1、第二章 有限元法的基本原理,機械與汽車工程學(xué)院 School of Mechanical and Automobile Engineering,2-1 彈性力學(xué)中的幾個基本概念,按照外力作用的不同分布方式，可分為體積力和表面力，分別簡稱體力和面力。,（2）性質(zhì)：一般情況下,體力隨點的位置不同而不同，體力是連續(xù)分布的。,（一）外力,1.體力,（1）定義：所謂體力是分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力。,（3）體力集度：,體力的平均集度為：,P點所受體力的集度為：,的方向就是 的極限方向。,z,x,y,O,圖1-2,（4）體力分量：,將f 沿三個坐標軸分解，可得到三個正交的分力：,fx、fy、fz

2、 稱為物體在P點的體力分量，其方向與坐標軸正向相同時為正，因次是力長度-3。（N/m3）,z,x,y,V,O,P,圖1-2,2. 面力,上面力的平均集度為：,（3）面力集度：,x,y,z,圖1-3,（2）性質(zhì)：一般情況下,面力一般是物體表面點的位置坐標的函數(shù)。,（1）定義：分布在物體表面上的力。如流體壓力和接觸力。,P點所受面力的集度為：,（4）面力分量：,x,y,z,P,S,圖1-3,P點的面力分量為 、 、 ，其方向與坐標軸正向相同時為正，因次是力長度-2。 （N/m2）,（二）應(yīng)力,2.性質(zhì)：在物體內(nèi)的同一點，不同截面上的應(yīng)力是不同的。,1.定義：物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生

3、附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分，其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力系的合力。單位面積上的分布力即為應(yīng)力。如圖14所示。,A面積上的內(nèi)力的平均集度為：,3.應(yīng)力集度：,P點的應(yīng)力為：,因次是力長度-2。,x,y,z,A,B,P,o,A,圖1-4,4.應(yīng)力分量,在略去體力和高階微量的情況下，相互平行的面上的應(yīng)力大小相等，方向相反。,（1）為了分析一點的應(yīng)力狀態(tài)，在這一點從物體內(nèi)取出一個微小的正平行六面體，各面上的應(yīng)力沿坐標軸的分量稱為應(yīng)力分量。,應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)，不是一般的矢量，而是二階張量。,（2）應(yīng)力

4、標注：,圖示單元體右側(cè)面的法線為y,稱為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。 正應(yīng)力記為y , 其下標表示所沿坐標軸的方向。,平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用 、 表示，其第一下標y表示所在的平面，第二下標x、z分別表示沿坐標軸的具體方向。,（2）應(yīng)力標注：,其它面上的應(yīng)力分量的表示如圖17所示。,圖17,截面的外法線,截面的外法線,正面,負面,正面上的應(yīng)力沿坐標正向或負面上的應(yīng)力沿坐標負向為正。,口訣：正面正向或負面負向的應(yīng)力為正。,圖17,正面:截面的外法線方向和坐標軸正向一致,反之為負面。,正負規(guī)定:,例：應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試分別畫出正面和負面上的正應(yīng)力和正的面

5、力的方向。,彈性力學(xué),材料力學(xué),圖1-8,（3）注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料力學(xué)是有區(qū)別的。在圖18中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的符號是不同的，順時針轉(zhuǎn)動為正。,注意：,（4） 切應(yīng)力互等定理,過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的切應(yīng)力分量,則兩個面上的這兩個切應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。,應(yīng)力用矩陣表示：,共六個應(yīng)力分量。,?,（三）形變（應(yīng)變）,形變就是形狀的改變。物體的形變可以歸結(jié)為長度的改變和角度的改變。,1.線應(yīng)變：圖1-9中線段PA、PB、PC每單位長度的伸縮，即單位伸縮或相對伸縮，稱為線應(yīng)變。分別用 、 、 表示。,應(yīng)變的正負：,2.切應(yīng)變：圖1

6、-9中線段PA、PB、PC之間的直角的改變，用弧度表示，稱為切應(yīng)變。分別用 、 、 表示。,共六個形變分量。,線應(yīng)變和切應(yīng)變都是量綱為1的量,（2）物體內(nèi)各點之間有相對位移，因而物體產(chǎn)生了變形。彈性力學(xué)中主要研究物體由變形而引起的位移。,（1）整個物體像一個剛體一樣運動所引起的位移，包括平移、轉(zhuǎn)動、平面運動等。這種位移并不使物體的形狀、質(zhì)點間的相對距離發(fā)生變化。（剛體位移）,1.當物體各點發(fā)生位置改變時，一般認為是由兩種性質(zhì)的位移組成：,（四）位移,位移：物體變形時各點位置的改變量稱為位移,2.位移的表示方法,物體內(nèi)任意一點的位移，用它在x 、y 、z 軸上的投影 u 、v 、w 來表示，以沿

7、坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。這三個投影稱為該點的位移分量。,彈性力學(xué)問題：,已知外力、物體的形狀和大?。òㄟ吔纾?、材料特性（E、）、約束條件等，求解應(yīng)力、形變、位移共15個未知量。,（五）斜截面上的應(yīng)力,已知彈性體內(nèi)任一點P 處的應(yīng)力分量 ，求經(jīng)過該點任意斜截面上的應(yīng)力。為此在P點附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并與經(jīng)過P點而垂直于x軸和y軸的兩個平面畫出一個微小的三角板或三棱柱PAB。當平面AB與P點無限接近時，平面AB上的平均應(yīng)力就成為上述斜截面上的應(yīng)力。,設(shè)AB面在xy平面內(nèi)的長度為ds，厚度為1個單位。N為該面的外法線方向，設(shè)其方向余弦分別為：,將x、y軸分別放在兩個主應(yīng)

