1、第六章有限元分析中的單元性質(zhì)特征和誤差處理， 6.1單元節(jié)點編號和帶寬6.2形狀函數(shù)矩陣和剛性矩陣的性質(zhì)6.3存儲邊界條件的處理和支撐反作用力校正6.4單元剛性矩陣的縮聚6.5是函數(shù)結(jié)構(gòu)和收斂性要求6.6C0型單元和C1型單元6.7單元的塊試驗6.8有限元分析數(shù)值解的精度和性質(zhì)6.9單元應力的校正結(jié)果的誤差和平均處理6.10控制錯誤提高差和精度的h方法和p方法、6.1小區(qū)節(jié)點編號和帶寬的存儲、校正機進行有限元分析時，需要存儲所有的小區(qū)和節(jié)點信息，隨著解決的問題的自由度增大，校正規(guī)模增大，整體剛性矩陣的規(guī)模非常大。 由于總體剛度矩陣表現(xiàn)出相鄰小區(qū)之間的關(guān)聯(lián)性，所以矩陣中的大部分數(shù)據(jù)為零，一個反映

2、非零數(shù)據(jù)的指標是帶寬。 由于剛性矩陣是對稱的，所以若將節(jié)點的自由度設為m，則各單元的整體剛性矩陣的半值寬度為di=(I (第I個單元中的節(jié)點編號的最大差1)md=max(di)(I=1， 2n )，n明顯對于二維問題，m=2對于三維問題，m=3、6.2形狀函數(shù)矩陣和剛性矩陣的性質(zhì)，以一維棒狀單元為例，在棒狀單元的位移場合，形狀函數(shù)矩陣為1，左端單位位移，右端固定的其剛性方程式為1，單元左端單位位位移單元右端考慮單位位移、左端固定3、剛體位移，性質(zhì)1 :單元剛性矩陣的對角要素kii表示在單元的第I個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，其他節(jié)點位移為0時，需要施加于I點的節(jié)點力。 性質(zhì)2 :單元剛性矩陣的對角要素k

3、ij(ij )表示使單元的第j個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，其他節(jié)點位移為0時，需要施加在I點上的節(jié)點力。 性質(zhì)3 :單元剛度矩陣是對稱的。 這可以從工作的互等定理中得出。 在線彈性體中，力的作用與負荷順序無關(guān)，可以利用上述的性質(zhì)1和2獲得。 第一種負載狀態(tài)、第二種負載狀態(tài)、第一種負載狀態(tài)下的外力在第二種負載狀態(tài)下移動對應位移的功，第二種負載狀態(tài)下的外力在第一種負載狀態(tài)下移動對應位移的功，從功的相互等定理可以得出剛性矩陣是對稱的結(jié)論。 性質(zhì)4 :單元剛度矩陣半正定。 性質(zhì)5 :單元剛度矩陣特異。 性質(zhì)6 :單元剛性矩陣的任意行或列表示平衡力系，節(jié)點位移全部為線位移時，任意行或列的代數(shù)和必須為0。 同樣，

4、通過單元剛性矩陣組裝的整體剛性矩陣，1 )對稱性2 )特異性3 )半正定性4 )疏散性5 )非零要素呈帶狀分布的性質(zhì)，6.3邊界條件的處理和支反作用力的修正，位移邊界條件多數(shù)情況下有2種類型。 1 .零位移邊界條件2、給定的具體數(shù)值位移邊界條件基于上述兩種邊界條件，剛性方程的求解有以下方法： 1、直接法2、位置“1”法3、乘法4、罰函數(shù)法、直接法、1、能夠處理零約束的2 .處理過程直觀。 3 .求得的行列的規(guī)模變小(維數(shù)變小)，適用于手工作業(yè)。 4 .矩陣的節(jié)點編號和順序發(fā)生變化，不利于校正機的規(guī)范化處理。 如果設定“1”法，則只能處理1、零約束。 2 .求出的矩陣的規(guī)模不變，不需要重新排序，

5、適用于校正算機處理。 3 .保持整體剛度矩陣的對稱性，有利于修正機的規(guī)范化處理。 如果可以同時處理、直接法、乘法、1、零約束和非零約束。 2 .求行列的規(guī)模不變，不需要重新排序。 3 .保持整體剛度矩陣的對稱性，有利于修正機的規(guī)范化處理。、直接法、罰則函數(shù)法罰則函數(shù)法的最大優(yōu)點是可以直接求出位移邊界上的反作用力。 分支反作用力的修正：懲罰函數(shù)法除了可以求分支反作用力以外的方法，需要求解一定的方程式。 6.4單元剛性矩陣的縮聚，使用高次位移函數(shù)的單元也經(jīng)常被稱為高次單元。 對于高階小區(qū)，除了幾何端點之外，其雄辯的節(jié)點可能與其他小區(qū)沒有關(guān)系，如果中間的節(jié)點與其他小區(qū)沒有關(guān)系，則我們稱為內(nèi)部節(jié)點。

