1、 一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧長); 任取(xi , hi)Dsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn0, 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時也會遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點列M1,

2、M2, , Mn-1把L分在n個小段. 設(shè)第i個小段的長度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個小段上任意取定的一點, 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值l0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長; 在每一弧段Dsi上任取一點(xi, hi), 作和;

3、令l=maxDs1, Ds2, , Dsn, 如果當(dāng)l0時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時, 對弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對弧長的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)

4、L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作 . 對弧長的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 ; 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 ; 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對弧長的曲線積分的計算法 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (atb),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x

5、, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j2(t)+y2(t)0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(axb), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(cyd), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 則=?

6、 提示: . 例1 計算, 其中L是拋物線y=x2上點O(0, 0)與點B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0x1), 因此 . 例2 計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (-aq0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F=P, Q, T=cost, sint為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=Tds=dx, dy. 類似地有 . 其中F=P, Q, R, T=cosa, cosb, c

7、osg為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds =dx, dy, dz . 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 對平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時, D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡要證明: 僅就D即是X型的又是Y型的區(qū)域情形進行證明. 設(shè)D=(

8、x, y)|j1(x)yj2(x), axb. 因為連續(xù), 所以由二重積分的計算法有 . 另一方面, 由對坐標的曲線積分的性質(zhì)及計算法有 . 因此 . 設(shè)D=(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd. 類似地可證 . 由于D即是X型的又是Y型的, 所以以上兩式同時成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問題: 對復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L, 取P=-y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設(shè)D

9、是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“”號？ ) 例3. 計算, 其中D是以O(shè)(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)為頂點的三角形閉區(qū)域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 則. 因此, 由格林公式有 . 例4 計算, 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向. 解: 令, . 則當(dāng)x2+y20時, 有. 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(dāng)(0, 0)D時, 由格林公式得; 當(dāng)(0, 0)D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時針方向. 于是 =2