1、樂觀與悲觀的秘密,著名劇作家奧斯卡.王爾德猜測:樂觀主義者和悲觀主義者用不同的方式觀看這個(gè)世界。心理學(xué)家現(xiàn)在證實(shí)他的這一猜測是正確的。 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，悲觀主義者眼睛往下看，他們的大腦工作的更好；樂觀主義者眼睛向上看時(shí)，他們的大腦會(huì)轉(zhuǎn)的更快。,這一發(fā)現(xiàn)表明，因痛苦而引起的典型的畏怯表情確實(shí)會(huì)對(duì)人起作用，他們也許有悲觀的思想，但是如果他們抬頭向上看的話，就不會(huì)那么悲觀的思考問題了；而人老是低著頭的話，就會(huì)更加悲觀的進(jìn)行思考。 領(lǐng)導(dǎo)這一研究的北達(dá)科他州大學(xué)心理學(xué)家布賴恩.邁耶說，更重要的是，這一研究提出了診斷和治療這種憂郁情緒的新方法。,憂郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心理疾病之一，5個(gè)人中就有一個(gè)

2、人的生活受到這種情緒的影響。 在研究中，研究人員對(duì)志愿者進(jìn)行了測試，結(jié)果暗示了這種關(guān)系的來源。 邁耶說：“這一研究認(rèn)為，只需勸說這樣的人改變一下習(xí)慣，將目光稍稍抬高一點(diǎn)，就會(huì)大大減輕憂郁情緒?！?“ 得 分 問 題 ”,甲、乙兩人各出同樣的賭注，用擲,硬幣作為博奕手段 . 每擲一次，若正面朝,上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，,甲不得分. 誰先得到規(guī)定分?jǐn)?shù)就贏得全部,賭注. 當(dāng)進(jìn)行到甲還差 2分乙還差3分，就,分別達(dá)到規(guī)定分?jǐn)?shù)時(shí)，發(fā)生了意外使賭局,不能進(jìn)行下去，問如何公平分配賭注？,確定性現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象 ,每次試驗(yàn)前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果 每次試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個(gè) 在相同的條件下進(jìn)

3、行大量觀察或試 驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性 稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,1.1 隨機(jī)事件,對(duì)某事物特征進(jìn)行觀察, 統(tǒng)稱試驗(yàn).,若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn),用E表示,試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果,1.1,可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行,試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果,樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)E 所有可能的結(jié)果,樣本空間的元素, 即E 的直接結(jié)果, 稱為,隨機(jī)事件 的子集, 記為 A ,B ,它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.,組成的集合稱為樣本空間 記為,樣本點(diǎn)(or基本事件) 常記為 ， = ,其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度,觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度,觀察總機(jī)每天9:0010:

4、00接到的電話次數(shù),投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù),例1 給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間,基本事件 僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集 它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā) 生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件.,必然事件全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為, 每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件.,隨機(jī)事件發(fā)生 組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣 本點(diǎn)發(fā)生,不可能事件不包含任何樣本點(diǎn)的事件, 記為 ,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.,在一次乒乓球比賽中設(shè)立獎(jiǎng)金1千 元.比賽規(guī)定誰先勝了三盤,誰獲得全部 獎(jiǎng)金.設(shè)甲,乙二人的球技相等,現(xiàn)已打了 3盤, 甲兩勝一負(fù), 由于某種特殊的原因 必須中止比賽.問這1000元應(yīng)如何分配 才算公平?,問 題,每周

5、1題(1),1.2 概率的定義及其計(jì)算,設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m 次， 則稱 為事件A發(fā)生的頻率.,投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù),n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,頻率穩(wěn)定性的實(shí)例,蒲豐( Buffon )投幣,皮爾森( Pearson ) 投幣,例 Dewey G. 統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語單詞 中各字母出現(xiàn)的頻率, 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn) 的頻率不同：,A: 0.0788 B: 0.0

6、156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的 統(tǒng)計(jì)定義,在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次,試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一,常數(shù) p 附近擺動(dòng)

7、, 且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越,小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).,優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂,缺點(diǎn)：粗糙 模糊,不便 使用,設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間，若能 找到一個(gè)法則，使對(duì)于E 的每一事件 A 賦 于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的 概率，這種賦值滿足下面的三條公理：,非負(fù)性：,歸一性：,可列可加性：,其中 為兩兩互斥事件，,概率的 公理化定義,公理化定義,設(shè) 隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)：,基本事件的個(gè)數(shù)有限 每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生,則稱 E 為 古典(等可能)概型,古典概型中概率的計(jì)算：,記,概率的 古典定義,古典概型,設(shè)有 k 個(gè)不同的球, 每個(gè) 球等可能

