1、二維向量張成的空間,平面上的任何一點(diǎn)w1;w2是不是一定能用u和v的線性組合來(lái)實(shí)現(xiàn)？即是不是一定能找到一組常數(shù)c1,c2，使得 c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v張成的子空間，在所給的u和v下，它是一個(gè)平面。 若u和v兩個(gè)向量的各元素成簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，合成的向量只能在一根直線上，不可能張成整個(gè)二維平面。這種情況下，稱這兩個(gè)向量u和v是線性相關(guān)的。,2三維空間中的向量,若v1,v2和v3都是三維空間的列向量。可以用空間坐標(biāo)中的三個(gè)點(diǎn)，或從坐標(biāo)原點(diǎn)引向這三點(diǎn)的箭頭來(lái)表示。用矩陣代數(shù)表示如下 如果三個(gè)基本向量之間線性無(wú)關(guān)，那么它們的線性組合可以覆蓋（張成）整個(gè)三維空間。如果三個(gè)向量共

2、面，即相關(guān)，就不能張成三維空間。判斷三個(gè)向量的線性相關(guān)性，可用行列式。,三維空間向量的相關(guān)性,即看三向量并列所得矩陣的行列式 det(A)=0 相關(guān) det(A)0 不相關(guān) 行列式的幾何意義:在二維是兩個(gè)向量組成的平行四邊形面積，在三維是三個(gè)向量組成的平行六面體的體積。,行列式的幾何意義,二維 三維 det(A)=右圖平行六面體的體積,n維向量的相關(guān)性,在進(jìn)入三維以上的空間時(shí)，已經(jīng)沒(méi)有可與面積、體積直接相當(dāng)?shù)母拍羁捎昧?，所以采用了秩的概念。如果A的行列式為零，也就是它的秩r小于n時(shí)，說(shuō)明這n個(gè)向量是線性相關(guān)的。 秩的概念也概括了面積存在（r2）和體積存在（r3）的意義，因此，它是更高度的抽象。

3、,8.2 向量空間和基向量,若r個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的，則它們的線性組合的全體V就構(gòu)成了r維空間Rr 。如果它不是空集，則V稱為向量空間。生成V的r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量v稱為基向量或基（Basis）。 當(dāng)rn時(shí)，給定的n個(gè)向量就是一組基。如果rn，那就要在n個(gè)向量中選出r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。用秩的概念還無(wú)法判定哪些向量是線性無(wú)關(guān)的，這時(shí)又要藉助于把矩陣簡(jiǎn)化為階梯形式的方法。,例8.2 求四個(gè)五維向量的子空間,這四個(gè)向量組成的矩 陣如右，對(duì)它進(jìn)行行 階梯簡(jiǎn)化。程序?yàn)椋?A4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1 U0,iprref(A) 得到 ip=1,2,4 其三個(gè)

4、樞軸列對(duì)應(yīng)的就是 三個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。,三個(gè)向量空間位置演示程序,三維空間中，為了觀察三個(gè)向量的空間關(guān)系，ATLAST手冊(cè)還提供了一個(gè)演示程序viewsubspaces(u,v,w)，它用藍(lán)色直線顯示向量u，同時(shí)用紅色顯示v和w所組張成的平行四邊形平面，畫(huà)在同一張立體圖上。例如： u=-1;1;8;v=5;-4;7;w=-3;1;-5; viewsubspaces(u,v,w),grid on 三個(gè)向量的起點(diǎn)都是xyz0的原點(diǎn)。要看清其幾何意義，還是需要一定的空間想象力。,三個(gè)向量的空間關(guān)系,例8.3 w是否在v1,v2,v3的空間內(nèi),設(shè) w是否能由v1,v2,v3的線性組合構(gòu)成的問(wèn)題，取決

5、于線性方程組解的存在性。 v1=7;-4;-2;9; v2=-4;5;-1;-7; v3=9;4;4;-7; w=-9;7;1;-4; v=v1,v2,v3; c=vw % 把基向量組成矩陣v求解 也可以按det(v)是否為零進(jìn)行判別,8.3 向量的內(nèi)積和正交性,在三維空間中，x和y兩個(gè)向量的內(nèi)積定義為x,yx1y1x2y2x3y3。m維情況可以寫成 這是一個(gè)標(biāo)量。向量x與自己求內(nèi)積： 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的長(zhǎng)度（或模、或范數(shù)norm）。,內(nèi)積的幾何意義,在平面情況，兩向量的內(nèi)積除以它們的長(zhǎng)度是它們夾角的余弦，可以利用下圖證明。 根據(jù)余弦定律， 最后得到 此結(jié)果可推廣到

6、高維空間，只是被抽象化了：,例8.4 基向量長(zhǎng)度規(guī)一化和夾角,例8.4 求例8.3中的單位基向量v10,v20,v30，并分別求它們之間的夾角。 解：解題的程序?yàn)閍g822： v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v1), theta12=acos(v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2) theta13=acos(v1*v3)/(norm(v1)*norm(v3) theta23=acos(v3*v2)/(norm(v3)*norm(v2) ),正交基向量的生成,兩向量x，y正交的條件是它們的內(nèi)積為零。 給出向量求正交基常用施密