8、力的方向,小結(jié)：,平面問題的應(yīng)力邊界條件,（1）斜面上的應(yīng)力,表明：1 與 2 互相垂直。,（2）一點的主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最大最小應(yīng)力,max、 min 的方向與1 （ 2 ）成45。,工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。 根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍。 基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。 超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究范圍。,2-2 彈性力學(xué)的基本假設(shè),1. 連續(xù)性假設(shè),假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任

9、何空隙。 變形后仍然保持連續(xù)性。 根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。 微觀上這個假設(shè)不成立宏觀假設(shè)。,2. 均勻性假設(shè),假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。 物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。 工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。 對于環(huán)氧樹脂基玻璃纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。,3. 各向同性假設(shè),假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標方向的改變而變化。 當然，像木材、竹

10、子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。 這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。,4. 完全彈性假設(shè),對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，外力消失后能夠恢復(fù)原形，稱為完全彈性。 完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。 研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。,5. 小變形假設(shè),假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。 在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。 忽略位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階微量，使基本方程成為線性的偏

11、微分方程組。,假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。 彈性力學(xué)求解的應(yīng)力、位移僅僅是外力、邊界約束或溫度改變而產(chǎn)生的。,6. 無初始應(yīng)力假設(shè),基本量和基本方程的矩陣表示,采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。 本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式。,體力 面力 位移函數(shù) 應(yīng)變 應(yīng)力 結(jié)點位移列陣 結(jié)點力列陣,基本物理量：,物理方程 其中D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是,FEM中應(yīng)用的方程：,幾何方程,幾何方程-位移與應(yīng)變之間的關(guān)系,-幾何方程,2-3 彈性力學(xué)的基本方程 主要是描述應(yīng)力、應(yīng)變、位移及外力間的相互關(guān)系 1、平衡方程 （應(yīng)力間的關(guān)系）,2、

12、幾何方程（應(yīng)變與位移的關(guān)系）,3、物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系）,彈性矩陣,未知數(shù) 應(yīng)力 6個+應(yīng)變 6個+位移 3個=15個 方程個數(shù) 平衡方程 3個+幾何方程6個+物理方程6個=15個 原則上可以根據(jù)15個方程求出15個未知物理量 但實際求解時先求出一部分再通過方程求解剩下的 目前有限元法主要采用的是位移法，以三個位移分量為基本未知量,4.邊界條件,當物體處于平衡狀態(tài)時，其內(nèi)部各點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡微分方程，在邊界上應(yīng)滿足邊界條件。,一、位移邊界條件,按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。,當邊界上已知位移時，應(yīng)建立物體邊界上點的位移與給定位移相

13、等的條件。如令給定位移的邊界為 ，則有（在 上）：,其中 和 表示邊界上的位移分量，而 和 在邊界上是坐標的已知函數(shù)。,二、應(yīng)力邊界條件,當物體的邊界上給定面力時，則物體邊界上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的平衡條件。,其中 和 為面力分量， 、 、 、 為邊界上的應(yīng)力分量。,三、混合邊界條件,1.物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分邊界上則具有已知面力。則兩部分邊界上分別有應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。如圖，懸臂梁左端面有位移邊界條件：,上下面有應(yīng)力邊界條件：,右端面有應(yīng)力邊界條件：,2.在同一邊界上，既有應(yīng)力邊界條件又有位移邊界條件。,如右圖齒槽邊界條件：,如左圖連桿支撐

14、邊界條件：,例1 如圖所示，試寫出其邊界條件。,(1),(2),q,（4）,(3),練習(xí)1 圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。,上側(cè)：,下側(cè)：,固定端略。,圣維南原理,一、圣維南原理（局部影響原理）,如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。,二、舉例,設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P ，如圖2-9a。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，如圖2-9b或2-9c，只有虛線劃出部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響是可以不計的。,(

15、a),(b),(c),如果再將兩端的拉力變換為均勻分布的拉力，集度等于P/A ，其中A 為桿件的橫截面面積，如圖2-9d，仍然只有靠近兩端部分的應(yīng)力受到顯著的影響。,(a),(b),(c),如果將右端完全固定，如圖2-9e，仍然只有靠近兩端部分的應(yīng)力受到顯著的影響。,圖2-9,(a),(b),(c),(d),(e),在上述五種情況下，離開兩端較遠的部分的應(yīng)力分布，并沒有顯著的差別。,注意：,應(yīng)用圣維南原理，絕不能離開“靜力等效”的條件。,圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： 如圖，考慮 小邊界，, 精確的應(yīng)力邊界條件,上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。,

16、積分的應(yīng)力邊界條件 在小邊界x=l上，用下列條件代替上式 的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量Fx,Fy= 面力的主矢量（給定) 應(yīng)力的主矩(M)= 面力的主矩（給定）,數(shù)值相等 方向一致,(b),具體列出以下三個積分條件：,例2 試列出圖中的邊界條件。,(a),(a)在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列邊界條件：,解:,在小邊界x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當板厚 時，,在小邊界x = l，當平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，三個積分的邊界條件必然滿足，暫時可以不寫。,虛位移原理 1、虛功與虛應(yīng)變能 彈性體在外力作用下變形，外力對彈性體做功，所做的功以應(yīng)變能的形式儲存于彈性體中。 虛位移 定義：在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體可能發(fā)生的 任意微小位移。 虛位移與時間及外載荷無關(guān) 實際位移是在外載荷作用下可能的虛位移,彈性體在平衡狀態(tài)下發(fā)生虛位移 1）外力所做的虛功為： 2）應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功，也就是存儲在彈性 體內(nèi)的虛應(yīng)變能為：,2、虛位移原理 表述：如果在虛位移