1、第5章，第3節(jié)，參數(shù)估計，參數(shù)估計的一般問題，1。估計量和估計值2。點估計和區(qū)間估計。評估估計量、估計量和估計值的標準，估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量，如樣本均值、樣本比率、樣本方差等。樣本均值是總體均值的估計值，估計值是估計值：估計參數(shù)時計算的統(tǒng)計量的特定值。如果樣本均值x=80，則80是估計值、估計值、點估計和區(qū)間估計。有兩種常用的方法來估計樣本總體的未知參數(shù)：點估計和區(qū)間估計。參數(shù)估計的基本方法是用樣本統(tǒng)計量的值來估計相應總體參數(shù)的值，這種方法稱為總體參數(shù)的點估計。以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布(概率分布)為理論基礎，根據(jù)一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值來估計總體參數(shù)值的范圍，稱為總體參數(shù)的

2、區(qū)間估計。樣本估計量直接用作總體參數(shù)的估計量，例如，樣本均值直接用作總體均值的估計量，例如，兩個樣本均值之間的差值直接用作總體均值的估計量。優(yōu)點：簡單、具體、清晰。缺點：點估計不能給出估計值接近總體未知參數(shù)的信息。點估計的方法包括矩估計、序列統(tǒng)計、最大似然法、最小二乘法等。以點估計為例，只對一批10000個特定類型的電子元件進行耐久性時間檢查，并隨機選擇其中的100個。測試的平均耐久性時間為1055小時，合格率為91%。我們推斷10000個電子元件的平均耐久性時間為1055小時，所有電子元件的合格率也為91%。點估計(實例分析)，為了調(diào)查師范院校男生的身高狀況，隨機抽取50人對師范院校男生的平

3、均身高和標準差進行估計。據(jù)估計，師范大學男生的平均身高是170厘米，但實際平均身高是170厘米嗎？不一定，有錯誤。那么如何處理這個錯誤呢？點估計(示例分析)，點估計值只是未知參數(shù)的近似值，它并不反映這個近似值的誤差范圍，所以不能確定使用它。區(qū)間估計正好彌補了點估計的缺陷。在點估計的基礎上，給出了總體參數(shù)估計的區(qū)間范圍，它是通過對樣本統(tǒng)計量進行加、減抽樣誤差得到的。根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布，我們可以給出樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間接近程度的概率度量。例如，一個班級的平均分數(shù)在7585分之間，置信度為95%。優(yōu)點：考慮到估計量的分布，我們可以解釋估計結果的可靠性，區(qū)間估計，區(qū)間估計圖，例如，在估計湖中

4、魚的數(shù)量的問題中，如果我們是基于一個實際的樣本，如果我們可以給出一個區(qū)間(950，1050)，在這個區(qū)間中我們合理地相信n的真實值是存在的，那么魚的數(shù)量的估計將會更加確定。事實上，n的真值可能大于1000或小于1000。區(qū)間估計(示例分析)，問題在于估計值1000可能在區(qū)間(950，1050)中，也可能不在區(qū)間(950，1050)中，并且構造置信區(qū)間的步驟被重復多次。置信區(qū)間包含總體參數(shù)真實值的次數(shù)比率稱為置信水平，表示為(1-總體參數(shù)不在區(qū)間內(nèi)的比率為99%，95%。90%是0.01，0.05，0.10，置信水平。該概率不是用來描述特定區(qū)間包含總體參數(shù)真值的可能性，而是指在多次采樣得到的區(qū)間

5、中，有多少區(qū)間包含總體參數(shù)真值。由樣本統(tǒng)計構建的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間。統(tǒng)計學家在某種程度上確信，這個區(qū)間將包含真正的總體參數(shù)。因此，它被稱為置信區(qū)間。由特定樣本構造的區(qū)間是特定區(qū)間。我們無法知道這個樣本生成的區(qū)間是否包含了所有參數(shù)的真實值。我們只能希望這個區(qū)間是包含總體參數(shù)真實值的大量區(qū)間之一，但它也可能是不包含參數(shù)真實值的少數(shù)區(qū)間之一，即置信區(qū)間?？傮w參數(shù)的真實值是固定的和未知的，而用不同樣本構造的區(qū)間是不固定的。因此，置信區(qū)間是一個隨機區(qū)間，它將隨著不同的樣本而變化。也就是說，我們想要確定一個區(qū)間，以便我們可以相信它包含具有相對較高可靠性的真實參數(shù)值。湖中魚數(shù)量的真實價值。這里提

