1、第二章命題邏輯數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究思維規(guī)律的學(xué)科。所謂數(shù)學(xué)方法是指：使用一套數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)來(lái)描述和處理思維的形式和規(guī)律。因此，數(shù)理邏輯也被稱(chēng)為符號(hào)邏輯。本章介紹了數(shù)理邏輯最基本的內(nèi)容命題邏輯。首先，介紹了命題和命題公式的概念。然后，在此基礎(chǔ)上，研究了命題公式之間的等價(jià)關(guān)系和蘊(yùn)涵關(guān)系，給出了推導(dǎo)命題的推理規(guī)則。主要內(nèi)容如下：2.1命題的概念和表示2.2邏輯合取2.3命題演算的適當(dāng)公式2.4等價(jià)和蘊(yùn)涵2.5對(duì)偶和范式2.6命題演算的推理理論，例1判斷下列陳述是否為命題。(1)空氣是人類(lèi)生存所必需的。(2)請(qǐng)關(guān)門(mén)。南京是中國(guó)的首都。你吃過(guò)了嗎？(5)x=3 .啊，多美??！明年的春節(jié)將是一個(gè)陽(yáng)光明媚

2、的日子。解釋性聲明(1)、(3)、(5)和(7)是聲明，而聲明(1)、(3)和(7)是命題。真值用來(lái)描述一個(gè)命題是真還是假。它們分別用“1”和“0”表示，命題用大寫(xiě)的拉丁字母A、B、C、P、Q或帶有下列標(biāo)記的大寫(xiě)字母表示。如果下列陳述是命題。p:在地球之外的行星上也有人類(lèi)；小王是我的好朋友；解P和Q是命題，原子命題是由簡(jiǎn)單句子構(gòu)成的命題。復(fù)合命題：由一個(gè)或幾個(gè)由連詞連接的原子命題組成的命題。李明是一個(gè)好學(xué)生。李明既是三好學(xué)生又是足球運(yùn)動(dòng)員。明天將是晴天。d:張萍不是在釣魚(yú)，就是在睡覺(jué)。如果明天天氣晴朗，我們將舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。解A和C是原子命題，解D和E是復(fù)合命題，2.2邏輯合取，1。2.2.1如果

3、P是一個(gè)命題，那么P的否定就是一個(gè)復(fù)合命題，它被稱(chēng)為P的無(wú)命題，并被標(biāo)為“P”(發(fā)音為“非P”)。讓我們舉個(gè)例子：上海是一座城市；問(wèn)：每個(gè)自然數(shù)都是偶數(shù)。上海不是一個(gè)城市；問(wèn)：不是每個(gè)自然數(shù)都是偶數(shù)。當(dāng)命題p為真時(shí)，命題p為假；當(dāng)命題p為假時(shí)，命題p為真。2連詞的定義2.2.2假設(shè)P和Q是兩個(gè)命題，那么P和Q的連詞就是一個(gè)復(fù)合命題，叫做“P Q”。我們?nèi)ル娪霸喊?。?wèn)：房間里有十張桌子。問(wèn)的意思是“我們?nèi)タ措娪?，房間里有十張桌子。”當(dāng)且僅當(dāng)命題p和Q都為真時(shí)，P Q為真。3.析取的定義2.2.3假設(shè)P和Q是兩個(gè)命題，那么P和Q的析取是一個(gè)復(fù)合命題，標(biāo)記為PQ(發(fā)音為P或Q)。他可能是100米賽跑

4、的冠軍；問(wèn)：他可能是400米賽跑的冠軍。命題PQ表明他可能是100米或400米賽跑的冠軍。當(dāng)且僅當(dāng)P和Q中至少一個(gè)為真時(shí)，PQ為真。4.“定義2.2.4假設(shè)P和Q是兩個(gè)命題，那么它們的條件命題是一個(gè)復(fù)合命題，它被記錄為“PQ”(發(fā)音為“如果P，那么Q”)。如果我得到這本小說(shuō)，那么我將在今晚讀完它象征。謝玲P:我得到了這本小說(shuō)；問(wèn)：我今晚讀完了。所以上述命題可以表示為PQ。如果p:雪是黑色的；問(wèn)：太陽(yáng)從西方升起；太陽(yáng)從東方升起。那么PQ和PR所代表的兩個(gè)命題都是正確的。當(dāng)P為真，Q為假時(shí)，PQ為假，否則PQ為真。5等價(jià)定義2.2.5如果P和Q是兩個(gè)命題，那么它們的等價(jià)命題就是復(fù)合命題，這種復(fù)合命

