1、2-0 問題的提出 2-1 控制系統(tǒng)的微分方程 2-2 傳遞函數 2-3 傳遞函數方框圖等效變換 2-4 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數,第二章 自動控制系統(tǒng)的數學模型,ST,拉氏變換定理,方框圖結束,方框圖練習（10min）,一階慣性環(huán)節(jié),控制 單元,執(zhí)行 單元,控制 對象,測量 單元,p(t),q(t),y(t),b(t),r(t),e(t),+,-,f(t),y(t)=F(r(t),f(t),為研究系統(tǒng)輸出y(t)隨時間變化的規(guī)律，以及系統(tǒng)的特性，必須研究系統(tǒng)的數學模型。,2-0 問題的提出,ST,END,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,一、基本概念： 描述物理系統(tǒng)動態(tài)特性的數學方程(用數學符號、公

2、式、圖表等刻劃客觀事物的本質屬性與內在規(guī)律）。 微分方程是描述系統(tǒng)動態(tài)過程數學模型最基本的方式 建模方法：解析法；實驗法。任何一個物理系統(tǒng)都可以用一個微分方程進行描述，控制系統(tǒng)也不例外。,ST,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,ST,SISO線性定常系統(tǒng)的微分方程一般形式為：,式中，c(t)為系統(tǒng)的輸出量，r(t)為系統(tǒng)的輸入量，a0、a1、 an 及b0、b1、 bm 均為實數, 其數值由系統(tǒng)的結構及參數決定；且nm(系統(tǒng)正則）。,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,二、數學模型的線性化,鐵心電感線圈中的磁通與電流i的關系如圖： 所以,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,線性化

3、增量方程,上式表明，經線性化處理后，電流增量與磁鏈已成為線性關系。將原方程表示成平衡點附近的增量關系：,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,上述線性化過程可看到： 1、線性化是在輸入、輸出量圍繞平衡點作小范圍變化的假設條件下進行的； 2、線性化以直線代替曲線略去臺勞級數展開中的二階以上無窮小項，是一種近似處理； 3、對一些嚴重的典型非線性，如繼電特性，間隙，摩擦特性等，不能進行求導運算，原則上不能用小偏差法進行線性化。,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,ST,微分方程舉例：,解：,例1：,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,例2.,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,例3.,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,例4：輸入

4、量：電樞電壓 ，輸出量：轉速 ，擾動：負載力矩 。,（1）直流電機微分方程：,（2）直流電機增量微分方程組：,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,（3）直流電機的微分方程式：,式中，,2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,（1）負載力矩 ，微分方程式變?yōu)椋?（2）電樞電壓不變，負載力矩 有變化，微分方程變?yōu)椋?（3）當,可以省略，微分方程式變?yōu)椋?(4)對于小型電機，,可以忽略，微分方程式變?yōu)椋?2-1 物理系統(tǒng)的運動方程式,列寫物理系統(tǒng)數學模型的方法： 確定系統(tǒng)的輸入量，輸出量，有時還有擾動量。 應用各種物理定律列寫物理系統(tǒng)的微分方程組。 將微分方程線性化，列出線性的增量微分方程組。 消去中間變量，求得輸

5、出與輸入之間關系的微分方程式。,2-2 傳遞函數,系統(tǒng)的數學模型可以用微分方程表示，但對復雜的微分方程，其求解過于困難，甚至無法求解。為此研究系統(tǒng)的復數模型，即傳遞函數。 為把實數模型轉換為復數模型，必須借助拉氏變換，即 Laplace 變換。,ST,2-2 傳遞函數,ST,拉氏變換及拉氏反變換（laplace transform) 一、拉氏變換定義：時間函數f(t) 的拉氏變換 其中 是實變量 是虛量 f(t) 稱為 F(s)的原函數 F(s) 稱為f(t)的象函數 二、簡單函數的拉氏變換 1、單位階躍函數,2-2 傳遞函數,2-2 傳遞函數,5、單位脈沖函數,2-2 傳遞函數,三、拉氏變換

