1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講 二維隨機變量,2,第三章 多維隨機變量及其分布,3.1 二維隨機變量 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 相互獨立的隨機變量 3.5 兩個隨機變量的函數(shù)的分布,3,圖示,3.1 二維隨機變量,4,一、多維隨機變量,1.定義 將n個隨機變量X1，X2，.,Xn構(gòu)成一個n維向量 (X1,X2,.,Xn)稱為n維隨機變量。,一維隨機變量XR1上的隨機點坐標(biāo) 二維隨機變量(X,Y)R2上的隨機點坐標(biāo) n維隨機變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機點坐標(biāo) 多維隨機變量的研究方法也與一維類似， 用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律,5,實例1 炮彈的彈著點的位置 (

2、 X, Y ) 就是一個二維隨機變量.,二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與 X、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.,實例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機變量 ( H, W ).,說明,6,幾何意義：分布函數(shù)F( x0,y0)表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：,設(shè)(X, Y)是二維隨機變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy 為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,二. 聯(lián)合分布函數(shù),7,對于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則

3、 Px1X x2， y1Yy2 F(x2, y2)F(x2, y1) F (x1, y2)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),8,分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：,且,(1)歸一性 對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)單調(diào)不減 對任意y R, 當(dāng)x1x2時， F(x1, y) F(x2 , y)； 對任意x R, 當(dāng)y1y2時， F(x, y1) F(x , y2).,9,(3)右連續(xù) 對任意xR, yR,(4)矩形不等式 對于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),

4、F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)。,10,例1.已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P0X2,0Y3,解:,11,三.聯(lián)合分布律,若二維隨機變量(X, Y)只能取至多可列對值(xi, yj), (i, j1, 2, )，則稱(X, Y)為二維離散型隨機變量。 稱 PXxi, Y yj, pij , (i, j1, 2, )，為二維離散型隨機變量(X, Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律.可記為 (X, Y)

5、PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，,12,X Y y1 y2 yj p11 p12 . p1j . p21 p22 . p2j . pi1 pi2 . pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,聯(lián)合分布律的性質(zhì) (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),x1 x2 xi,二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:,13,例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只紅球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù). (1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率,解 (1)X所有可能取的不同值為0,1,2; Y所有可能取的不同值為0,1,2.

6、 (X,Y)的分布律為,14,分布律也可寫成以下表格的形式.,15,(2),16,四.二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù),1、定義 對于二維隨機變量(X, Y)，若存在一個非負函數(shù)f (x, y)，使對(x, y)R2， 其分布函數(shù),則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為 (X, Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2,17,2、聯(lián)合密度f(x, y)的性質(zhì) (1)非負性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)歸一性：,反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)f (x, y)，必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密

7、度函數(shù)。,18,(4)對于任意平面區(qū)域G R2,(3)若f (x, y)在(x, y)R2處連續(xù)，則有,此外，f (x, y)還有下述性質(zhì),19,求：(1)常數(shù)A；(2) F(1,1)； (3)(X,Y)落在三角形區(qū)域 D:x0,y0,2x+3y6 內(nèi)的概率。,例3. 設(shè),解 (1) 由歸一性,20,(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x0, y0, 2X+3y6 內(nèi)的概率。,解,21,3. 兩個常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布* 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為 則稱(X, Y)在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布。,易見，若 (X, Y) 在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布, 對D內(nèi)

8、任意區(qū)域G, 有,22,例4.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求PY2X ； (3)求F(0.5,0.5),解:,23,24,其中, 1、2為實數(shù), 10, 20, |1，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為1, 2, 1, 2, 的二維正態(tài)分布, 可記為,(2)二維正態(tài)分布 若二維隨機變量(X, Y)的密度函數(shù)為,25,求:（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,例5:隨機變量（X，Y）的概率密度為,x,y,D,答: PX0=0,26,第三章 多維隨機變量及其分布,3.1 二維隨機變量 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 相互獨立的隨機變

9、量 3.5 兩個隨機變量的函數(shù)的分布,27,稱為二維隨機變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).,3.2 邊緣分布一、邊緣分布函數(shù),稱為二維隨機變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；,邊緣分布實際上是高維隨機變量的某個(某些)低維分量的分布。,28,例1. 已知(X,Y)的分布函數(shù)為,求 FX(x) 與 FY(y)。,解：FX(x)=F(x,)=,FY(y)=F(,y)=,29,為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。,二、邊緣分布律,若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 則稱 為(X, Y)關(guān)于X的邊緣

10、分布律；,30,31,例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的邊緣分布律。 xy 1 0 11/103/10 0 3/10 3/10,解： xy10pi. 11/103/102/5 03/103/103/5 p.j 2/5 3/5,故關(guān)于X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,32,三、邊緣密度函數(shù),為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。,設(shè)(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 則稱,為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱,33,邊緣分布函數(shù),34,例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為,(1)求常數(shù)c; (2)求關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x) 和

11、邊緣分布函數(shù)FX(x),解: (1)由歸一性,35,36,例4. 設(shè)(X,Y)的概率密度為 (1)求常數(shù)c.(2)求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度.,37,第三章 多維隨機變量及其分布,3.1 二維隨機變量 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 相互獨立的隨機變量 3.5 兩個隨機變量的函數(shù)的分布,38,問題,3.3 條件分布,39,設(shè)隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )， X和Y的邊緣分布律分別為,一.離散型隨機變量的條件分布律,40,為Y yj的條件下，X的條件分布律;,若對固定的j, p.j0, 則稱,同理，對固定的i, pi. 0, 稱,為X xi的條件下，Y的條件分布律;,41,例1,42,解,由上述分布律的表格可得,43,44,例2 一射手進行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0p1), 射擊到擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X 表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù), 以Y 表示總共進行的的射擊次數(shù). 試求 X 和 Y 的聯(lián)合分布律及條件分布律.,解,45,現(xiàn)在求條件分布律,由于,46,47,二 連續(xù)型隨機變量的條件概率密度,定義. 給定y，設(shè)對任意固定的正