8、地落入 N 個(gè)盒子中（ ）, 設(shè) 每個(gè)盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個(gè)盒子中各有一球；,（4）恰有 k 個(gè)盒子中各有一球；,（3）某指定的一個(gè)盒子沒有球；,（2）某指定的一個(gè)盒子恰有 m 個(gè)球( ),（5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中；,（6）每個(gè)盒子至多有一個(gè)球.,例2 （分房模型）,例4,解,設(shè) (1) (6)的各事件分別為,則,例3 “分房模型”的應(yīng)用,生物系二年級(jí)有 n 個(gè)人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.,解,為 n 個(gè)人的生日均不相同,這相當(dāng)于,本問題中的人可被視為“球”，365天為,365只“盒子”,若 n = 64，,每個(gè)盒子至多有一個(gè)

9、球. 由例4（6）,例5,若P(A) 0.01 , 則稱A為小概率事件.,小概率事件,一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不,會(huì)發(fā)生的. 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即實(shí)際推斷原理 ),例4 區(qū)長辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來,訪, 這些來訪都是周三或周日進(jìn)行的,是否,可以斷定接待時(shí)間是有規(guī)定的？,解 假定辦公室每天都接待，則,P( 9次來訪都在周三、日) = = 0.0000127,這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā),發(fā)生. 現(xiàn)居然發(fā)生了, 故可認(rèn)為假定不成立,從而推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.,例8,例5 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái) 報(bào)時(shí)，

10、 已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待 報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率,9點(diǎn),10點(diǎn),10分鐘,例9,幾何概型 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點(diǎn) 落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率 為,例6 設(shè)兩船到達(dá)同一碼頭的時(shí)間是 隨機(jī)的且各不相干. 兩船到達(dá)后需在 碼頭停留的時(shí)間分別是 1 與 2 小 時(shí), 試求一晝夜內(nèi), 任一船到達(dá)時(shí), 需要等 待空出碼頭的概率.,解 設(shè)船 1 與船 2 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 x 與 y ， 0 x 24 ， 0 y 24,設(shè) 事件A 表示“任一船到達(dá)時(shí)需要等 待空出碼頭”.,例10,將15 名同學(xué)(含3 名女同學(xué)), 平均分成 三組.

11、 求 (1) 每組有1 名女同學(xué)(設(shè)為事件A)的概率； (2) 3 名女同學(xué)同組(設(shè)為事件B)的概率,解,（1）,（2）,例7,例8 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)球隨機(jī)地放入 標(biāo)有1,2,3,4 的 4 個(gè)盒子中，每盒放一球， 求至少有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào) 碼一致的概率,解 設(shè) A 為所求的事件,設(shè) Ai 表示 i 號(hào)球入 i 號(hào)盒， i = 1,2,3,4,則,1.3 條件概率,引例 袋中有7只白球, 3只紅球, 白球中 有4只木球, 3只塑料球; 紅球中有2只木球, 1只塑料球. 現(xiàn)從袋中任取1球, 假設(shè)每個(gè)球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 問 它是木球的概率

12、是多少？,設(shè) A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.,1.3,所求的概率稱為在事件A 發(fā)生的條件下 事件B 發(fā)生的條件概率。記為,解 列表,設(shè)A、B為兩事件, P ( A ) 0 , 則,稱 為事件 A 發(fā)生的條件下事 件 B 發(fā)生的條件概率，記為,定義,從而有,利用條件概率求積事件的概率即乘法公式,推廣,某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時(shí)的概率 為0.8, 能用1500小時(shí)的概率為0.4 , 求已用 1000小時(shí)的燈泡能用到1500小時(shí)的概率,解 令 A 燈泡能用到1000小時(shí) B 燈泡能用到1500小時(shí),所求概率為,例1,條件概率與無條件概率 之間的大小無確定關(guān)系,若,一般

13、地,例10 為了防止意外,礦井內(nèi)同時(shí)裝有A 與B兩 兩種報(bào)警設(shè)備, 已知設(shè)備 A 單獨(dú)使用時(shí)有效 的概率為0.92, 設(shè)備 B 單獨(dú)使用時(shí)有效的概 率為0.93, 在設(shè)備 A 失效的條件下, 設(shè)備B 有 效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時(shí)至少有一個(gè) 報(bào)警設(shè)備有效的概率.,設(shè)事件 A, B 分別表示設(shè)備A, B 有效,已知,求,解,例4,解 由,即,故,解法二,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,全概率公式,A,Bayes公式,B2,每100件產(chǎn)品為一批, 已知每批產(chǎn)品中 次品數(shù)不超過4件, 每批產(chǎn)品中有 i 件 次品的概率為,從每批產(chǎn)品中不放回地取10件進(jìn)行檢驗(yàn),若 發(fā)現(xiàn)有不合格產(chǎn)品,則認(rèn)為

