1、第三章 力偶系,本章研究力偶的性質(zhì)及力偶的合成與平衡問題,31 力對點之矩矢,靜力學,一、平面中力對點的矩 力對點的矩為一代數(shù)量,它的大小為力F的大小與力 臂d的乘積,它的正負號表示力矩在平面上的轉(zhuǎn)向。,轉(zhuǎn)動中心O_稱為矩心 d_稱為力臂,d,以扳手擰螺母為例說明力對點之矩的概念：,F,o, 是代數(shù)量。,當F=0或d=0時， =0。, 是影響轉(zhuǎn)動的獨立因素。, =2AOB=Fd ,2倍形面積。,靜力學,說明：, F,d轉(zhuǎn)動效應(yīng)明顯。, 力對點的矩的國際單位Nm，kNm。,二、力對點的矩矢,力F對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于以下三個要素：,1.轉(zhuǎn)動效應(yīng)的強度：Fh,2.轉(zhuǎn)動軸的方位：即力F的作用線與距心

2、O所決定的平面的法線方位,3.轉(zhuǎn)向：即使剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的方向,決定力F對剛體繞某點的轉(zhuǎn)動效應(yīng)的三個要素完全可用一個矢量來表 示。,矢量的大小等于力和力臂的乘積Fh,矢量的方位即轉(zhuǎn)軸的方向,矢量的指向根據(jù)右手規(guī)則由力F繞轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)動的方向確定,這個矢量稱力對點之矩矢，用符號MO(F)表示,1 力對點的矩矢定義,1）力對點的矩矢的矢量積表示,MO(F)=r xF,力對點的矩矢的矢量積,矢量積的模,即：力F與力臂h 的乘積,由于力矩矢大小和方向都與矩心O位置有關(guān),其始端只能在矩心,不能隨意移動,這種矢稱定位矢量,2.力對點的矩矢的矢量積表示和解析式表示,1）力對點的矩矢的矢量積表示,MO(F)=r x

3、F,力對點的矩矢的矢量積,矢量積的模,即：力F與力臂h 的乘積,由于力矩矢大小和方向都與矩心O位置有關(guān),其始端只能在矩心,不能隨意移動,這種矢稱定位矢量,力對點O的矩 在三個坐標軸上的投影為,則,力矩矢的解析表達式,2）力對點的矩矢的解析式表示,而,0,3）力對點的矩矢的基本性質(zhì),力對點的矩矢服從矢量的合成法則作用于剛體上的二力對剛體產(chǎn)生的繞任一點轉(zhuǎn)動效應(yīng)，可以用該點的一個矩矢來度量，這矩矢等于二力分別對該點之矩矢的矢量和,MO= MO(F1)+ MO(F2）,0,合力矩定理_合力對任一點之矩矢， 等于各分力對同一點之矩矢的矢量和。,推廣,MO= MO(F1)+ MO(F2）+ MO(Fn）,

4、對平面力系,各力對平面內(nèi)任一點之矩是代數(shù)量，合力矩定理為：,MO(FR) =MO(Fi),例 題 1,圖示A點坐標 和 均已知，求力F對o點的力矩。,例2 一輪在輪軸處受一切向力的作用，如圖所示。已知F、R、r和。試求此力對輪與地面接觸點A的力矩。,解 由于力F對矩心A的力臂未標明且不易求出，故將F在B點分解為正交的Fx、Fy，再應(yīng)用合力矩定理，有,下一頁,上一頁,Fx,Fy,MA(F)= MA(Fx)+MA(Fy),C,MA(Fx)= -FxCA=-Fx(OA-OC)=-Fcos(R-rcos),MA(Fy)= FyCB=Fr sin2,MA(F )=-Fcos(R-rcos)+Frsin2

5、=F(r-Rcos),返回首頁,退出,32 力對軸的矩,力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該 軸的矩為零.,一、定義：,力對軸之矩描述力使得剛體繞軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng),由經(jīng)驗可知，（a)(b)(c) 三種情況力F都不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動，第四種情況只有分力Fxy才對門有繞z軸的轉(zhuǎn)動作用。,（D）,結(jié)論：,即：從z軸的正端看，如果力使得剛體繞軸逆時針轉(zhuǎn)動，則為正；反之為負。,力對軸之矩的定義:力對軸之矩是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動效果的度量, 其絕對值等于此力在與該軸相垂直平面上的投影對該軸與此平面的交點之矩。,Mz(F)= MO(Fxy)=Fxy d,例1.力F作用在邊長為a的立方體上如圖所示.求力F對