5、題被稱(chēng)為等價(jià)復(fù)合命題，并被標(biāo)為“P Q”。當(dāng)P和Q的真值相同時(shí)，PQ為真，否則為假。非倉(cāng)庫(kù)工人不允許進(jìn)入。訂單p:有人是倉(cāng)庫(kù)工人；問(wèn)：有人可以進(jìn)入倉(cāng)庫(kù)。上述命題可以表示為p q。黃山比喜馬拉雅山高，如果且僅當(dāng)3是素?cái)?shù)，p:黃山比喜馬拉雅山高；問(wèn)：3是質(zhì)數(shù)。這個(gè)例子可以被符號(hào)化為PQ。從漢語(yǔ)的語(yǔ)義角度看，P和Q之間沒(méi)有聯(lián)系，但就連詞的定義而言，PQ的真值是假的，因?yàn)镻和Q的真值是真的。對(duì)于以上五個(gè)連詞，應(yīng)該注意到復(fù)合命題的真值只取決于構(gòu)成它的每個(gè)原子命題的真值，而與這些原子命題的內(nèi)容和意義無(wú)關(guān)。命題符號(hào)化許多日常句子可以用連詞來(lái)符號(hào)化?；静襟E如下：(1)將原子命題從句子中分離出來(lái)，并進(jìn)行符號(hào)化

6、；(2)用適當(dāng)?shù)拿}連詞將原子命題一個(gè)接一個(gè)地聯(lián)系起來(lái)，形成復(fù)合命題的符號(hào)表征。下列命題以符號(hào)形式表達(dá)。如果明天早上下雨或下雪，我就不去上學(xué)了。如果明天早上不下雨或不下雪，那么我就去上學(xué)。如果明天早上不是雨夾雪，那我就去上學(xué)。只有明天早上不下雨不下雪的時(shí)候，我才會(huì)去上學(xué)。解釋p:明天早上會(huì)下雨；問(wèn)：明天早上會(huì)下雪；我去學(xué)校。(1)(PQ)R；(2)(P Q)R；(3)(PQ)R (4)R(P Q)，例13象征下列命題(1)派小王或小李出差；(2)我們不能劃船和跑步；(3)如果你來(lái)，他是否唱歌將取決于你是否陪他；(4)如果李明是體育愛(ài)好者，但不是文學(xué)愛(ài)好者，那么李明不是體育愛(ài)好者；如果早上不下雨

7、，我就去看電影，否則我就在家看書(shū)。解決方案(1)訂單P:派小王出差；問(wèn)：派小李出差。命題被符號(hào)化為PQ。讓我們劃船；問(wèn)：我們跑步。那么這個(gè)命題可以表示為(PQ)。(3)訂餐員：你來(lái)了；他唱歌；你陪著。那么這個(gè)命題可以表示為P (Q R)。(4)讓李明成為一名體育愛(ài)好者；問(wèn)：李明是一個(gè)文藝愛(ài)好者。那么這個(gè)命題可以表達(dá)為(P Q)(P Q)，(5)讓P:早上下雨；問(wèn)：我去看電影了；我在家學(xué)習(xí)。那么這個(gè)命題可以表示為。練習(xí)2-2 1。確定下列哪個(gè)陳述是命題，如果它們是命題，指出它們的真實(shí)值。(1)只有孩子喜歡哭。(2)X6=y3)銀是白色的。(4)起來(lái)，我的朋友。(假)，(不)，(真)，(不)，2象

