1、第九章 方差分析,【內(nèi)容提要】 本章介紹方差分析。第一節(jié)介紹方差分析基本概念及原理。第二節(jié)介紹單因素方差分析。第三節(jié)介紹雙因素方差分析。,第一節(jié) 方差分析引論,方差分析（analysisi of variance，ANOVA）是檢驗多個總體均值是否相等的統(tǒng)計方法。它是通過檢驗各總體的均值是否相等來判斷分類型自變量對數(shù)值型因變量是否有顯著影響。表面上看，方差分析是檢驗多個總體的均值是否相同，但本質(zhì)上它所研究的是分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響。,方差分析中的幾個術(shù)語,1、觀測變量 觀測變量是試驗的結(jié)果，即前面所說的數(shù)值型因變量，又稱響應變量。 2、因子 因子又稱因素或控制變量，是在試驗中或在抽樣

2、時發(fā)生變化的“量”，也即前面所說的分類型自變量。如果在實驗中的因子只有一個，這時的方差分析稱為單因素方差分析；在實驗中得因子不只一個時，就稱為多因素方差分析。 3、水平 我們將因子的不同類別稱為因子的不同水平。 4、交互影響 如果因子間存在相互作用，我們稱之為存在“交互影響”. 如果因子間是互相獨立的，則稱為“無交互影響”。,三、方差分析的基本思想,1、方差的分解,方差分析認為觀測變量值的變化受兩類因素的影響：第一類是因子（控制變量）不同水平所產(chǎn)生的影響；第二類是隨機因素所產(chǎn)生的影響，這里隨機因素是指那些人為很難控制的因素，主要指試驗過程中的抽樣誤差。 方差分析認為：如果因子的不同水平對觀測變

3、量產(chǎn)生了顯著影響，那么，它和隨機因素共同作用必然使得觀測變量值有顯著變動；反之，如果因子的不同水平?jīng)]有對觀測變量產(chǎn)生顯著影響，那么，觀測變量值的變動就不會明顯地表現(xiàn)出來，其變動可以歸結(jié)為隨機因素影響造成的。,離差平和的分解是我們進入方差分析的“切入點”，這種離差平方和的構(gòu)成形式為我們分析現(xiàn)象變化提高了重要的信息。 組內(nèi)離差平方和（SSE）反映的是由抽樣誤差即隨機因素所產(chǎn)生的樣本數(shù)據(jù)波動，它衡量的是因子的同一水平（即同一總體）下的樣本數(shù)據(jù)的波動。 組間離差平方和(SSA)明顯高于組內(nèi)離差平方和，說明觀測變量樣本數(shù)據(jù)波動的主要來源是組間離差平方和，可以認為因子對觀測變量存在顯著影響；反之，如果波動

4、的主要部分來自組內(nèi)離差平方和，則因子的影響就不明顯，沒有充足理由認為因子對觀測變量有顯著影響。,2、檢驗統(tǒng)計量,方差分析采用的檢驗統(tǒng)計量為F統(tǒng)計量。因子或因子間“交互作用”對觀測變量的影響是否顯著，關(guān)鍵要看組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和的比較結(jié)果。為了消除樣本容量、水平個數(shù)對離差平方和大小的影響，我們用“均方差（Mean Square）”作為不同來源離差平方和比較的基礎。均方差是用離差平方和除以其對應的“自由度”。因此，我們得到檢驗因子影響是否顯著的F檢驗統(tǒng)計量： F統(tǒng)計量越大，越說明組間方差是主要來源方差，因子對觀測變量的影響是顯著的；F越小，越說明隨機因素是導致觀測變量變動的主要來源，因子

5、對觀測變量的影響是不顯著。,四、方差分析中的基本假定,方差分析中有三個基本假定： （1）對于每個總體來說，因變量都應服從正態(tài)分布。 （2）對于每個總體，用表示的因變量的方差都是相等的。 （3）觀測變量值是獨立的。,五、方差分析問題的一般提法,設因子有k個水平，每個水平的均值分別用，要檢驗k個水平（總體）的均值是否相等，需要提出如下假設： 自變量對因變量沒有顯著影響 不全相等 自變量對因變量有顯著影響,第二節(jié) 單因素方差分析,單因素方差分析用來研究一個因子的不同水平是否對觀測變量產(chǎn)生了顯著影響。這里，由于僅研究單個因子對觀測變量的影響，因此成為單因素方差分析。 例如，分析不同施肥量是否給農(nóng)作物產(chǎn)

