1、2極坐標系,一,二,一、極坐標系的概念 1.極坐標系的建立 如圖1,在平面內取一個定點O,叫作極點,從O點引一條射線Ox,叫作極軸,選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向).這樣就確定了一個平面極坐標系,簡稱為極坐標系.,一,二,2.點的極坐標的規(guī)定 (1)如圖1,對于平面內任意一點M,用表示線段OM的長,表示以Ox為始邊、OM為終邊的角度,叫作點M的極徑,叫作點M的極角,有序實數(shù)對(,)叫作點M的極坐標,記作M(,). 當點M在極點時,它的極徑=0,極角可以取任意值. (2)為了研究問題方便,極徑也允許取負值.當0時,點M(,)的位置可以按下列規(guī)則確定:作射線OP,使xOP=,在OP

2、的反向延長線上取一點M,使|OM|=|,這樣點M的坐標就是(,),如圖2所示.,一,二,名師點撥建立極坐標系的要素是極點、極軸、單位長度、角度單位和它的正方向,四者缺一不可.極軸是以極點為端點的一條射線,它與極軸所在的直線是有區(qū)別的;極角的始邊是極軸,它的終邊隨著的大小和正負而取得不同的位置;的正方向通常取逆時針方向,的值一般是以弧度為單位的量數(shù);點M的極徑表示點M與極點O之間的距離|OM|,因此0,但必要時,允許0.,一,二,二、點的極坐標與直角坐標的互化 1.互化的前提條件 如圖,建立一個平面直角坐標系,把平面直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,建立極坐標系,并在兩種坐標系中取

3、相同的單位長度.,一,二,2.互化公式 設點M是平面內的任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標是(,)(0),于是極坐標與直角坐標的互化公式如下表: 在一般情況下,由tan 確定角時,可根據(jù)點M所在的象限取最小正角.,一,二,名師點撥將直角坐標化為極坐標時確定和的值的方法 由2=x2+y2求時,不取負值.由tan = (x0)確定,當x0時,角根據(jù)點(x,y)所在的象限取最小正角.當x=0時,tan 沒有意義,這時又分三種情況:(1)當x=0,y=0時,可取任何值;(2)當x=0,y0時,可取=,一,二,做一做1點P的直角坐標為( ),則它的極坐標可表示為(),答案：B,一,二,做一做2在

4、極坐標系中,極坐標 化為直角坐標為() A.(1,1)B.(-1,1) C.(1,-1)D.(-1,-1),答案：D,一,二,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”. (1)任意一個點都有唯一的極坐標. () (2)若1+2=0,1+2=,則點M1(1,1)與點M2(2,2)關于極點對稱. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,極坐標系中點的表示 【例1】 在極坐標系中,作出以下各點:,解：如圖,A,B,C,D四個點分別是唯一確定的.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟由極坐標確定點的位置的步驟 1.取定極點O. 2.作方向為水平向右的射線Ox為極軸

5、. 3.以極點O為頂點,以極軸Ox為始邊,通常按逆時針方向旋轉極軸Ox確定出極角的終邊. 4.以極點O為圓心,以極徑為半徑畫弧,弧與極角終邊的交點即是所求點的位置.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練1 在同一個極坐標系中,畫出以下各點:,解：如圖.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,對稱性問題 【例2】 在極坐標系中,點A的極坐標是 ,則 (1)點A關于極軸對稱的點的極坐標是; (2)點A關于極點對稱的點的極坐標是; (3)點A關于過極點且垂直于極軸的直線對稱的點的極坐標是.(限定0,02) 解析：如圖,在對稱的過程中極徑的長度始終沒有變化,主要在于極角的變化.另外,我們要注意:極角

6、是以x軸正向為始邊,按照逆時針方向得到的.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟在極坐標系中,點(,)關于極軸所在直線對稱的點的極坐標為(,2k-)(kZ),關于極點對稱的點的極坐標為(,+2k)(kZ),關于過極點且垂直于極軸的直線對稱的點的極坐標為(,2k+-)(kZ).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練2 已知極坐標系中(限定0,02), ,則點A關于射線OP的對稱點的極坐標為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,點的極坐標與直角坐標的互化 【例3】 (1)分別將下列點的直角坐標化為極坐標(0,02):,分析：直接利用點的直角坐標和極坐標的互化公式進行轉化.,探究一,探究

7、二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.點的極坐標與直角坐標的互化公式的三個前提條件:(1)極點與直角坐標系的原點重合;(2)極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合;(3)兩種坐標系的單位長度相同. 2.將點的極坐標(,)化為點的直角坐標(x,y)時,運用到求角的正弦值和余弦值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,靈活運用三角恒等變換公式是關鍵. 3.將點的直角坐標(x,y)化為極坐標(,)時,運用公式,時,要根據(jù)直角坐標的符號特征判斷出點所在的象限.如果允許R,再根據(jù)終邊相同的角的意義,表示為+2k,kZ即可.,探究一,探究二,探究三,思維辨

8、析,變式訓練3 (1)直角坐標為(-,)的點的極坐標為(限定0,02). (2)已知點M的極坐標為(5,),且tan =- ,則點M的直角坐標為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,x=5cos =-3,y=5sin =4. 點M的直角坐標為(-3,4).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因未正確理解點的極坐標表示而致誤 典例導學號已知點A的極坐標是 ,則使0,-10-6的極坐標是什么?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯心得在極坐標系中,極坐標(,)與(,+2k)(kZ)表示同一個點;極坐標(,)與(-,+(2k+1)(kZ)表示同一個點.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練在極坐標系中,下列各點中與 不表示同一個點的是(),答案：C,1 2 3 4 5,1.在極坐標系中,與點 關于極點對稱的點的一個坐標是(),答案：A,1 2 3 4 5,解析：如圖,由題設,可知A,B兩點關于極點O對稱,即點O是AB的中點. 又|AB|=4,ABC為正三角形,答案：B,1 2 3 4 5,3.在極坐標系中,已知直線l過點A ,則直線l與極軸所在直線的夾角等于.,1 2 3 4