8、征下列命題(1)我看到的既不是小張也不是老李。謝玲P:我看到的是小張；問(wèn)：我看到的是老李。這個(gè)命題可以表示為PQ。如果他晚上完成作業(yè)，沒(méi)有別的事情可做，他就會(huì)看電視或聽(tīng)音樂(lè)。他晚上完成了作業(yè)；問(wèn)：他晚上還有別的事情；他看電視。他聽(tīng)音樂(lè)。那么命題可以表示為(PQ)(RS)，2.3命題演算的適當(dāng)公式1。命題公式1的概念。命題常數(shù)是表示一個(gè)確定命題的大寫(xiě)字母。命題論證沒(méi)有具體內(nèi)容的命題符號(hào)。當(dāng)一個(gè)命題沒(méi)有內(nèi)容時(shí)，它的真正價(jià)值就無(wú)法確定。一旦一個(gè)特定的命題被取代，它的真正價(jià)值就被確定了。命題公式命題公式(或簡(jiǎn)稱(chēng)公式)是由0，1，命題參數(shù)和命題連詞按照一定的規(guī)則產(chǎn)生的符號(hào)串。定義2.3.1(命題公式的遞

9、歸定義。(1) 0，1是命題公式；(2)命題論證是命題公式；(3)如果甲是命題公式，那么甲就是命題公式；(4)如果A和B是命題公式，(AB)、(AB)、(A B)和(AB)也是命題公式；通過(guò)在有限時(shí)間內(nèi)使用上述(1)和(4)產(chǎn)生的符號(hào)串是命題公式。示例1確定以下符號(hào)字符串是否是命題公式。P(QPR)；(2)(PQ)(QR)，解(1)不是命題公式。(2)它是一個(gè)命題公式。4.在例定義2.3.2中，假設(shè)A和B是兩個(gè)命題公式。如果A中的一些命題變?cè)幻}公式所取代，B就可以得到，并且這種取代滿足：(1)它是被取代的命題變?cè)?2)如果一個(gè)命題變?cè)惶鎿Q，則A中所有出現(xiàn)的命題變?cè)紤?yīng)該被替換。(3)

10、如果代換必須同時(shí)獨(dú)立進(jìn)行，則稱(chēng)B為A的代換實(shí)例。例2假設(shè)A=P(Q P)，并判斷以下命題公式是否為A的代換實(shí)例：B=SR (Q (SR) C=SR (Q P)，并求解B。C不是。2.真值賦予命題公式來(lái)表示一個(gè)命題，但只有當(dāng)公式中的每一個(gè)命題參數(shù)都被一個(gè)確定的命題所取代時(shí)，命題公式才具有確定的真值并成為一個(gè)命題。定義2.3.3設(shè)A(P1、P2、Pn)是一個(gè)命題公式，P1、P2、Pn都是出現(xiàn)在其中的命題論據(jù)。給P1、P2、Pn賦值就叫做給P1、P2、Pn的公式A賦值。列出了P1、P2、Pn的2n個(gè)真值賦值下命題公式A的真值，這樣的表稱(chēng)為A的真值表.例3給出了公式F=(PQ)(QR) (PR)的真值

11、表。求解公式f的真值表如下：3 .公式類(lèi)型的定義2.3.5如果命題公式f中包含的命題自變量的任何一組真值被賦值，則公式f的真值總是真的，那么公式f被稱(chēng)為重言式(或永恒真值公式)，通常表示為“1”。相反，如果f的真值對(duì)于f中包含的命題自變量的任何一組真值賦值總是假的，那么公式f被稱(chēng)為矛盾公式(或永久假公式)，它通常被表示為“0”。如果至少分配了一組真值來(lái)使公式f的真值為真，那么f被稱(chēng)為可滿足公式。例4構(gòu)造下列命題公式的真值表，并判斷它們是什么類(lèi)型的公式(1)(p q)(p q)；(2)(QP)(PQ)；(3)(PQ)(QR)(PR).從上面可以看出，F(xiàn)1是同義反復(fù)，F(xiàn)2是矛盾。2.4等效和隱含，

