1、第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法(理)知識(shí)能否憶起數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法小題能否全取1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(nN，n3)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()An1Bn2Cn3 Dn4答案：C2(教材習(xí)題改編)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成

2、立Cn2k2時(shí)等式成立 Dn2(k2)時(shí)等式成立解析：選B因?yàn)閚為偶數(shù)，故假設(shè)nk成立后，再證nk2時(shí)等式成立3已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)解析：選D由f(n)可知，共有n2n1項(xiàng)，且n2時(shí)，f(2).4用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n21(nN*)的過程中，在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為_答案：12225用數(shù)學(xué)歸納法證明：“11)”，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_解析：當(dāng)nk時(shí)，不等式為1(n

3、N*)成立，其初始值最小應(yīng)取()A7B8C9 D10解析：選B可逐個(gè)驗(yàn)證，n8成立3(2013海南三亞二模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：選D由條件知，左邊是從20,21一直到2n1都是連續(xù)的，因此當(dāng)nk1時(shí)，左邊應(yīng)為12222k12k，而右邊應(yīng)為2k11.4凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸(n1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析

4、：選C邊數(shù)增加1，頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與和它不相鄰的n2個(gè)頂點(diǎn)連接成對(duì)角線，原來的一條邊也成為對(duì)角線，因此，對(duì)角線增加n1條5在數(shù)列an中，a1，且Snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A. B.C. D.解析：選C由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.6下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析：選D(1)當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k)能被9整除(2)假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時(shí)，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.這就是說，kn1時(shí)命題也成立由(1

5、)(2)可知，命題對(duì)任何kN*都成立7(2012徐州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真解析：n為正奇數(shù)，假設(shè)n2k1成立后，需證明的應(yīng)為n2k1時(shí)成立答案：2k18(2012濟(jì)南模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為_解析：當(dāng)nk時(shí)左端為123k(k1)(k2)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，左端為123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的項(xiàng)為(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)29設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有：(

6、Sn1)2anSn，通過計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn _.解析：由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.答案：10用數(shù)學(xué)歸納法證明：123252(2n1)2n(4n21)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊 1(41)1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)則當(dāng)nk1時(shí)，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(4k21)4k24k1k4(k1)21k4(2k1)4k24k1k4(k1)21(12k212k38k24k)k4(k1)214(k

7、1)21(k1) 4(k1)21即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)，(2)可知，對(duì)一切nN*，等式都成立11已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an1anbn1，bn1(nN*)，且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，1)(1)求過點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于nN*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上解：(1)由題意得a11，b11，b2，a21，P2.直線l的方程為，即2xy1.(2)當(dāng)n1時(shí)，2a1b121(1)1成立假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，2akbk1成立則2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk11也成立由知，對(duì)于nN*，都有2anbn1，即點(diǎn)Pn在直線

8、l上12設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1,2,3.(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明解：(1)當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論()n1時(shí)已知結(jié)論成立()假設(shè)nk(

9、k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即Sk，當(dāng)nk1時(shí)，由得Sk1，即Sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由()()可知Sn對(duì)所有正整數(shù)n都成立1利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”時(shí)，從“nk”變到“nk1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：選B當(dāng)nk(kN*)時(shí)，左式為(k1)(k2)(kk)；當(dāng)nk1時(shí)，左式為(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，則左邊應(yīng)增乘的式子是2(2k1)2對(duì)大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.

10、根據(jù)上述分解規(guī)律，若n213519, m3(mN*)的分解中最小的數(shù)是21，則mn的值為_解析：依題意得 n2100, n10. 易知 m321m2, 整理得(m5)(m4)0, 又 mN*, 所以 m5, 所以mn15.答案：153已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明解：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給

11、出證明當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)不等式成立，即1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)，因?yàn)?，所以f(k1)g(k1)由可知，對(duì)一切nN*，都有f(n)g(n)成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除證明： (1)當(dāng)n1時(shí)，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1由假設(shè)可知aak1(a1)2k1能被a2

12、a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1時(shí)命題也成立，由(1)(2)知，對(duì)任意nN*原命題成立2在數(shù)列an中，a11，an1cancn1(2n1)，nN*，其中c0.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：由a11，a2ca1c233c2c(221)c2c，a3ca2c358c3c2(321)c3c2，a4ca3c4715c4c3(421)c4c3，猜測(cè)an(n21)cncn1，nN*.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即ak(k21)ckck1，則當(dāng)nk1時(shí)，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1

13、(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck，綜上，an(n21)cncn1對(duì)任何nN*都成立不等式、推理與證明一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分)1不等式0的解集是()A(，1)(1,2B(1,2C(，1)2，) D1,2解析：選B0，1x2.2把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，結(jié)論還正確的是()A如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交B如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直C如果兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行D如果兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行解析：選B由空間立體幾何的知識(shí)可知B正確3(2012保定模擬)已

14、知ab，則下列不等式成立的是()Aa2b20 BacbcCac2bc2 D2a2b解析：選DA中，若a1，b2，則a2b20不成立；當(dāng)c0時(shí)，B、C不成立由ab知2a2b成立4若規(guī)定adbc，則不等式01的解集是()A(1,1) B(1,0) (0,1)C(，1) (1，) D(1，)解析：選C由題意可知0x2111x221|x|x1或1x.5(2012天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3x2y的最小值為()A5 B4C2 D3解析：選B不等式表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，作輔助線l0：3x2y0，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線3x2yz平移到過點(diǎn)(0,2)時(shí)，z3x2y的值最小，最小

