1、第一章 引 言,1.2 有限差分法的一維計(jì)算,0x1,當(dāng)x=0時(shí) u=0 ; x=1時(shí) u=0 Dirichlet邊界條件,由此可得精確解：,差分解？,x=1/2( )處,精確解：,(1.2.4),差分解：,1.3 一維問題的有限體積法FVM,(1.3.4)=(1.2.4),1.4 Neumann邊界條件,1.有限差分法利用虛節(jié)點(diǎn)法,邊界點(diǎn)3處應(yīng)用努曼邊界條件和有限差分方程有,求解得到,節(jié)點(diǎn)3用二階精度的差分方程,2.有限體積法,2點(diǎn)：,3點(diǎn)：,聯(lián)立求解得到,1.5 幾個(gè)例子,1.5.1 Dirichlet邊界條件：x=0時(shí)u=0；x=1時(shí)u=-1 精確解： u2=1/9; u3= -2/9,

2、1、有限差分方法:,節(jié)點(diǎn)2：,節(jié)點(diǎn)2：,節(jié)點(diǎn)3：,解： u2=1/9; u3= -2/9; 與精確解相同,2、有限體積法： 與FDM相同，該例中也能夠給出精確解。,1.5.2 NEUMANN邊界條件,邊界條件：x0時(shí)u0， x1時(shí) -3 精確解：u2x2x; u2=1/9, u3= -2/9,有限差分方法: 三元素 不利用虛擬節(jié)點(diǎn)有：u2=-0.018, u3= -0.51 利用虛擬節(jié)點(diǎn)有：u1=0, u2=1/9, u3= -2/9, u4= -1 使用節(jié)點(diǎn)4上du/dx的前向二階精度公式:可得精確解 使用節(jié)點(diǎn)4上d2u/dx2的二階精度公式:也可得精確解 如果使用兩元素，解的誤差很大,有限

3、體積法: 兩元素,節(jié)點(diǎn)3利用FDM,節(jié)點(diǎn)2利用FDM,解得 u2=0; u3= -1; 與精確解u-2x2+x一致,1.6總結(jié),本章的意圖是通過非常簡單的一維線性二階微分方程組使讀者了解有限差分，有限體積法，提供了彼此相同的最終形式的代數(shù)方程，給出了Dirichlet問題的同樣結(jié)果。 Neumann邊界條件在FDM中近似滿足，但是在FVM中精確實(shí)現(xiàn)。他們在推導(dǎo)公式的過程中“自然”地顯示出來。由于這個(gè)原因，Neumann邊界條件被稱作自然邊界條件。對于FDM則不是這種情況，盡管對于簡單的問題得到了精確的解。,盡管在這章僅僅展現(xiàn)了一維問題，但是可以預(yù)測在多維問題中將要發(fā)生的事情。FDM的網(wǎng)格計(jì)算必

4、須結(jié)構(gòu)化為多維問題，如圖1.6.1a所示。斜線或者曲線能轉(zhuǎn)化為正交坐標(biāo)，以便于能寫出正交坐標(biāo)系中的2D或3D的有限差分方程。如果網(wǎng)格計(jì)算是非結(jié)構(gòu)化的，F(xiàn)DM中不能這樣做，如圖1.6.1b所示。在這種情況下，F(xiàn)VM仍然能適應(yīng)任意幾何形體和任意網(wǎng)格計(jì)算（對于二維來說是三邊形或者四邊形元素，對于三維來說是四面體或者六面體元素）。,第二章 控制方程,2.1 偏微分方程的分類,一、分類方法 影響域（依賴域）,影響域,一般二維偏微分方程,最高階是2，應(yīng)該確保1階微分連續(xù)，即,特征線種類,與圓錐面的截線類比，由下式B2-4AC判斷二次曲線的類型 二次曲線一般表達(dá)式 A+BXY+C+DX+EY+F=0,方程種