12、1。命題公式等價(jià)關(guān)系的定義2.4.1假設(shè)A和B是兩個(gè)命題公式，P1，p2，pn都是出現(xiàn)在A和B中的命題參數(shù)，如果A和B的真值對(duì)于分配給P1，p2，pn的任何一組真值都是相同的，那么公式A和B是等價(jià)的，表示為A和B，A B是等價(jià)的。注意：(1)符號(hào)“”和“”的區(qū)別和聯(lián)系。(2)可以證明等價(jià)關(guān)系滿足：自反性：對(duì)于任何公式A，都有一個(gè)a A。對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于任何公式a，b，如果是AB，那么是BA。可轉(zhuǎn)讓性：對(duì)于任何公式a，b，c，如果ab，BC，然后AC。(3)當(dāng)A是同義反復(fù)時(shí)，A1；當(dāng)A是矛盾的，A0。定理2.4.1當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)公式總是正確的。2.假設(shè)P、Q和R是命題參數(shù)，下表列出了24個(gè)基本等價(jià)公式

13、：3.區(qū)分等價(jià)公式有兩種方法：真值表法、命題演算法1、真值表法，例1:用真值表法證明E10: (PQ) PQ，并求解它：A=(PQ)。0，例2用真值表法證明E11:PQPQ，并使A=PQ，B=PQ構(gòu)造A，B和AB的真值表如下：因?yàn)楣紸B標(biāo)記的所有列都是1，AB。例3使用真值表方法判斷PQPQ是否為真，并使A=PQ，B=PQ構(gòu)造A、B和AB的真值。(1)替代規(guī)則的同義反復(fù)的替代實(shí)例仍然是同義反復(fù)。2命題演算方法，例如，F(xiàn)=(PQ) (QP)是一個(gè)同義反復(fù)。如果用公式AB代替命題變?cè)狿得到公式F1=(AB)Q) (Q(AB)，F(xiàn)1仍然是同義反復(fù)。注意：因?yàn)榧滓沂峭x反復(fù)，當(dāng)且僅當(dāng)甲乙是同義反復(fù)。

14、因此，如果在等價(jià)公式中出現(xiàn)任何命題論證的每一個(gè)地方都用同一個(gè)命題公式代替，那么仍然可以得到等價(jià)公式。(2)代換規(guī)則是C是命題公式A的一部分(即C是公式A中的一系列符號(hào))，而C本身也是命題公式，那么C就叫做公式A的子公式，例如，讓公式A=(PQ)(PQ)(RS)。PQ，PQ，(PQ)(RS)都是a的子公式，但p，p和q不是a的子公式，替換規(guī)則是c是公式a，CD的子公式。如果公式a中的子公式c被公式d代替，得到的公式是b，然后是AB。(3)等價(jià)演算等價(jià)演算是指利用一些已知的等價(jià)公式，根據(jù)等價(jià)關(guān)系的代換規(guī)則、代換規(guī)則和可轉(zhuǎn)移性，推導(dǎo)出其他等價(jià)公式的過(guò)程。根據(jù)替換規(guī)則，上述基本等價(jià)公式不僅對(duì)任何命題變量p，q和r有效，而且當(dāng)p，q和r分別是命題公式時(shí)也有效。例2證明了命題公式的等價(jià)關(guān)系：(pq)(rq)(pr)q；為了證明(PQ)(RQ)(PQ)(RQ)E11(P(R)Q E3(分布律)(PR)Q E10(德摩根定律)(PR) Q E11 so (PQ)(RQ)(PR)Q，例3證明了下列命題公式的等價(jià)關(guān)系(p q) (p證明(PQ)(P(PQ)(PQ)(P(P)Q)E2(結(jié)合律)，(PQ)(PQ) E7(等冪律)，(P Q)(PQ)(E1(交換律)，3.命題公式蘊(yùn)涵關(guān)系的定義2.4.2假設(shè)A和B是兩個(gè)公式。如果公式AB是同義反復(fù)，即AB1，那么公