1、1.5.3 定積分的概念,廣州市第六中學(xué) 肖燊,兩個(gè)活動(dòng):,1、一根1米長(zhǎng)的木棒，第一天截掉它的一半，剩下另一半； 第二天將剩下的那一半再截掉一半， 依此類推， 請(qǐng)問，要截多少天，才能將這根棒截完。,2、上述活動(dòng)中被截掉的木棒有多少根呢？若將上述截掉的棒接起來，那么接起來的木棒有多長(zhǎng)呢？,化有限為無限,化無限為有限,區(qū)間分割的過程是否可以理解為“化有限為無限”的過程？,求和取極限的過程是否可以理解為“化無限為有限”的過程？,求曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法,xi,xi+1,xi,(1)分割: 在區(qū)間a,b 上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將 它等分成n個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度x,(2)近

2、似代替、(3)求和: 任取 xi-1, xi，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f( )而寬為x的小矩形面積 f( )x近似值.,xi,xi+1,xi,取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：,(4)取極限: 所求曲邊梯形的面積S為：,區(qū)間分割問題：區(qū)間是否可以不均勻分割？均分分割的目的是？,想一想：,取值可以取區(qū)間 內(nèi)的任意值，我們常?。ㄗ蟆⒂遥┒它c(diǎn)值的目的是什么？,1.定積分的計(jì)算和簡(jiǎn)單應(yīng)用.(重點(diǎn)) 2.利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積. (難點(diǎn)),探究點(diǎn)1 定積分的定義,從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出, 通過以下四步:,探究活動(dòng),分割近似代替求和取極限得到解決.,定積分的定義,定積

3、分的定義的理解:,定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積式， x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間.,積分下限,積分上限,由定積分定義易知求定積分的步驟為： (1)分割：將積分區(qū)間a,bn等分. (2)近似代替：取點(diǎn)ixi-1,xi，可取i=xi-1或者i=xi. (3)求和： (4)求極限：,探究點(diǎn)2 定積分的幾何意義,試用定積分的幾何意義說明,【提示】x=0,x=2, y=0, 圍成圖形的面積。 試一試：求定積分的值（利用幾何意義）,探究點(diǎn)3 定積分的基本性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,(k為常數(shù)),性質(zhì)3.定

4、積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性,【解析】由定積分的運(yùn)算性質(zhì)可知,2.已知 則 等于( ) A.6e2-6 B.3e2-3 C.ex-1 D.e2-1,【同步訓(xùn)練】,【解析】選B.由定積分的性質(zhì)可知,B,探究點(diǎn)4 用定積分表示圖中陰影部分的面積,思考：定積分可能是負(fù)值嗎？如果為負(fù)值時(shí)，與圖形的面積又是什么關(guān)系呢？,事實(shí)上：當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，,=-S,分析過程如下：,定積分的幾何意義:,表示各部分面積的代數(shù)和.,【拓展延伸】,代數(shù)和的理解： 函數(shù)圖象在x軸下方時(shí)，定積分的值為圖形面積的相反數(shù)，,函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)，定積分的值為圖

5、形面積本身。,1.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積,0,a,y,x,f(x)=x2,【變式訓(xùn)練】,0,y,x,a,b,f(x)=1,0,y,x,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,1.定積分 的值為( ) A.0 B.2 C.1 D.4 【解析】選B. 表示由直線y=1，x=0,x=2及x軸 圍成的矩形的面積,由于矩形的面積為2，所以,【當(dāng)堂小測(cè)】,2.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)0，則當(dāng)ab時(shí)，定積分 的 符號(hào) ( ) A.一定是正的 B.一定是負(fù)的 C.當(dāng)0ab時(shí)是正的，當(dāng)ab0時(shí)是負(fù)的 D.以上結(jié)論都不對(duì),A,3.由y=0，y=cos x，x=0，x= 圍成的圖形的面積用定積分的形式表示為_. 答案：,4.,面積值為圓的面積的,【課后作業(yè)】,1.定義法求定積分的“四步曲” 分割近似代替求和取極限 2.定積分幾何意義 3.定積分幾何意義的應(yīng)用 4.定積分計(jì)算性質(zhì),學(xué)習(xí)完這節(jié)課，同學(xué)們是否有這樣的疑問：