7、特算法，ATLAST手冊(cè)中給出了相應(yīng)的程序gschmidt。調(diào)用時(shí)鍵入Q,R=gschmidt(v)，Q就是單位正交基向量e。 MATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法編成了正交分解子程序qr.m，它將v分解為Q和R兩個(gè)矩陣的乘積。調(diào)用方法為： Q, Rqr(v) Q就是mm單位正交矩陣。,基向量正交化的schmidt公式,得到qi(i1,2,k)后，再把它們除以norm(qi)，就可歸一化為單位向量ek。,基向量正交化的schmidt子程序,function Q,R=gschmidt(V) m,n=size(V); R=zeros(n); R(1,1)=norm(V(:,1); Q(:,

8、1)=V(:,1)/R(1,1); for k=2:n R(1:k1,k)=Q(:,1:k1)*V(:,k); Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:k1)*R(1:k1,k); R(k,k)=norm(Q(:,k); Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k); end,求單位正交基向量的例,例8.5 對(duì)于例8.3的數(shù)據(jù)，求其規(guī)范化正交基向量e1,e2,en。 解：程序?yàn)?V7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7 Q,Rqr(v) % 或 Q,Rgschmidt(v) eQ(:,1:3) 得到：,8.4 齊次方程Ax=0的解空間,設(shè)有m個(gè)方程和n個(gè)變量，A的秩是r，則經(jīng)過(guò)行簡(jiǎn)化后得到的

9、行階梯矩陣U的有r個(gè)樞軸元素，非樞軸元素有nr個(gè)。因此該方程的全解將等于Axb 的一個(gè)特解加上其齊次方程Ax0的通解。本節(jié)將從向量空間的視點(diǎn)來(lái)討論它的解，因?yàn)橥ń馐莕r階的無(wú)窮的集合，所以要研究解所張成的向量空間。 Ax0意味著這些解x的集合經(jīng)過(guò)矩陣A變換后都映射到像空間的零點(diǎn)，所以英文把此解所張成的空間稱為Null Space，直譯為零空間。我國(guó)的通用譯名為解空間或基礎(chǔ)解系，我們覺(jué)得用齊次解空間較為準(zhǔn)確。,齊次方程Ax=0解空間的例,例8.6 試求下列系數(shù)矩陣的齊次解空間： 解：輸入A，并求出它的簡(jiǎn)化行階梯形式，鍵入U(xiǎn)0,iprref(A)，得到 ip1,3,齊次解空間的例（續(xù)）,其通解可以

10、看成三個(gè)向量的線性組合 這個(gè)式子就表示了一個(gè)三維的向量空間，在這個(gè)空間中所有的向量都能使Ax0。所以它被稱為齊次解空間或零空間。,求齊次解空間的子程序,這樣齊次解空間的m is系數(shù)矩陣N可以用下面的程序來(lái)自動(dòng)完成： functin N=nulspace(A) m,n=size(A); U0,ip=rref(A) is=1:n; is(ip)=; N(ip,:)=-U0(1:rank(A),is); N(is,:)=eye(n-rank(A) MATLAB中的子程序?yàn)镹=null(A).,計(jì)算例題8.7,系數(shù)矩陣A如右， 求Ax0的通解。 解：程序ag842 先輸入A ，再鍵入 vnulbasi

11、s(A) %或 v=null(A,r) r表示用有理分式的 基向量 得到都是三個(gè)分量并列， v=v1,v2,v3,8.5 解超定方程的思路,有時(shí)用向量空間的方法可以更為簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)公式，超定方程的解就是一個(gè)例子。 既然我們已討論了適定方程組和不定方程組的求解方法，自然會(huì)提出如何解超定方程組的問(wèn)題。 工程問(wèn)題都可以允許方程有誤差，把一組解代入方程后，每個(gè)方程都有誤差；要找誤差在一定意義下的總和為最小的解。在這樣的思路引導(dǎo)下，就產(chǎn)生了超定方程求解的方法。,誤差線性方程組的建立,引入誤差向量e。 eAxb 寫出其完全的矩陣形式如下 問(wèn)題是，找到解x，使e的長(zhǎng)度或范數(shù)為最小。,從向量空間的視點(diǎn)分析,研究

12、例6.1的超定方程組（d）： 改寫成 簡(jiǎn)寫為 選擇不同的x1和x2將得到不同的合成向量A*xx1v1x2v2q ，q必定處于v1和v2張成的平面之內(nèi)。而方程中的b則一般不會(huì)在這個(gè)平面內(nèi)，,本例的向量空間圖,這時(shí)最近似的解就應(yīng)該是該平面上與b點(diǎn)最近的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)A*xhat。它應(yīng)該是b點(diǎn)向v1和v2張成的平面的投影。所以和b的連線應(yīng)該和v1和v2張成的平面垂直，也就是說(shuō)必須分別與v1和v2正交。如圖8.6所示。,最小二乘解的公式推導(dǎo),A*xhat和b的連線向量應(yīng)該是這兩個(gè)向量之差，即，它與v1和v2正交的要求可以分別表示為： 和 綜合在一起可以寫成： 最后得到公式,最小二乘解的數(shù)字例,例8.