6、量帶來顯著影響，考察地區(qū)差異是否會影響銷售利潤率，研究學歷對工資收入的影響等。這些問題都可以通過單因素方差分析得到答案。,一、單因素方差分析的離差平方和的分解,二、單因素方差分析的基本步驟,1、提出方差分析的原假設和備擇假設,設因子有k個水平，每個水平的均值分別用，要檢驗k個水平（總體）的均值是否相等，需要提出如下假設： 自變量對因變量沒有顯著影響 不全相等 自變量對因變量有顯著影響,2、建立方差分析的F檢驗統(tǒng)計量,F檢驗統(tǒng)計量的計算方法為：,3、統(tǒng)計決策,根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查分子自由度、分母自由度為相應的臨界值。 如果檢驗統(tǒng)計量F ，則拒絕原假設，即不成立，表明（j=1，2，

7、k）之間的差異是顯著的。也就是說，因子對因變量的影響是顯著的。 如果檢驗統(tǒng)計量F ，則不拒絕原假設，沒有證據(jù)表明（j=1，2，k）之間的差異是顯著的，也就是說，不能認為因子對因變量有顯著影響。,三、利用Excel進行方差分析,1、方差分析表 運用Excel進行方差分析輸出的方差分析表一般形式如下： 方差分析表的一般形式,四、多重比較檢驗,前面所講述的單因素方差分析只能判斷因子是否對觀測變量產(chǎn)生了顯著影響，即不同水平下的總體均值是否全相等。如果因子確實對觀測變量產(chǎn)生了顯著影響，進一步還應確定究竟哪些總體均值之間不相等呢？這就需要進一步的分析，所使用的方法就是多重比較檢驗方法，它是通過對總體均值之

8、間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異。 多重比較檢驗的方法有許多種，由Fisher提出的最小顯著差異方法（Least Significant Difference），簡記為LSD。該方法具有檢驗敏感性高的特點，即水平間的均值只要存在一定程度的微小差異就可能被檢驗出來。,參見課本例9.2,第三節(jié) 雙因素方差分析,一、雙因素方差分析的基本思想 在實際問題中往往需要考察多個因子對觀測變量的影響，這時就需要進行多因素方差分析。當方差分析中涉及兩個因子時，稱為雙因素方差分析。,二、無交互作用的雙因素方差分析,1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),無交互作用的雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表,無交互作用的雙因素方差分析數(shù)

9、據(jù)結(jié)構(gòu)表,2、分析步驟,與單因素方差分析類似，雙因素方差分析也包括提出假設、確定檢驗的統(tǒng)計量、決策分析等步驟。 （1）提出假設 （2）確定檢驗統(tǒng)計量,（3）統(tǒng)計決策,用Excel進行無交互作用的雙因素方差分析,運用Excel作無交互作用的雙因素方差分析的基本步驟： （1）在選擇“工具”下拉菜單欄中選擇“數(shù)據(jù)分析”； （2）在“分析工具”中選擇“方差分析：無重復雙因素分析”，點擊“確定”； （3）在彈出的對話框中，在“輸入?yún)^(qū)域”中輸入數(shù)據(jù)所在單元格區(qū)域。,三、有交互作用的雙因素方差分析,1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表,2、分析步驟,與無交互作用的方差分析方法類似，有交互作用的

10、雙因素方差分析也需要提出假設、構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量、決策分析等步驟。提出假設時，需要對行變量、列變量和交互作用變量分別提出假設，方法與上述類似。,3、用Excel進行有交互作用的雙因素方差分析,運用Excel作有交互作用的雙因素方差分析的基本步驟： （1）在選擇“工具”下拉菜單欄中選擇“數(shù)據(jù)分析”； （2）在“分析工具”中選擇“方差分析：可重復雙因素分析”，點擊“確定”； （3）在彈出的對話框中，在“輸入?yún)^(qū)域”中輸入數(shù)據(jù)所在單元格區(qū)域。,本章小結(jié)：,1、方差分析是檢驗多個總體均值是否相等的統(tǒng)計方法。它是通過檢驗各總體的均值是否相等來判斷分類型自變量對數(shù)值型因變量是否有顯著影響。表面上看，方差分析是檢驗多個總體的均值是否相同，但本質(zhì)上它