5、類,影響域,二、例：模型方程及其性質(zhì),1、模型方程與物理現(xiàn)象,對流(遷移,宏觀) 雙曲型,運(yùn)輸(對流-擴(kuò)散) 拋物型,發(fā)展型(推進(jìn)),泊桑方程 橢圓型,f=0時(shí)為拉普拉斯方程,線性 非線性,平衡型,擴(kuò)散(鄰域,微觀) 拋物型,2、模型方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)：,對流方程：,x,t,t,x,u,A B,A B ,u 隨微團(tuán)遷移不變化, 即u沿AA 、BB不變化 AA 、BB為特征線，（信息依賴域、信息影響域）,a=dx/dt,令a=dx/dt， 則du/dt=0 上式,特征線上物理量連續(xù)而導(dǎo)數(shù)可以不連續(xù)(弱解),利用弱解的數(shù)學(xué)特征可以求特征線 dx/dt=a；,特征陣,數(shù)學(xué)特征（性質(zhì)） 信息域,波動方程,

6、特征值dx/dt=a，兩個(gè)實(shí)根 信息域小于半域,x,t,t,x,u,A B,-a,a,D,表：方程特征,三、方程組的數(shù)學(xué)性質(zhì)：,寫成矢量形式,其中：,1、一維非定常歐拉方程式：,2、方程組特征值,的特征方程為| |=0，即,可見，一維非定常Euler方程的三個(gè)特征值為相異實(shí)數(shù)，所以方程為雙曲型（無論是超聲速或亞聲速流動）,3、三維流體力學(xué)控制方程組的性質(zhì)列表如下：,橢圓型與雙曲或拋物型混合的方程組處理起來很困難，必須在數(shù)學(xué)上進(jìn)行討論與分析。（定解條件提法，論述求解方法、分析求解時(shí)應(yīng)注意的問題。）,單一類型方程組平衡型（橢圓型）或發(fā)展型（雙曲、拋物型）比較容易處理，分別為純邊值、初邊值問題,2.

7、2 Navier-Stokes,1、基本方程(質(zhì)量、動量、能量三大守恒),2、N-S方程組,得N-S方程組：,N-S方程組(三維，矩陣式，原始變量，非守恒),或(2.2.9a,b,c),由基本方程組和牛頓流體的附加關(guān)系：,(2.2.9b),(2.2.9c),(2.2.9a),定常N-S方程組(二維標(biāo)量式),守恒形式： 守恒變量,（2.2.11）,U,U守恒流動變量，F(xiàn)對流通量變量，G擴(kuò)散通量變量,B源項(xiàng),U三維展開,有限體積法,(2.2.13),(2.2.14),守恒積分形式： 守恒變量,N-S方程組的三種形式：,非守恒形式2.2.9a、b、c，原始變量：,微分守恒形式（CNS）2.2.11，

8、守恒變量：,控制體積表面（CVS）形式2.2.14，守恒變量：,2.3 邊界條件,對于2m階微分方程，Neumann邊界條件的階數(shù)為2m1，2m2，m,Dirichlet邊界條件的階數(shù)為m1，m2，0。這些邊界條件將在邊界表面進(jìn)行描述。相似地，對二階方程（ ），存在一個(gè)Neumann邊界條件（ ）和一個(gè)Dirichlet邊界條件（ ）。在第一章中指出，在FVM的公式推導(dǎo)過程中Neumann邊界條件“自然”實(shí)現(xiàn)?？墒窃贔DM中必須采用合適的微分方程形式將它們“人工”地實(shí)現(xiàn)。,舉例,u或,t,t,t,t,a0,a0,和,雙曲型,拋物型,橢圓型,2.4 總結(jié),偏微分方程分為橢圓，拋物和雙曲三種。N-S偏微分方程組是混合型方程組，有三種表達(dá)形式：不守恒（原始變量），適合于低速不可壓縮流體、解曲面相對平滑和連續(xù)的問題；守恒形式（CNS），研究間斷性方面是非常方便的（如震動波），它們適合于高速可壓縮流體；控制容積-表面的積分形式（CVS），有限容積法中，通過離散的內(nèi)部邊界和外部邊界表面的守恒條件得到了自動滿足。 本章的控制方程式都是基于笛卡爾坐標(biāo)系的，即流體粒