6、X、Y、Z軸之矩.,例2:已知單位立方體,作用有如圖示空間力系,F1、 F2、 F3已知，求各力分別對三坐標軸上的矩.,設(shè)有一空間力系F1 ，F(xiàn)2 ， ，F(xiàn)n ，其合力為FR，則可證明合力對某軸之矩等于其各分力對同一軸之矩的代數(shù)和?？蓪懗?Mz(FR)= Mz(FRx) + Mz(FRy) + Mz(FRz),二、合力矩定理,返回首頁,下一頁,上一頁,計算圖所示手搖曲柄上力F對x、y、z軸之矩。已知F=100N，且力F平行于Axz平面，=60，AB=0.2m，BC=0.4m，CD=0.15m，A、B、C、D處于同一水平面上。,z,A,解 力F為平行于Axz平面,例1：,F,y,Mx(F)=-F

7、z(AB+CD)=-100Nsin600.35m =-30.31Nm My(F)=-FzBC=-100Nsin600.4m=-34.64Nm Mz(F)=-Fx(AB+CD)=-100Ncos600.35m=-17.50Nm,Fy=0；,Fx=Fcos ； Fz=-Fsin,x,B,C,D,x,F,z,返回首頁,下一頁,上一頁,退出,合力矩定理應(yīng)用舉例1：,=,例2.設(shè)曲桿OABD位于同一平面內(nèi),且OA垂直于AB, AB垂直于BD ,如圖所示.在曲桿D點上作用一力P,其大小為 p=2kN.力P位于垂直于BD的平面內(nèi),且與豎直線成夾角 = 30o .求力P分別對圖示直角坐標軸的矩.,P,解:(1

8、)根據(jù)力對軸的矩的定義計算,o,Pyz,作和x軸垂直的平面M1.,找出交點O.,確定力P在平面 M1內(nèi)的投影 Pyz=1.732 kN.,在平面M1內(nèi)確定 力Pyz到矩心O的距 離即力臂d1=8cm,計算力Pyz對點A的矩亦即力P對x軸的矩,mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kNcm,作和y軸垂直的平面M2.,P,確定力P在平面M2 內(nèi)的投影Pxz=P=1kN.,在平面M2內(nèi)確定 力Pxz到矩心O的距 離即力臂d2=3.464cm,計算力Pxz對點A的矩亦即力P對y軸的矩,my(P) = mo(Pxz) = - Pxz d2 = -6.928 kNcm,P

9、,亦可用合力矩定理計算:,my(P) = mo(Pz) = - Pz d = -6.928 kNcm,找出交點O.,o,P,作和z軸垂直的平面M3.,o,找出交點O.,確定力P在平面M3 內(nèi)的投影Pxy=1kN.,在平面M3內(nèi)確定 力P到矩心O的距 離即力臂d3=8cm,計算力Pxy對點O的矩亦即力P對z軸的矩,mz(P) = mo(Pxy) = - Pxy d2 = -8 kNcm,Pxy,一.力偶和力偶矩,1.力偶的概念,由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作,33 力偶矩矢,力偶矩矢量M,力偶對任意點O的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可用一矩矢M來度量，它等于這個力系中的兩個力對該點之矩

10、矢的矢量和,M = MO(F) + MO(F) = rAF + rBF = rAF - rB F =( rA - rB ) F = rBA F,M = MO(F) + MO(F) = rAF + rBF = rAF - rB F =( rA - rB ) F = rBA F,力偶矩矢與點O位 置無關(guān)，是自由矢量，其方向亦可由右手法則確定,力偶矩矢量,力偶矩矢對物體的作用效應(yīng)取決于下列三要素：,a.大?。毫εc力偶臂乘積,b.方位：沿力偶作用面的法線,平面力偶矩,力偶中兩力所在平面稱_力偶作用面,力偶的兩力之間的垂直距離稱_力偶臂,2.力偶矩矢,力偶矩：力偶矩是一個代數(shù)量,它的大小為力F的大小與力

