上元素 反對(duì)稱行列式可寫為：,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,第三節(jié) n階行列式的計(jì)算,24,一、利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式 例1計(jì)算行列式 （書P15/例4） 例2計(jì)算行列式 （書P16/例6） 例3計(jì)算行列式 其中 （書 P27/9(3)）,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,25,二、 階行列式的展開 定義1在 階行列式中劃去元素 所在的第 行與第 列的 元素，其余的元素按原來的次序構(gòu)成一個(gè) 階行列式， 稱為元素 的余子式，記作 ，令 ，稱 為

10、 元素 的代數(shù)余子式。 定理1 階行列式值等于其任一行的元素與其代數(shù)余子式乘積之和。即 定理1 階行列式值等于其任一列的元素與其代數(shù)余子式乘積之和。即,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,26,例4 計(jì)算行列式 （書P17/例7）,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,27,引進(jìn)Kronecker符號(hào) 定理1、定理1及推論可合寫為：其中 表 階行列式 的值,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,推論在 階行列式中，任意一行（列）元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素代數(shù)余子式的乘積之和為0。即,28,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的

11、計(jì)算,在 階行列式 中任選 行、 列，不妨設(shè)選的 行、 列為： 將這 行、 列交叉位置的元素按原來順序構(gòu)成的 階行列式 稱為 階行列式 的 階子式。 將 階行列式 中這 行、 列的元素劃去，余下的元素按原 來的次序構(gòu)成的 階行列式與 的乘積稱為 階子式 的代數(shù)余子式。,29,定理2在 階行列式 中任選 行（列） ，則行列式 等于由這 行（列）元素組成的所有 階子式與其代數(shù)余子式乘積之和。 定理2又稱為L(zhǎng)aplace展開定理，當(dāng) 時(shí)即為定理1。,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,30,例6計(jì)算行列式值,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,例5 計(jì)算行列式

12、值 （書P27/9(6)）,31,三、數(shù)學(xué)歸納法在行列式計(jì)算中的應(yīng)用,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,例7求 階行列式值 （書P20/例12）,32,例8證明范德蒙行列式,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第3節(jié) n階行列式的計(jì)算,等式右邊為連乘積，表示滿足 的所有 構(gòu)成 連乘。即： （書P21/例13）,第四節(jié) 克萊姆（Cramer）法則,34,個(gè)方程 個(gè)未知數(shù)的 元線性方程組,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第4節(jié) 克萊姆法則,所謂方程組（1）的解 ，就是將這 個(gè)數(shù) ，分別代入方程組（1）中 的相應(yīng)位置，使每個(gè)方程均為恒等式。 通常用向量 表示這個(gè)解，并稱為一個(gè)解向量 （也可稱為一個(gè)解）。 方程組所有的解構(gòu)成的集合稱為方程組的解集合。,35,定理1（克萊姆法則） 元線性方程組（1）當(dāng)它的系數(shù)行列 式 時(shí)，方程組（1）有解，且解是唯一的， 其解為 （其中 為 中第 列換成常數(shù)列 其余列不變所得的行 列式）,線性代數(shù) 第一章 n階行列式 第4節(jié) 克萊姆法則,36,稱為齊次線性方程組 齊次線性方程組一定有解，且為全零解，即 一定是它的解。 齊次線性方程組的解有兩種情況：