6、到的“可靠性”是用概率來衡量的。(1)區(qū)間估計就是簡單地用一個區(qū)間來估計未知參數(shù)，并估計兩個邊界之間的未知參數(shù)。(2)置信區(qū)間根據(jù)給定的概率(1-)確定，該概率包括未知總體參數(shù)的可能范圍。它受置信上限和置信下限的限制(L1、L2)。(3)置信概率，也稱為置信水平或置信程度，是指區(qū)間估計中的預選(指定)概率。用1表示。通常取95%或99%。(4)估計顯著性水平時，估計參數(shù)不在置信區(qū)間內(nèi)的概率。用表示。一般來說，價值要求很小?？傊眯艆^(qū)間表示區(qū)間估計的準確性。置信水平(1-)表示區(qū)間估計的可靠性。這是區(qū)間估計的可靠概率。顯著性水平表示區(qū)間估計的不可靠概率。關鍵點，估計量的評價標準，無偏性：估計量

7、的抽樣分布的數(shù)學期望等于估計的總體參數(shù)，無偏性。在抽樣分布中，樣本均值、比率和方差分別是總體均值、比率和方差的無偏估計量。效率、有效性：對于同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，存在標準差較小的估計量。無偏估計量也必須比總體參數(shù)更少離散。一致性：隨著樣本量的增加，估計值越來越接近估計的總體參數(shù)，一致性，總體參數(shù)的區(qū)間估計，總體均值的區(qū)間估計，總體比率的區(qū)間估計，總體方差的區(qū)間估計，總體參數(shù)的區(qū)間估計，總體均值(大樣本)的區(qū)間估計，1。假設條件總體服從正態(tài)分布，方差()是已知的。如果不是正態(tài)分布，可以用正態(tài)分布(n 30)來近似。使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z，總體均值的區(qū)間估計(大樣本)，總體均值在1置信水平

8、的置信區(qū)間為。在這種情況下，小樣本群體也適用。人口平均數(shù)的區(qū)間估計(實例分析)，一種食物?，F(xiàn)在，從某一天生產(chǎn)的一批食品中隨機選取25個袋子，每個袋子的重量如下表所示進行測量。眾所周知，產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，總體標準差為10g。試估計這批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%，總體平均值的區(qū)間估計(實例分析)表明，n(，102)，n=25，1-=95%，z/2=1.96是已知的。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算出總體均值在1個置信水平下的置信區(qū)間為，食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g，總體均值的區(qū)間估計(示例分析)，示例一家保險公司收集了由36名被保險人組成的隨機樣本，并獲得了下表中

9、每個被保險人的年齡(年齡)數(shù)據(jù)。嘗試建立被保險人年齡90%的置信區(qū)間和總體均值的區(qū)間估計(示例分析)。該解已知為n=36，1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，總體均值在1個置信水平上的置信區(qū)間為0，被保險人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲和41.63歲。一所大學從該校隨機抽取了100名學生，發(fā)現(xiàn)他們每天平均鍛煉時間為26分鐘。試著用95的置信水平來估計這所大學所有學生的平均每日體育鍛煉時間(眾所周知，總體方差為36分鐘)?？傮w均值的區(qū)間估計(鍛煉)，總體均值的區(qū)間估計(示例分析)，解：給定x26，=6，n=100，1-=0.95，/2=1.96，我們可以認為平均每天鍛煉時間是在24

10、.82427.176分鐘之間，即一個工廠生產(chǎn)的零件的長度。目前，從工廠隨機選取六個零件，長度測量值如下(單位：mm): 14.6、15.1、14.9、14.8、15.2、15.1。置信系數(shù)為0.95?？傮w均值的區(qū)間估計(實踐)，總體均值的區(qū)間估計(實例分析)，解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22。置信區(qū)間為，總體均值(小樣本)的區(qū)間估計，1。假設條件服從正態(tài)分布和總體均值的方差區(qū)間估計(小樣本)，總體均值在1置信水平上的置信區(qū)間為，注意自由度，t分布，t分布是一個類似正態(tài)分布的對稱分布，通常比正態(tài)分布更平坦、更分散。特定的分布取決于一個稱為自由度的參數(shù)。隨著自由

11、度的增加，分布逐漸趨于正態(tài)分布，總體均值的區(qū)間估計(示例分析)，示例已知某個燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)在從一批燈泡中隨機選擇16個燈泡，其使用壽命(小時)測量如下。確定這些燈泡平均使用壽命的95%的置信區(qū)間，并估計總體平均值的區(qū)間(示例分析)。解：n(，2)，n=16，1-=95%，t/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算?？傮w平均值在1置信水平下的置信區(qū)間為，此類燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為10。建立95%總體平均值的置信區(qū)間?？傮w平均值的區(qū)間估計(練習)，總體平均值的區(qū)間估計(練習)，解：已知n(，2)，x=50，s=8，n=25，1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以認為總體平均值在4