6、定理 1、線性迭加,a、b為常數,2、微分定理,2-2 傳遞函數,3、積分定理,4、衰減定理,5、延時定理,2-2 傳遞函數,6、初值定理 7、終值定理,2-2 傳遞函數,四、拉氏反變換（就是由象函數求原函數）,2-2 傳遞函數,-zi.為零點， -Pi為極點,一般控制系統(tǒng)：,分之多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點,部分分式法： 1、若F(s)的分母多項式有n個單根（n個根互不相等）,2-2 傳遞函數, 、n個不同的實根 例1,解：,2-2 傳遞函數,若有共軛復根 例2,解：,2-2 傳遞函數,2、有多重根,2-2 傳遞函數,待定系數計算公式如下：,2-2 傳遞函數,例2,解：,2-2

7、 傳遞函數,五、用拉氏變換求解線性定常微分方程（Linear time-invarint system) 例：,解：將方程兩邊取拉氏變換，得：,將,代入，并整理得：,將微分方程拉氏變換為S的代數方程 求出系統(tǒng)輸出的復域解 拉氏反變換得系統(tǒng)輸出得時域解,2-2 傳遞函數,顯然用拉氏變換求解系統(tǒng)運動微分方程首先必須求得系統(tǒng)的極點。在無計算機的年代是困難的，但是人類總能找到解決問題的方法。,步驟,2-2 傳遞函數,作業(yè)：,219： 、 、221 ,傳遞函數：,2-2 傳遞函數,ST,R,C,Ui(t),UO(t),設Uo(0)=0，則,2-2 傳遞函數,ST,從以上可以看出，只要G(s)一確定，該電

8、路（環(huán)節(jié)、系統(tǒng)）的輸出與輸入之間的關系便已確定。因此，將G(s)稱為該電路（環(huán)節(jié)、系統(tǒng)）的傳遞函數。,2-2 傳遞函數,ST,傳遞函數的定義：線性定常系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，其輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,下面推導一般系統(tǒng)的傳遞函數：,2-2 傳遞函數,ST,在初始條件為零的情況下，對兩邊求拉氏變換得：,傳遞函數G(s)在復數域表征了在零初始條件下系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關系。 對于實際的系統(tǒng)，總有nm。即G(s)是復變量s的有理分式。,2-2 傳遞函數,ST,將G(s)寫成：,其中，X(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，也即對應微分方 程的特征方程； pi(i=1n)為X(s)=

9、0的根，稱為G(s)的極點； zi(i=1m)為Y(s)=0的根，稱為G(s)的零點。 如果系統(tǒng)特征方程中s的次數是n，則稱該系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。,2-2 傳遞函數,ST,傳遞函數的性質： 1）分母次數n分子次數m，慣性所致； 2）an,an-1,a1,a0 ; bm,bm-1,b1,b0取決于系統(tǒng)中各元件的參數； 3）傳遞函數反映系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)的結構和參數， 與系統(tǒng)存在的物理形式、輸 入輸出的形式以及初始條件無關； 4）傳遞函數的零極點若為復數，則必為共軛復數，成對出現； 5）傳遞函數的拉氏逆變換實際上是系統(tǒng)的理想單位脈沖響應（簡 稱脈沖響應）； 6）傳遞函數在系統(tǒng)中 起信號的傳遞

10、或轉換作用。,2-2 傳遞函數,ST,由于傳遞函數反映的是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)的結構和參數， 與系統(tǒng)存在的物理形式、輸 入輸出的形式以及初始條件無關，因此在研究控制系統(tǒng)時往往僅從系統(tǒng)的傳遞函數入手，而不去關心系統(tǒng)的結構形式。因為，對于控制系統(tǒng)，最重要的是： （1）系統(tǒng)的動態(tài)過程是否穩(wěn)定，以及穩(wěn)定程度如何； （2）系統(tǒng)是否存在靜態(tài)偏差，以及靜態(tài)偏差的大小； （3）尋找提高穩(wěn)定性和減少靜態(tài)偏差的途徑。 傳遞函數的用途： （1）求系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出量的表達式； （2）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和靜態(tài)特性。,2-2 傳遞函數,ST,傳遞函數的方框圖： 將一個環(huán)節(jié)用方框圖表示，并將其傳遞函數寫在方框中