14、這批產(chǎn)品不合格， 否則就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格. 求 (1) 一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率 (2) 通過檢驗(yàn)的產(chǎn)品中恰有 i 件次品的概率,例11,例5,解 設(shè)一批產(chǎn)品中有 i 件次品為事件Bi , i = 0,1,4,A 為一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn),則,已知P( Bi )如表中所示，且,由全概率公式與Bayes 公式可計(jì)算P( A )與,結(jié)果如下表所示,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,i 較大時(shí)，,例12 已知袋中有5只紅球, 3只白球.從袋中 有放回地取球兩次,每次取1球.,設(shè)第 i 次,求,取得白球?yàn)槭录?Ai ( i =1,

15、2 ) .,解,1.4 事件的獨(dú)立性,1.4獨(dú)立性,事件 A1 發(fā)生與否對(duì) A2 發(fā)生的概率沒有影 響可視為事件A1與A2相互獨(dú)立,定義,設(shè) A , B 為兩事件，若,則稱事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立,例13 設(shè)每個(gè)人的血清中含肝炎病毒的概率 為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個(gè)人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 設(shè)這100 個(gè)人的血清混合液中含有肝炎 病毒為事件 A, 第 i 個(gè)人的血清中含有 肝炎病毒為事件 Ai i =1,2,100,則,例5,若Bn 表示 n 個(gè)人的血清混合液中含有肝 炎病毒，則, 不能忽視小概率事件, 小概率事件遲早要發(fā)生的概率為1。,應(yīng)用舉例 腸癌普查,設(shè)

16、事件 表示第 i 次檢查為陽性,事件B,表示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下：,某患者首次檢查反應(yīng)為陽性, 試判斷該,患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為,陽性呢？,由Bayes 公式得,首次檢查反應(yīng)為陽性 患腸癌的概率并不大,接連兩次檢查為陽性 患腸癌的可能性過半,兩次檢查反應(yīng)均為陽性,還不能斷,定患者已患腸癌.,連續(xù)三次檢查為陽性,幾乎可斷定已患腸癌,習(xí)題,某型號(hào)火炮的命中率為0.8, 現(xiàn)有一架 敵機(jī)即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率 擊中它，則需配備此型號(hào)火炮多少門？,補(bǔ)充作業(yè)題,設(shè)需配備 n 門此型號(hào)火炮 設(shè)事件 表示第 i 門火炮擊中敵機(jī),故需配備 5 門此型號(hào)火炮 .,n

17、重Bernoulli試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn) k 次的概率 記為,且,伯努利試驗(yàn),例14 袋中有3 個(gè)白球, 2個(gè)紅球,有放回取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.,解 古典概型,設(shè) B 表示4個(gè)球中恰有2個(gè)白球,例7,解二 每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn),記取得白球?yàn)槭录?A ，,有放回地取4個(gè)球看作做了 4 重 Bernoulli 試驗(yàn), 記第 i 次取得白球?yàn)槭录?Ai,感興趣的是 4 次試驗(yàn)中A 發(fā)生2次的概率,一般地，若,則,例15 八門炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一 發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目 標(biāo)就被擊毀.如果每門炮命中目標(biāo)的概率為 0.6, 求目標(biāo)被擊毀的概率.

18、,解 設(shè)一門炮擊中目標(biāo)為事件A, P(A) = 0.6,設(shè)目標(biāo)被擊毀為事件B,則,例8,某市進(jìn)行藝術(shù)體操賽, 需設(shè)立兩個(gè)裁 判組, 甲組3名,乙組1名. 但組委會(huì)只召集 到3名裁判, 由于臨近比賽, 便決定調(diào)一名 不懂行的人參加甲組工作, 其中兩裁判獨(dú) 立地以概率 p 做出正確裁定,而第三人以 擲硬幣決定, 最后根據(jù)多數(shù)人的意見決定. 乙組由 1 個(gè)人組成, 他以概率 p 做出正確 裁定. 問哪一組做出正確裁定的概率大 ?,每周一題4,問 題,解 設(shè)取出的5個(gè)數(shù)按由小到大排列為,雜例 從 1,2, ,10 十個(gè)數(shù)字中有放回地任取 5個(gè)數(shù)字, 求取出的5個(gè)數(shù)字按由小到大 排列, 中間的那個(gè)數(shù)等于 4 的概率.,附錄,附 錄,令 Ak 表示所取5個(gè)數(shù)字中恰有k 個(gè)不大于4,則,1,1,2,3,3;,1,1,2,3,4;,所取5個(gè)數(shù)字中至少有3個(gè)數(shù)字不大于4,由于,例16 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位,數(shù), 他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào), 他連撥三次，,由乘法公式,設(shè),表示“第 i 次撥通”,解,例1,求第三次才撥通的概率.,經(jīng)驗(yàn)古典方法,1. 收集實(shí)際數(shù)據(jù) 2. 在試驗(yàn)之后 3. P(A) = kn / n 重復(fù)試驗(yàn)n次 事件