1、,第二章 隨機變量及其分布,離散型隨機變量的概率分布 隨機變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機變量的概率密度 隨機變量的函數(shù)的分布,隨機變量,隨機變量產(chǎn)生,隨機變量分類,隨機變量意義,1 隨機變量,隨機變量概念的產(chǎn)生,在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.,例1 對于某型電子元件，任抽一件，觀測其壽命。,樣本空間，S= t; t 0）,定義映射,X: SR,tt,也稱X為任抽該型一電子元件，該電子元件的壽命。,例2擲一枚硬幣，觀察其面朝上的情況,樣本空間，S=正面，反面）,滿足 X(正面）=1，X（反面）=0,定義映射,X: SR,也稱X為擲一枚硬幣，其面朝上的次數(shù)。

2、,這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值函數(shù).,隨機變量,設(shè)(S，P)是一概率空間，若X為樣本空間,S上的函數(shù)： X：S R1 X(),則稱X()為(S, , P)上的一個隨機變量。,隨機變量與一般實函數(shù)的差別：,1 X 取值具有隨機性。我們可以求它取某一 值或取值落入某一集合的概率。如,P(: X()=1)=P(X=1),P(: X()L)=P(X L)。,2 定義域不同,而表示隨機變量所取的值 時,一般采用小寫字母x,y,z等.,隨機變量通常用大寫字母 X,Y,Z或希臘字母,等表示,例如，若用X 表示電話總機在9:0010:00接到 的電話次數(shù)，X=0,1,2, 表示“某天9:00 10

3、:00 接到的電話 次數(shù)超過100次”這一事件,則,注意 X 的取值是可列無窮個！,有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.,引入隨機變量的意義,隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點,例如 從某一學(xué)校隨機選一學(xué)生，測量他的身高.,我們可以把可能的 身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.,如 P(X1.7)=？ P(X 1.5)=?,P(1.5X 1.7)=?,隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.,事件及

4、 事件概率,隨機變量及其 取值規(guī)律,隨機變量的分類,通常分為兩類：,隨機變量,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,所有取值可以逐個 一一列舉,全部可能取值不僅 無窮多，而且還不能 一一列舉，而是充滿 一個區(qū)間.,2 離散型隨機變量 及其分布律,定義,若隨機變量型 X 所有可能的取值為有限個或可列個，則稱X為離散型隨機變量。,離散型隨機變量的分布,若隨機變量X所有可能的取值為x1, x2，xn，且X 取這些值的概率為 P(X=xi)= pi , i=1, 2, . （2.1） 則稱（2.1）式為離散型隨機變量X 的概率分布, 稱 是概率分布列, 簡稱為分布列,定義：,表格法,上述表格稱為離散型隨機變

5、量 X 的分布列，分布列也可以表示成下列矩陣的形式,分布列的三種表示方法,P(X=xi)= pi , i=1, 2, .,公式法,圖示法,性質(zhì),(1) pi 0, i=1，2，.,(2),例 1,從110這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令： X：取出的5個數(shù)字中的最大值 試求 X 的分布列 解： X 的取值為5，6，7，8，9，10 并且,具體寫出，即可得 X 的分布列：,例2,設(shè)隨機變量 X 的分布列為,解：由隨機變量的性質(zhì)，得,該級數(shù)為等比級數(shù)，故有,所以,例3,設(shè)隨機變量 X 的分布律為,求 P(X1/2), P(3/2 X 5/2), P(2 X3),解: 依題意, X可取值0, 1,

6、 2, 3.,P(X=0)=P(A1)=1/2,例4 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有信號燈的路口，每個信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過，設(shè)各信號燈的工作是相互獨立的。以X表示該汽車首次停下時，它已通過的路口的個數(shù)，求X的分布列.,X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),即,不難看到,X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),幾種常見的離散型隨機變量,單點分布,若隨機變量X只取一個常數(shù)值C，即P( X=C )=1，則稱 X 服從單點分布。,一射手每次打靶射擊一發(fā)子彈， 打中的概率為p(0p1), 不中的概率為q=1-p。,引例1,若隨機變量 X 只取兩個數(shù)值0或1，其分布

7、為,0-1分布,0p1, q=1-p，,或記為 P(X=k)= pkq1-k , k =0,1 則稱X 服從參數(shù)為p 的兩點分布或參數(shù)為 p 的0-1分布。,凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果， 常用0 1分布描述，,應(yīng)用場合,如產(chǎn)品是否格、 人口性別統(tǒng)計、 系統(tǒng)是否正常、 電力消耗是否超負荷等等.,引例2一射手每次打靶射擊一發(fā)子彈，打中的概率為p(0p1), 不中的概率為q=1-p。今向靶作獨立重復(fù)射擊n次, 設(shè) X:射中次數(shù) 求X的分布.,若X的分布為,k =0, 1, 2 , n,稱X 服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為,二項分布,二項分布的概率分布示意圖,二項分布隨機數(shù)演示,二項分布的性質(zhì),