11、，便得到該環(huán)節(jié)的傳遞函數方框圖；若用方框圖描述一個系統(tǒng)，并將系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)用傳遞函數方框圖表示，則得到該系統(tǒng)的傳遞函數方框圖。,G(s),Xi(s),XO(s),環(huán)節(jié)的傳遞函數方框圖,2-2 傳遞函數,ST,G1(s),G2(s),G3(s),G4(s),P(s),Q(s),Y(s),B(s),R(s),E(s),+,-,F(s),控制系統(tǒng)的傳遞函數方框圖,2-2 傳遞函數,ST,傳遞函數的方框圖的基本元素： （1）函數方框：方框中的傳遞函數表示該環(huán)節(jié)的動態(tài)特性，其輸出等于該環(huán)節(jié)的傳遞函數和輸入的乘積。環(huán)節(jié)的輸入會影響環(huán)節(jié)的輸出，但輸出不會影響輸入。 （2）信號線：帶箭頭的信號傳遞路線，信號線

12、上標出其攜帶的信號變量。信號傳遞具有單向性。 （3）引出點（交叉點，測量點）：信號線的分叉點。同一位置引出的信號在數值和性質方面完全相同。 （4）比較點（會合點）：對兩個以上的信號進行代數運算，其輸出等于各個輸入的代數和。,END,2-2 傳遞函數,ST,又設系統(tǒng)的輸入 x(t)=(t)，即X(s)=1,對Y(s)求拉氏逆變換得到系統(tǒng)的脈沖響應輸出y(t)。,設系統(tǒng)的傳遞函數為：,則系統(tǒng)的輸出,則,2-2 傳遞函數,ST,對Y(s)求拉氏逆變換得到系統(tǒng)的階躍響應輸出y(t)= (t) 。,那么系統(tǒng)的輸出,若nm，則在G(s)中至少出現s的一次方項。設G(s)=s,假設對系統(tǒng)輸入一個單位階躍輸入

13、x(t)=1 ，即X(s)=1/s,該系統(tǒng)在實際中不存在。,2-3 方框圖的等效變換,ST,G2(s),G1(s),G3(s),Xi(s),X1(s),X2(s),Xo(s),1.串聯方框的等效變換,2-3 方框圖的等效變換,ST,G2(s),G1(s),G3(s),Xi(s),X1(s),X2(s),Xo(s),G (s),Xi(s),Xo(s),2-3 方框圖的等效變換,ST,G2(s),Xi(s),X1(s),X2(s),Xo(s),2.并聯方框的等效變換,G (s),Xi(s),Xo(s),2-3 方框圖的等效變換,ST,G1(s),H(s),+,3.反饋連接方框的等效變換,X1(s)

14、,Xf(s),Xi(s),Xo(s),A,2-3 方框圖的等效變換,ST,G1(s),H(s),+,X1(s),Xf(s),Xi(s),Xo(s),A,G (s),Xi(s),Xo(s),反饋連接傳遞函數也稱為閉環(huán)傳遞函數；若在A點斷開，則為開環(huán)，開環(huán)傳遞函數為：,前向通道 反饋通道,2-3 方框圖的等效變換,ST,G1(s),+,Xi(s),G (s),Xi(s),Xo(s),Xo(s),若反饋通道的傳遞函數H(s)=1，則稱為單位反饋。,2-3 方框圖的等效變換,ST,4.引出點的移動,相鄰的引出點可以前后任意改變次序,A,B,B,A,2-3 方框圖的等效變換,ST,順著信號傳遞的方向跨越

15、環(huán)節(jié),乘以,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),X3(s),X1(s),X2(s),1/G(s),2-3 方框圖的等效變換,ST,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),G(s),X3(s),X1(s),X2(s),逆著信號傳遞的方向跨越環(huán)節(jié),乘以G(s),2-3 方框圖的等效變換,ST,X1(s),X2(s),X4(s),5.匯合點的移動,X3(s),X1(s),X2(s),X4(s),A,B,A,B,相鄰的匯合點可以前后任意改變次序,2-3 方框圖的等效變換,ST,乘以G(s),G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),G(s),X3(s)

16、,X1(s),X2(s),5.匯合點的移動,順著信號傳遞的方向跨越環(huán)節(jié),2-3 方框圖的等效變換,ST,乘以,逆著信號傳遞的方向跨越環(huán)節(jié),2-3 方框圖的等效變換,ST,相鄰的引出點和匯合點不可改變次序,X1(s),X2(s),A,B,X1(s),X2(s),A,B,2-3 方框圖的等效變換,ST,逆著信號傳遞的方向移動,引出點,匯合點,順著信號傳遞的方向移動,乘以 G(s),乘以,乘以,乘以 G(s),引出點和匯合點的移動原則：保持移動前后的信息總量不變。,2-3 方框圖的等效變換,ST,G2,G3,G1,H1,H2/G1,_,Xi(s),Xo(s),_,練習1：,2-3 方框圖的等效變換,