15、值為4.6設(shè)aR，則“0”是“|a|1” 成立的()A充分必要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既非充分也非必要條件解析：選C因?yàn)閍2a120，所以由0得a1，不能得知|a|1；反過來，由|a|1得1a1，所以0，因此，“0”是“|a|1”成立的必要不充分條件7設(shè)M，且abc1(a，b，c均為正數(shù))，由綜合法得M的取值范圍是()A. B.C. 1,8 D8，)解析：選D由abc1，M8(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào))8如果a，b，c滿足cba，且ac0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是()Aabac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0解析：選C由題意知c0，a0，則A一定正確；B一定

16、正確；D一定正確；當(dāng)b0時(shí)C不正確9已知函數(shù)f(x)，則f(f(x)1的充要條件是()Ax(， Bx4，)Cx(，14，)Dx(，4，)解析：選D當(dāng)x0時(shí)，f(f(x)1，所以x4；當(dāng)x0時(shí)，f(f(x)1，所以x22，解得x(舍去)或x，因此f(f(x)1的充要條件是x(，4，)10(2012山西省四校聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zabxy(a0，b0)的最大值為13，則ab的最小值為()A2 B4C6 D8解析：選C在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線abxy0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(1,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)za

17、bxy(a0，b0)取得最大值，依題意有ab1413，即ab9，其中a0，b0，ab226，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取等號(hào)，因此ab的最小值為6.11已知M是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且2，BAC30，若MBC、MCA和MAB的面積分別是、x、y，則的最小值是()A9 B18C16 D20解析：選B|cos 302，|4，SABC4sin 301，xy1，即2(xy)1，2(xy)222(54)18，當(dāng)且僅當(dāng)y2x，即x，y時(shí)等號(hào)成立12(2012湖南高考)設(shè)ab1，c；acloga(bc)其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()A BC D解析：選D由ab1，c0得，；冪函數(shù)yxc(c0)是減函數(shù)，所以acbc，所以l

18、ogb(ac)loga(ac)loga(bc)，均正確二、填空題(本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13(文)若不等式42x34與不等式x2pxq0的解集相同，則_.解析：由42x34得x，由題意得p，q，即p3，q，.答案：13(理)若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)214(2012福州模擬)如圖，一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為_，第n行的第2個(gè)數(shù)為_解析

19、：每行的第一個(gè)數(shù)可構(gòu)成數(shù)列1,3,5,7,9，是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，故第n行第一個(gè)數(shù)為12(n1)2n1.從第2行起，每行的第2個(gè)數(shù)可構(gòu)成數(shù)列3,6,11,18，可得a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3.(其中n為行數(shù))，以上各式兩邊分別相加，可得an357(2n3)a23n22n3.答案：2n1n22n315(2012浙江調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x，y滿足若(1,0)是使axy取得最大值的可行解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：題中不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，令zaxy，則yaxz，因?yàn)?1,0)是使axy取得最大值的可行解，所以結(jié)合圖形可知a2，即a2.答案：(，

20、216(2012 北京西城模擬)設(shè)0，不等式組所表示的平面區(qū)域是W.給出下列三個(gè)結(jié)論：當(dāng)1時(shí)，W的面積為3；0，使W是直角三角形區(qū)域；設(shè)點(diǎn)P(x，y)，PW有x4.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_解析：當(dāng)1時(shí)，不等式組變成其表示以點(diǎn)(0,0)，(2,2)，(2，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，易得W的面積為3，正確；直線xy0的斜率為，直線x2y0的斜率為，1，且直線x2垂直于x軸，W不可能成為直角三角形區(qū)域，錯(cuò)誤；顯然，不等式組表示的區(qū)域是以點(diǎn)(0,0)，(2,2)，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，令zx，則其在三個(gè)點(diǎn)處的值依次為：0,4,2，zx的最大值z(mì)max4，正確答案：三、解答題(本題共6小題，共70分)1

21、7(本小題滿分10分)已知集合Ax|x24，B.(1)求集合AB；(2)若不等式2x2axb0的解集為B，求a、b的值解：(1)Ax|2x2，11003x1，Bx|3x1ABx|2x1(2)由(1)及題意知，不等式2x2axb0的解集為(3,1)，31 ，31，a4，b6.18(本小題滿分12分)已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：x0，y0,2x8yxy0，(1)xy2x8y2，8，xy64.故xy的最小值為64.(2)由2x8yxy，得1，則xy(xy)1(xy)1010818.故xy的最小值為18.19(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x2a

22、xb，a，bR.(1)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)2xa，求b的取值范圍；(2)當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)的最大值為M，求證：Mb1.解：(1)對(duì)任意的xR，都有f(x)2xa對(duì)任意的xR，x2(a2)x(ba)0(a2)24(ba)0b1b1.aR，b1，)，即b的取值范圍為1，)(2)證明f(1)1abM，f(1)1abM，2M2b2，即Mb1.20(本小題滿分12分) 在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求，并求(不需證明)；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)當(dāng)n2時(shí)，由anSnSn1和San，得S(S2S1)，得23，由S(S3S2)，得25，由S(S4S3)，得27，由S(SnSn1)得22n1.(2)由(1)知，Sn，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，顯然，a11不符合上述表達(dá)式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an21(本小題滿分12分)(2012福州質(zhì)檢)某書商為提高某套叢書的銷量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷會(huì)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，銷售量可達(dá)到150.1x萬套現(xiàn)出版社為配合該書商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例