8、說 明,1.顯然，當 n = 1 時,此時，X 服從兩點分布,這說明，兩點分布是二項分布的一個特例,第k+1項,2.稱為二項分布的原因是 為 二項展開式,E1:投擲一枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)情況,E2:某人打靶，觀察命中情況,E3:從一批產(chǎn)品中抽取一只，檢查是否為合格品,觀察下列隨機試驗特點：,二項分布的應(yīng)用,伯努利概型,若隨機試驗E只有兩個可能結(jié)果A和 , 且P(A)=p(0p1)，則稱E為伯努利概型.,n重伯努利試驗,將伯努利試驗E，在相同條件下，獨立地重復(fù)進行n次，作為一個試驗，則這個試驗為n重伯努利概型。記為En,應(yīng)用場合,n個孩子的家庭中男孩(女孩)個數(shù),一大批產(chǎn)品中廢品個數(shù),n個電子

9、元件中失效個數(shù),例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨立的，且各臺發(fā)生故障的概率都是0.01。在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理，問至少需要配備多少工人，才能保證當設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01。,分析：設(shè)至少需配備k名工人,X: 300臺設(shè)備中發(fā)生故障的設(shè)備數(shù),為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨立的，且各臺發(fā)生故障的概率都是0.01。在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理，問至少需要配備多少工人，才能保證當設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01。,解：設(shè)至少需

10、配備k名工人,設(shè)300臺設(shè)備中X臺發(fā)生故障,k需滿足,例6 某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001，他獨立射擊了5000次，試求他至少命中兩次的概率。,設(shè)X為命中次數(shù),XB(5000,0.001),設(shè)有一列二項分布 XnB(n , pn)，n=1, 2 , ., 如果,是與n無關(guān)的正常數(shù)，則對任意固定的非負整數(shù)k，均有,Possion定理,Poisson定理說明：若X B( n, p), 則當 n 較大， p 較小，而 適中，則可以用近似公式,當n 100, np 10時, 精度 較好,例7續(xù) 某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001，他獨立射擊了5000次，試求他至少命中兩次的概率

11、。,設(shè)X為命中次數(shù),XB(5000,0.001),解：,在Poisson 定理中，,若離散型隨機變量X 的分布為,k =0，1，2， 其中常數(shù) 0，,泊松分布,則稱 X 服從參數(shù)為的泊松分布, 記為X P( ).,歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 .,二項分布與泊松分布,由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.,我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.,應(yīng)用場合,在一段時間內(nèi),在一定條件下，都是服從Poisson分布的,假設(shè)電話交換臺每小時接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)=3的泊松分布，求 (1) 每小時恰有4次呼叫的概率 (2

12、) 一小時內(nèi)呼叫不超過5次的概率,例8,引例3,一射手每次打靶射擊一發(fā)子彈，打中的概率為p(0p1), 不中的概率為q=1-p。今向靶作獨立重復(fù)射擊，直到中靶為止，則求 X:消耗的子彈數(shù) 的分布.,幾何分布,幾何分布的無記憶性,設(shè)X服從幾何分布,則,引例4 設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有 N 件，其中次品有M件。今從中任取n (假定n N-M )件，設(shè) X: n件中所含的次品數(shù) 其分布為,m = 0,1, l, l =min(M, n),超幾何分布,若X的分布為,m = 0,1, l, l =min(M, n),稱 X 服從超幾何分布,休息一會兒,又如,觀察某生物的壽命（單位：小時），令： Z：該生物

13、的壽命 則 Z 就是一個隨機變量它的取值為所有非負實數(shù),表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機事 件,注意 Z 的取值是不可列無窮個！,對于固定n及p，當k增加時 ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p達到最大值；,( x 表示不超過 x 的最大整數(shù)),性質(zhì)2,(最可能值),當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1處達到最大值.,課下請自行證明上述結(jié)論.,p=0.5 二項分布對稱, p 0.5,分布非對 稱，n越大非對稱性越不明顯,性質(zhì)1,設(shè)X 為n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),(二項分布與0-1分布),性質(zhì)3,例6 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備80臺，各臺工作是相互獨立的，且各臺發(fā)生故障的概率都是0.01。在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理，若由一人負責(zé)20臺設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時處理的概率。若由3人共同負責(zé)維修