17、ST,G2,G3,G1,H1,H2/G1,_,Xi(s),Xo(s),_,G3,H2/G1,_,Xi(s),Xo(s),_,G1G2,1G1G2H1,2-3 方框圖的等效變換,ST,_,Xi(s),Xo(s),G1G2G3,1G1G2H1 G2G3H2,G1G2G3,1G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3,Xi(s),Xo(s),2-3 方框圖的等效變換,ST,G2(s),G3(s),G4(s),G5(s),+,+,_,G6(s),X(s),Y(s),練習2：,解：,2-3 方框圖的等效變換,例：試建立圖示機械系統(tǒng)的方框圖(或結構圖)。,2-3 方框圖的等效變換,2-4 自動控制系統(tǒng)的傳遞

18、函數,自動控制系統(tǒng)在工作過程中會受到外加信號的作用，其中一種信號是控制信號或輸入信號；另一種是干擾信號或擾動信號。輸入信號加在系統(tǒng)的輸入端，而干擾信號多作用于受控對象。一個典型的閉環(huán)自動控制系統(tǒng)的結構如下圖所示：,2-4 自動控制系統(tǒng)的傳遞函數,一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的概念 如將圖中H(s)的輸出通路斷開, 即斷開系統(tǒng)的主反饋通路, 這時前向通路傳遞函數與反饋通路傳遞函數的乘積G1(s) G2(s) H(s), 就稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。,二、系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的概念,1、 r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數： 令n(t)=0，則輸出c(t)與輸入r (t)之間的傳遞函數稱為系統(tǒng)在r(t)作用下的閉環(huán)傳

19、遞函數。,2-4 自動控制系統(tǒng)的傳遞函數,三、系統(tǒng)的總輸出：,根據線性系統(tǒng)的疊加原理，可知系統(tǒng)的總輸出為,2、 n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數： 令 r(t)=0，則輸出c(t)與干擾 n(t)之間的傳遞函數稱為系統(tǒng)在 n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數。,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,1.比例環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)的輸出隨輸入成比例變化 xo(t)=kxi(t) 其傳遞函數為：,任何復雜的控制系統(tǒng)都是由最基本的典型環(huán)節(jié)所組成的。,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,（1）彈性元件：位移隨外力大小成比例變化，比例系數取決 于元件的彈性大小。與輸入輸出無關。,片簧,金屬膜片,波汶管,F,F,P,2-5 典型環(huán)節(jié)的

20、傳遞函數,ST,（2）節(jié)流元件：前后壓力差的大小隨氣流量成比例變化，比 例系數取決于氣阻大小。與輸入輸出 無關。,p (t)=Rq (t),G (s)=P (s)/ Q(s) = R,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,（3）噴嘴擋板機構：輸出壓力隨噴嘴擋板的開度成比例變化,恒節(jié)流孔,背 壓 室,噴 嘴,擋 板,噴嘴擋板機構結構示意圖,氣源,輸出,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,0.10MPa,0.02MPa,10,22,h(um),MPa,噴嘴擋板機構的靜特性,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,（4）放大器：對輸入信號成比例放大,氣源,輸出,輸入,氣動功率放大器,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,

21、ST,I,II,III,S,P輸入F,P0,Pa,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,電動功率放大器,R1,Rf,u0,ui,i,i,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,2.積分環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)的輸出與輸入對時間的積分成比例。,若k=1, 則,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,q,p,輸入量為氣體流量，輸出量為氣容氣壓,（1）氣容,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,C,uo,i,輸入量為電流，輸出量為電容兩端的電壓,（2）阻容電路,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,輸入量為電壓，輸出量也為電壓,（3）運放電路,ui,C,+,uo,i,i,R1,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,（4）f ig. 2-35,ui,C,+,_,uo,i,i,R1,R2,2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,（5）積分環(huán)節(jié)的階躍響應,設 ui(t)=1,則,Ui(s)=1/s,t,u(t),2-5 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數,ST,3. 一階慣性環(huán)節(jié)： 輸入突變時，輸出的變化滯后于輸入的變化，并按一定的規(guī)律趨近于輸入值。,2-