11、偶臂d的乘積,它的正負號表示力偶在平面上的轉(zhuǎn)向。 力偶矩正負號規(guī)定：以逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之則為負,力偶使靜止剛體轉(zhuǎn)動的方向稱_力偶的轉(zhuǎn)向,力偶矩的國際單位：Nm，kNm。,c. 轉(zhuǎn)向：按右手法則確定，表示力偶的轉(zhuǎn)向,二力偶的等效條件是它們的力偶矩矢相等,性質(zhì)1 力偶在任意坐標軸上的投影之和為零，故力偶無合力， 一個力偶不能與一個力等效，也不能用一個力來平衡,力偶只能 與力偶等效。,性質(zhì)2 力偶對力偶平面內(nèi)任意點取矩恒等于力偶矩，不因矩心的改變而改變.,力對剛體的作用效應(yīng)或產(chǎn)生平移效應(yīng)（當力的作用線通過剛體的質(zhì)心）或同時產(chǎn)生平移和轉(zhuǎn)動效應(yīng)，力偶則產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng),二. 力偶的等效條件與力偶的性質(zhì),結(jié)

12、論：力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。,下一頁,上一頁,返回首頁,性質(zhì)3.只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，或移到另一平行平面，且可以同時改變力偶中力的大小與力臂的長短，對剛體的作用效果不變,=,=,=,證明：,=,=,=,=,35 力偶系的合成,F1=F1=M1/d F2=F2=M2/d,F2,B,A,F1,F2,F1,d,FR,FR,M=FRd=(F1-F2)d = M1+M2,若在剛體上有若干力偶作用，采用上述方法疊加，可得合力偶矩為,MM1+ M2+ Mn=M,（1-11）,平面力偶系可合成為一合力偶，合力偶矩為各分力偶矩的代數(shù)和稱平面力偶系的

13、合力偶矩定理,平面力偶系平衡充要條件,一 平面力偶系的合成,推廣,二 空間力偶系的合成,F1,M,M1,M2,合力偶（F,F）的力偶距矢為,M=rBAxF =rBAx(F3+F4) =rBAxF3+ rBAxF4 =M1+ M2,二力偶可合成為一合力偶，合力偶的合力偶矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和。,若在剛體上有若干力偶作用，采用上述方法疊加，可得合力偶矩為,MRM1+ M2+ Mn=M,力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各分力偶力偶矩矢的矢量和稱力偶系的合力偶矩定理,推廣,針對平面力偶系，合力偶矩為各分力偶矩 的代數(shù)和稱平面力偶系的合力偶矩定理,合力偶矩的大小：,合力偶

14、矩的方向：,36 力偶系的平衡條件,力偶系作用下剛體平衡的必要充分條件是 合力偶矩矢等于零，即力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。,解析式,力偶系各力偶矩矢分別在三 坐標軸投影的代數(shù)和等于零 力偶作用下剛體的平衡方程,針對平面力偶系，,力偶系各力偶矩的代數(shù)和等于零,靜力學,例1 在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直 徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩和A 、B端約束力?,解: 各力偶的合力偶距為,由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力NA與力NB組成一力偶。,根據(jù)平面力偶系平衡方程有:,例 題 2,橫梁AB長l，A端用鉸鏈桿支撐，B端為鉸支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩為M，如圖所示。不計梁和支桿的自重，求A和B端的約束力。,例3 圖示連桿機構(gòu)，,求：M2和AB桿受力。,M2,M1,O1,B,A,O,解：先分析AB桿,M1,O,A,再分析O1B桿,M2,O1,B,為二力桿，假設(shè)受拉力。,則OA桿受力圖為,已知: 結(jié)構(gòu)受力如圖所示,圖中M, r均為已知,且l=2r. 試: 畫出AB和BDC桿的受力圖; 求A,C二處的約束力.,受力分析: 1. AB桿為二力桿; 2. BDC桿的B 、C 二處