1、2.4 隨機向量及其分布,一、 聯(lián) 合 分 布 二、 邊 緣 分 布 三、 條 件 分 布,CH2,Allied Distribution,Random vectors,以 為頂點而位于左下 方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。,Distribution law,非負性 歸一性,非負性 歸一性,非負性 歸一性,Uniform Distribution,Normal Distribution,Parameter（參數(shù)）,二維正態(tài)分布圖,二維正態(tài)分布圖,二維正態(tài)分布剖面圖,Boundary Distribution,重 要 結(jié) 論,CH2,CH2,Conditional Distribution,三、條件分

2、布,CH2,練習(xí)一：設(shè)二維隨機變量 的概率密度為 求,練習(xí)二：設(shè)數(shù) 在區(qū)間（0, 1）上隨機的取值，當觀察到 時，數(shù) 在區(qū)間（ , 1）上隨機的取值。求 的概率密度 。,Independence of random variables,Equivalence,Necessary and sufficient condition,例：設(shè) 求 。,解：由題設(shè)條件知，,而且 與 相互獨立，故,CH2,練習(xí)1：設(shè)二維隨機向量 的概率密度為 求 并判斷 與 是否相互獨立。,練習(xí)2：設(shè)二維隨機向量 的概率分布為 問其中的 取什么值時 與 相互獨立？,2.6 隨機變量函數(shù)的分布,一.離散型隨機變量函數(shù)的分布

3、 二.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 三.兩個隨機變量函數(shù)的分布,CH2,Distributions of function of random variables,當 時，,練習(xí)1：設(shè) 求 的概率分布。,練習(xí)2：設(shè) 求 的概率分布。,練習(xí)3：設(shè) 求證,練習(xí)4：設(shè) ，求 的概率分布。,練習(xí)1：設(shè) 則 服從 分布。,練習(xí)3：設(shè) 且 與 相互獨立，則 服從 分布。,練習(xí)2：設(shè) 則 服從 分布。,推 廣,例2-28：設(shè)系統(tǒng) 由兩個相互獨立的子系統(tǒng) 聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用，如圖所示。設(shè) 的壽命分別為 ，其概率分布分別為 其中 且 ，是分別就以下三種情況寫出 的壽命 的概率分布。,解：（1）

4、串聯(lián)情況： 的壽命為,又由題設(shè)條件知,從而得 的分布函數(shù)為,于是 的分布密度為,注：獨立指數(shù)分布變量的最小值仍服從指數(shù)分布，可推廣至n個變量的情況。,（2）并聯(lián)情況： 的壽命,則 的分布函數(shù)為,從而 的分布密度為,（3）備用情況： 的壽命,則由卷積公式知，當 時，,于是 的分布密度為,有關(guān)正態(tài)分布的幾個結(jié)論,一維正態(tài)分布,（1） 分布的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 ，則有,（2）設(shè) 分布的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 ，則,（3） ，則,特別的，,（4） ，則,若 且相互獨立，則,（5） 且相互獨立，則,進一步，若 且相互獨立，則,二維正態(tài)分布,（1）若 ，則,（2）若 ，則,與 相互獨立 。,選擇1

5、：設(shè) 與 相互獨立且同分布：,則下式中成立的是 。,選擇2：設(shè) 的分布列為,-1 0 1,且 ，則 。,選擇3：設(shè)兩個相互獨立的 和 分別 服從 和 ，則下式中成立的是 。,分析：由條件可知,再由正態(tài)分布的性質(zhì)即可得正確答案。,填空1：設(shè)相互獨立的兩個隨機變量 具有同一分布律，且 的分布律為,0 1,1/2 1/2,則隨機變量 的分布列為 。,填空2：設(shè) 是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知 的分布律為 又設(shè) ， ，則二維隨機向量 的分布律為 。,練習(xí)：設(shè)隨機向量 的概率密度為 （1）確定常數(shù) ； （2）求 ； （3）求 ； （4）求 。,填空3：設(shè) 和 ：,則 。,CH2,練習(xí)：設(shè)隨

6、機向量 的概率密度為,（1）問 和 是否相互獨立？,（2）求 的概率密度。,討 論 課,問 題 的 提 出 某教室原有4只燈泡用于照明，現(xiàn)根據(jù)照明需要對教室進行改造，改造后用于照明的燈泡增加到24只，但改造后，教室管理人員抱怨燈泡更容易壞了，需要經(jīng)常更換燈泡，試建立模型說明管理人員的抱怨是否有道理，解釋其中的原因，并給出合理的建議。,模 型 假 設(shè),1.所有燈泡的使用壽命相互獨立； 2.燈泡的壽命服從指數(shù)分布； 3.改造前后使用的燈泡的型號相同。,模 型 求 解,結(jié) 果 分 析,改 進 建 議,1、設(shè) 的 為 則 的概率分布為 。,分析：在 的連續(xù)點， ，,只有在 的間斷點處 取值的概率才大于

7、0，且,則有,即,2、設(shè) 的概率密度為,以 表示對 的三次獨立重復(fù)觀察中事件 出現(xiàn)的次數(shù)，則 。,分析：由歸一性，易知 ，則,由題意知， ，則,3、設(shè) ，且 ，則,分析：由 ，可知,再由 ，可得 ，,從而，,4、設(shè) ， ，若 ， 則 ， 。,分析：由 ，以及 ，,可得,解得,從而可知,則,5、設(shè) ，且 ，則,分析：由題設(shè)條件可知,從而可得 ，,則,1、設(shè) ， ，記 ，則 。,對任何實數(shù) 都有 ；,對任何實數(shù) 都有 ；,對任何實數(shù) 都有 ；,僅對 的個別值有 。,分析：,2、設(shè) ，則隨著 的增大，概率,單調(diào)增加,單調(diào)減少,保持不變,增減不定,分析：,三、某種型號器件的壽命 （小時）具有以下概率密

8、度,現(xiàn)有一大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？,分析：每只器件壽命大于1500的概率為,以 表示這5件器件中壽命大于1500小時的只數(shù)，則,從而所求概率即為 ，,類似思考：設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間 （分鐘）服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要到銀行5次，以 表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出 的分布律，并求 。,五、有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過。設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0002，在某天的這段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？,分析：以 表示通過的這1000輛車中出事故的輛數(shù)，,則,即求,而由于,故可由泊松定理近似計算，直接查泊松分布表得其概率。,思考：一臺設(shè)備由三個大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2和0.3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以 表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求 的概率分布。,對比思考：一臺設(shè)備由三個大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率均為0.2，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以 表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求 的概率分布。,練習(xí)：如果在時間t（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與t成正比的泊松分布。已知在一分鐘內(nèi)