6、其馀的節(jié)點是外部節(jié)點。 既然內(nèi)部節(jié)點與其他單元無關(guān)，則在構(gòu)成整體剛性之前，可消除它們，即內(nèi)部節(jié)點的位移可用外部節(jié)點的位移來表示。以一維三節(jié)點桿單元為例，以一維三節(jié)點桿單元為例，其中a表示外部節(jié)點，b表示內(nèi)部節(jié)點。6.5位移函數(shù)的結(jié)構(gòu)和收斂性要求、單元中的位移模式一般采用具有保留系數(shù)的有限多項式作為近似函數(shù)，優(yōu)先多項式的選擇原則應考慮以下幾點： 1、保留系數(shù)由節(jié)點位移條件決定，因此其個數(shù)必須等于節(jié)點位移DOF個數(shù)。 2 .選擇多項式時，必須選擇常數(shù)項和完整的一次項。 單元位移模式中的常數(shù)項和一次項可以反映單元的剛體位移合唱失真的特性。 這是因為，劃分的小區(qū)數(shù)趨于無限，即，小區(qū)趨于縮小，在這種情況

7、下，小區(qū)失真趨于恒定。 3 .應該盡可能從低到高選擇完全多項式來提高單元格的精度。 因此，在構(gòu)筑一個單元的位移函數(shù)時，應該參考由多項式函數(shù)構(gòu)成的Pascal三角形和上述原則進行函數(shù)項的選擇和構(gòu)造。 在收斂性問題有限元分析中，若節(jié)點數(shù)或單元內(nèi)插函數(shù)的項數(shù)無限大，即單元尺寸為0，若最后的解可無線近似于正確的解，則這樣的位移函數(shù)或形狀函數(shù)近似于真，將其稱為收斂。 為了收斂有限元分析的解，位移函數(shù)必須滿足通過嚴格理論驗證的收斂準則。 主要有以下三個方面。 收斂性準則的定義：單元尺寸為零時，有限元的解為真解。 準則1 :完整性準則(單元內(nèi)部時)。 當出現(xiàn)在電勢泛函中的位移函數(shù)的最高等式導數(shù)是m次時，有限

8、元解收斂性的條件之一是選擇單元內(nèi)的位移場函數(shù)至少為m次完全多項式。 準則2 :協(xié)調(diào)性準則(單元之間的情況)。 當位移函數(shù)出現(xiàn)在勢泛函中的最高導數(shù)為m階時，位移函數(shù)必須具有在單元邊界面上的m-1階的連續(xù)導數(shù)，即，Cm-1連續(xù)性。 作為典型的梁問題的示例，根據(jù)以上公式可以看出，當假定形狀函數(shù)時，形狀函數(shù)應至少包括完整的二次多項式，因為出現(xiàn)的物理量對于位移具有2個最高等級導數(shù)。 如從參考2所看到的那樣，位移函數(shù)是c-1連續(xù)性，即，小區(qū)間的位移函數(shù)需要至少一階導數(shù)連續(xù)性。 作為典型的平面問題，根據(jù)上述方程可以看出，當假定形狀函數(shù)時，形狀函數(shù)應至少包括完整的一次多項式，因為出現(xiàn)的物理量具有相對于位移的1

9、的最高等級導數(shù)。 如從參考2所看到的那樣，位移函數(shù)是c-0連續(xù)性，即，小區(qū)間的位移函數(shù)需要0階導數(shù)連續(xù)性。 也就是說，函數(shù)本身是連續(xù)的，但其一階導數(shù)可以不是連續(xù)的。 另外，如果協(xié)同源和非協(xié)同源單元的位移函數(shù)滿足完整性要求，則單元是完整的(一般來說，相對容易滿足)，并且如果單元的位移函數(shù)滿足協(xié)同性條件，則單元是協(xié)同的(在單元和單元之間的共同邊界處，其不太可能滿足高維連續(xù)性要求)。 當單元的位移函數(shù)完全協(xié)調(diào)時，有限元分析的解收斂。 也就是說，單元尺寸為零時，有限元分析的解為真解。 這樣的單元被稱為協(xié)調(diào)單元。通常，當泛函的導數(shù)高于一階時，要求許可函數(shù)在小區(qū)邊界表面上具有大于等于C1的連續(xù)性，在這種情

10、況下，通常難以構(gòu)建小區(qū)的內(nèi)插函數(shù)。 如果在單元間的界面上位移或?qū)?shù)不連續(xù)，則界面會產(chǎn)生無限大的變形，此時必須產(chǎn)生附加的應變能，但是在我們制作泛函時，沒有考慮到這種情況。 因此，根據(jù)最小勢能原理得到的有限元分析解不能收斂于正確的解。 在某些情況下，可以放寬對協(xié)調(diào)性的要求。 如果這些單元通過切片測試，則有限元分析的解答可收斂為正確的解答。 這樣的單元被稱為非協(xié)調(diào)單元。6.6C0和C1型單元、C0型單元在泛函中位移函數(shù)的最高次導數(shù)為1，邊界面具有0次連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點只需要位移連續(xù)。 桿單元、平面問題單元、空間問題單元等6.6C0和C1型單元、C1型單元在泛函中位移函數(shù)的最高導數(shù)為2，邊界面上有一階連