12、6.6953.30之間，概率為95。為了估計一個物體的重量，我們稱它10次，得到重量的測量值(單位為：千克)，如下所示：10。l，10.0，9.8，10.5，9.7，L0。l，9.9，10.2，9.9。獲得置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間。人口平均數(shù)的區(qū)間估計(實踐)，解：n=10，=0.05，T9 (0.025)=2.2622，人口平均數(shù)的區(qū)間估計(實踐)，人口比率的區(qū)間估計，1。假設條件人口服從二項分布，并且樣本量足夠大，正態(tài)分布統(tǒng)計量Z可以用來近似人口比率。總體比率在1-置信水平下的置信區(qū)間是，參考書籍，總體比率的區(qū)間估計(示例分析)，示例一個城市想要估計下崗工人中的婦女比率，并且隨機選擇1

13、00名下崗工人，其中65名是女工。試用95%的置信水平來估計這個城市下崗女工比例的置信區(qū)間。解：n=100，p65%，1-=95%，z/2=1.96，該市下崗職工女性比例的置信區(qū)間為55.65t.35%?！纠吭谝豁楆P于員工離職原因的研究中，一家企業(yè)向這家企業(yè)了解到，在采訪中，有140人表示，他們離開這家企業(yè)是因為他們與管理人員相處不好。試著計算出因為這個原因而離開企業(yè)的人的真實比例(95%的置信區(qū)間)。總體比率的區(qū)間估計(實踐)，我們可以保證，員工因不能與管理者相處融洽而離開企業(yè)的比例在63.6-63.4%之間，概率為95。解決方法：已知n=200，P0.7，=0.95，/2=1.96，總體

14、比率的區(qū)間估計(實踐)，和總體方差的區(qū)間估計。1.估計總體的方差或標準差。2.假設人口服從正態(tài)分布。3.總體方差2的點估計是s2，總體方差的區(qū)間估計是。4.1-置信水平的總體方差的置信區(qū)間是，見本書，總體方差的區(qū)間估計的置信區(qū)間(圖示)，2，21-，2，總體方差1-，自由度是n-。群體方差中的區(qū)間估計示例分析一家食品生產(chǎn)企業(yè)主要生產(chǎn)袋裝食品，現(xiàn)在從某一天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取25袋，每袋的重量如下表所示進行測量。眾所周知，產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。用95%的置信水平建立了該類食品重量變化的置信區(qū)間?？傮w方差的區(qū)間估計(示例分析)顯示n25在：中是已知的，1-95%。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出95%

15、置信區(qū)間s2=93.21 2。該企業(yè)生產(chǎn)的食品總重量標準偏差的置信區(qū)間為7.54g13.43g，并且有大量的糖果是從其中隨機選取的。重量(以克為單位)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496讓袋裝糖果的重量近似服從正態(tài)分布，并嘗試找出0.95的置信區(qū)間作為總體標準偏差。S=6.2022，總體方差的區(qū)間估計(實踐)，解：這里，總體方差的區(qū)間估計(實踐)，所以置信水平為0.95的置信區(qū)間如下：例2:為了估計一個物體的重量，稱它10次，得到重量的測量值(單位：公斤)如下： 10.1，10.0，9.0找到置信

16、區(qū)間，其中2的置信系數(shù)為0.95。S2=0.0583，人口方差的區(qū)間估計(實踐)，解：n=10，=0.05，S2=0.0583，查附表，所以，人口方差的區(qū)間估計(實踐)，兩個人口參數(shù)的區(qū)間估計(自學)，一個和兩個人口之間的差異的區(qū)間估計意味著兩個或兩個人口參數(shù)的區(qū)間估計，兩個人口之間的差異的區(qū)間估計意味著(獨立大樣本)，1。假設兩個種群都服從正態(tài)分布，1。如果知道它不是正態(tài)分布，可以用正態(tài)分布(n130和n230)來近似。兩個樣本是獨立的隨機樣本，使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z，估計兩個總體均值之間的差異(大樣本)，1.1，2當已知時，兩個總體均值之間的差異在1-置信水平上的1-2置信區(qū)間是兩個總體均值之間的差異的估計(大樣本)。當1和2未知時，兩個總體平均值之間差異的1-2