13、求題6.1(d)方程組的最小二乘解。 解：MATLAB程序ag808如下： A=1,1;1,1; 1,2, b=1;3;3 xhat=inv(A*A)*A*b e=A*xhatb, norm(e) 運(yùn)行此程序，得到,MATLAB中超定方程的解,在MATLAB中，把運(yùn)算(ATA) -1AT單獨(dú)編成一個(gè)子程序，稱為pinv函數(shù)。求最小二乘解的公式可以寫成 xpinv(A)*b，與適定方程的解x inv(A)* b非常相似，只是pinv函數(shù)并不要求A是方陣。 最小二乘解也可用運(yùn)算符表示，這就把欠定方程、適定方程和超定方程用統(tǒng)一的運(yùn)算格式： x A b MATLAB會(huì)自動(dòng)根據(jù)系數(shù)矩陣A的行數(shù)m和列數(shù)n

14、，來(lái)判斷采用哪個(gè)方法和程序。不過(guò)對(duì)于欠定方程，這個(gè)式子只給出了一個(gè)特解，沒(méi)給通解。,數(shù)字實(shí)例8.9：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理,例8.9 設(shè)在某一實(shí)驗(yàn)中，給某元件加1,2,3,4,5v電壓，測(cè)得的電流為0.2339，0.3812，0.5759，0.8153，0.9742ma。求此元件的電阻。 解：設(shè)直線的方程為y c(1)x c(2)，待定的系數(shù)是c(1)，c(2)。將上述數(shù)據(jù)分別代入x，y，把這五個(gè)方程聯(lián)立，用矩陣表述：,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理實(shí)例,寫成 datax *c(1) ones(N,1) * c(2) datay 其中datax ， datay都是5行數(shù)據(jù)列向量，這是5個(gè)一次代數(shù)方程，含兩個(gè)未知數(shù)，是一個(gè)

15、超定方程，解的程序如下： A datax , ones(N,1); B datay; c A B,8.6.1 價(jià)格平衡模型,單位消耗列向量vi表示第i個(gè)部門每產(chǎn)出一個(gè)單位產(chǎn)品中，本部門和其他各個(gè)部門消耗的百分比。 于是總的價(jià)格平衡方程可以寫成為： ( I V ) p =0 此等式右端常數(shù)項(xiàng)為零，是一個(gè)齊次方程。它有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。,8.6.2 宏觀經(jīng)濟(jì)模型,為了滿足外部的最終需求向量d，各生產(chǎn)部門的實(shí)際產(chǎn)出x應(yīng)該是多少，這對(duì)于經(jīng)濟(jì)計(jì)劃的制訂當(dāng)然很有價(jià)值。因?yàn)?x=內(nèi)部需求外部需求d 考慮到單位消耗列向量vi和內(nèi)部需求矩陣V，總的需求方程可以寫成為：xVx = d，移項(xiàng)得( I

16、V )x=d 因而x = inv( I V )*d,8.6.3 信號(hào)流圖模型,信號(hào)流圖是用來(lái)表示和分析復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)的信號(hào)變換關(guān)系的工具。右圖方程如下。 寫成矩陣方程 或x=QxPu 移項(xiàng)整理，可以得到求信號(hào)向量x的公式。,信號(hào)流圖的矩陣解法,( I Q ) x= Pu，x = inv( I Q )*Pu 定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W為輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之比x/u，則W可按下式求得： W=x/u = inv( I Q )*P 因?yàn)?得到,復(fù)雜點(diǎn)的信號(hào)流圖,按右面的信號(hào)流圖，照上述方法列出它的方程如下： x1 = -G4x3 + u x2 = G1x1-G5x4 x3 = G2x2 x4 = G3x3,信號(hào)流圖的矩陣方程,列出的矩陣方程為： 矩陣中的參數(shù)是符號(hào)而不是數(shù)，MATLAB的許多函數(shù)(特別是求逆)都可以處理符號(hào)，帶來(lái)了極大的方便。只要在程序第一行注明哪些是符號(hào)變量： syms G1 G2 ,用符號(hào)運(yùn)算工具箱求解,矩陣代數(shù)方法的最大好處是可用于任意高的階次的信號(hào)流圖，實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)推導(dǎo)的自動(dòng)化 如下題的MATLAB程序ag863 syms G1 G2 G3 G4 G5 Q=0,0,G4,0;G1,0,0,G5;0,G2,0,0;0,0,G3,0, P=1;0;0;0 W=inv(eye(4)Q)