11、續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上除了位移連續(xù)外，還要求一階導數(shù)關(guān)聯(lián)。 梁單元、板單元、殼單元等6.7單元的拼焊試驗，由于非協(xié)調(diào)單元之間的位移不能保證位移協(xié)調(diào)，所以拼焊試驗可以驗證是否可以描述常變形和剛體位移，拼焊試驗合格后收斂在如圖所示的小區(qū)的情況下，如果至少一個節(jié)點被小區(qū)完全包圍并且節(jié)點I被小區(qū)完全包圍，則節(jié)點I的平衡方程式必須檢查在非協(xié)同小區(qū)中是否具有對應于其收斂性，即，正常失真的能力以平面問題為例，從單方面問題的平衡方程式可知，單元內(nèi)的應變和應力都一定時，對應體積力為零。 與圖中的I點相對應，其邊界力也為零。 因此，此時，拼焊試驗的前提是，在給予各節(jié)點以上的位移模式的位移時，I點的平衡方程式必須對節(jié)點I

12、施加附加約束，其約束力與單元邊界面上的位移的不匹配引起的附加應變能相等。 以平面問題為例，從單方面問題的平衡方程式可知，單元內(nèi)的應變和應力都一定時，對應體積力為零。 與圖中的I點相對應，其邊界力也為零。 因此，在I節(jié)點以外的節(jié)點上存在以上的位移模式的位移時，關(guān)于I點的平衡方程式，如果求解上式得到的位移值和常變形狀態(tài)下的位移一致，則可以認為通過了拼焊試驗。 否則，我認為我們無法通過拼貼考試。 6.8以有限元數(shù)值解的精度和性質(zhì)、求解精度推定平面問題為例，單元的位移場可以展開為以下形式。 如果單元大小為h，則上式中的x和y都為h級，如果單元的位移函數(shù)采用p次完全多項式，則如果其可近似于上述泰勒級數(shù)的

13、前p次多項式，則位移解u的誤差為O(hp 1)，三節(jié)點三角形單元(p次多項式):這里討論的是網(wǎng)格連續(xù)求解域離散到有限子域，是單元試驗函數(shù)近似整個域的域函數(shù)產(chǎn)生的誤差。 而且，實際的誤差中也應該包含補正機的數(shù)值運算誤差。精密解與不同網(wǎng)格修正計算結(jié)果的關(guān)系、有限元分析的下限性質(zhì)有限元將結(jié)構(gòu)無限多的自由度簡化為有限多的自由度，結(jié)構(gòu)的剛性被夸大，即使用無限多的自由度記述，也必然會增加原來的系統(tǒng)剛性，變得更硬，即剛性矩陣的整體值變大，從剛性方程式可知，修正計算的變量位移函數(shù)的收斂性標準包括完整性和協(xié)調(diào)性兩方面的要求，完整性要求比較容易滿足，協(xié)調(diào)性比較難滿足，因此這往往是研究的重點。 位移解的下限性質(zhì)是基

14、于協(xié)調(diào)單元單調(diào)收斂的前提而得到的，有時使用非協(xié)調(diào)單元也能得到工序上的滿意解，有時會更好，這是因為位移失配引起的誤差與其他誤差相抵消。 6.9單元應力校正結(jié)果的誤差和平均值，應力結(jié)果的誤差性質(zhì)成為彈性問題，其三大變量成為一個具體問題，求兩個極值的問題。 這是誤差泛函。 關(guān)于求近似解的極值的問題，在力學上可知，位移變分的總勢能成為極小值的問題。 在數(shù)學上，是求應變差和應力差的彈性矩陣加權(quán)意義上的最小二乘問題。 因此，應變和應力的近似解的性質(zhì)是在加權(quán)殘值的最小二乘的意義上近似真應變和真應力。 由圖可知，高斯點的應力特性高斯積分點的應力和應變的近似解與其他位置相比具有非常高的精度。公共節(jié)點上的應力平均卷節(jié)點直接平均法卷節(jié)點加權(quán)平均法、體積或面積加權(quán)平均二單元平均法、提高6.10控制誤差和精度的h方法和p方法、h方法：不改變各單元基函數(shù)，僅依次加密單元就能使修正結(jié)果接近正確解。 多數(shù)情況下采用比較簡單的單元。 一般來說誤差可以抑制在510%的范圍內(nèi)。 其收斂性比p法差，由于不使用高次多項式位移模式，數(shù)值穩(wěn)定性和可靠性好。 p方法：保持網(wǎng)格的固定分割，增加單元格上基函數(shù)的次數(shù)，提高校正精度。 實際證明，p方法收斂性好，使用高次多項式，因此出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象，并且校正機容量和速度的限制，多項式的次數(shù)不太高，特別是在振動和穩(wěn)定性問題上求高次特征值時，這兩種方法得不到滿意的結(jié)果，這是由于多