1、第五節(jié) 晶體的對稱性,本節(jié)主要內容:,1.5.1 對稱性與對稱操作,1.5.2 晶系和布拉維原胞,1.5.1 對稱性與對稱操作,對稱操作所依賴的幾何要素。,1.對稱操作與線性變換,經過某一對稱操作，把晶體中任一點 變?yōu)?可以用線性變換來表示。,1.5 晶體的對稱性,對稱性：,經過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。,對稱操作：,使晶體自身重合的動作。,對稱素：,操作前后，兩點間的距離保持不變，,O點和X點間距與O點和 點間距相等。,I為單位矩陣，即：,或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式 。,2.簡單對稱操作(旋轉對稱、中心反映、鏡象、旋轉反演對稱),(1)旋轉對稱(Cn,對稱素為線),若晶體繞某

2、一固定軸轉 以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉對稱軸。,下面我們計算與轉動對應的變換矩陣。,當OX繞Ox1轉動角度時，圖中,若OX在Ox2x3平面上投影的長度為R，則,晶體中允許有幾度旋轉對稱軸呢?,設B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個格點。,若晶體繞通過格點A并垂直于紙面的u軸順時針轉角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點B也有一轉軸u。,是 的整數倍，,相反若逆時針轉 角后能自身重合，則,是 的整數倍，,晶體中允許的旋轉對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。,綜合上述證明得：,正五邊形沿豎直軸每旋轉720恢復原狀，但它不能重復排列充滿一個平面而不出

3、現空隙。因此晶體的旋轉對稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉對稱軸。,(2)中心反映(i，對稱素為點),取中心為原點，經過中心反映后，圖形中任一點,變?yōu)?(3)鏡象(m，對稱素為面),如以x3=0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點,變?yōu)?(4)旋轉-反演對稱,若晶體繞某一固定軸轉 以后，再經過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉-反演對稱軸。,旋轉-反演對稱軸也只能有1，2，3，4，6度軸。,旋轉-反演對稱軸用 表示。,旋轉-反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：,正四面體既無四度軸也無對稱心,1，2，3，4，6 度旋轉對稱操作。,1，2，3，4，6度旋轉反演對稱操

4、作。,(3)中心反映：i。,(4)鏡象反映：m。,C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號表示）,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）,點對稱操作：,(2)旋轉反演對稱操作：,(1)旋轉對稱操作：,獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,舉例：立方體對稱性,(1)立方軸C4：,3個立方軸；,4個3度軸；,(2)體對角線C3：,(3)面對角線C2：,6個2度軸；,與4度軸正交的對稱面,與2度軸正交的對稱面,總結：所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個群，每個操作都是群

5、的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、鏡象和旋轉-反演點對稱操作構成的群，稱作點群。,理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有32種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現為晶體外形的對稱及物理性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。,如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。,（5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期， l是小于n的整數。 n只能取1、2、3、4、6。,（6）滑移反映面：若經過某面進行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個方向平移T/n后，晶體能自身重合，

6、則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4。,點對稱操作加上平移操作構成空間群。全部晶體構有230種空間群，即有230種對稱類型。,1.5.2 晶系和布拉維原胞,根據不同的點對稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉維晶格。,7大晶系的特征及布拉維晶格如下所述：,1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,簡單三斜(1),簡單單斜(2),底心單斜(3),三角(4),4.正交晶系：,簡單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8),5.四角系： (正方晶系),簡單四角(9)，體心四角(10),6.六角晶系：,六角(11),7.立方晶系：,簡立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14),簡單三斜(1),簡單單斜(2),底心單斜(3),1.三斜晶系：,2.單斜晶系：,3.三角晶系：,三角(4),4.正交晶系：,簡單正交(5),底心正交