1、數(shù)學(xué)實驗報告實驗序號： 3 日期： 2013年 12 月 14 日班級應(yīng)數(shù)一班姓名陳菲學(xué)號1101114209實驗名稱求代數(shù)方程的近似根問題背景描述：求代數(shù)方程的根是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，當(dāng)是一次多項式時，稱為線性方程，否則稱之為非線性方程當(dāng)是非線性方程時，由于的多樣性，尚無一般的解析解法可使用，但如果對任意的精度要求，能求出方程的近似根，則可以認為求根的計算問題已經(jīng)解決，至少能滿足實際要求本實驗介紹一些求方程實根的近似值的有效方法，要求在使用這些方法前先確定求根區(qū)間，或給出某根的近似值實驗?zāi)康模?. 了解代數(shù)方程求根求解的四種方法：對分法、迭代法、牛頓切線法2. 掌握對分法、迭代法、牛頓切線

2、法求方程近似根的基本過程。實驗原理與數(shù)學(xué)模型：1對分法對分法思想：將區(qū)域不斷對分，判斷根在某個分段內(nèi)，再對該段對分，依此類推，直到滿足精度為止對分法適用于求有根區(qū)間內(nèi)的單實根或奇重實根設(shè)在上連續(xù)，即 ，或，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在內(nèi)至少存在一點 ，使下面的方法可以求出該根：令，計算；若，則是的根，停止計算，輸出結(jié)果若 ，則令，若，則令，；，有、以及相應(yīng)的(3) 若 (為預(yù)先給定的精度要求)，退出計算，輸出結(jié)果；反之，返回(1)，重復(fù)(1)，(2)，(3)以上方法可得到每次縮小一半的區(qū)間序列，在中含有方程的根當(dāng)區(qū)間長很小時，取其中點為根的近似值，顯然有以上公式可用于估計對分次數(shù)2. 迭代法迭

3、代法的基本思想：由方程構(gòu)造一個等價方程從某個近似根出發(fā)，令，可得序列，這種方法稱為迭代法若 收斂，即，只要連續(xù)，有即可知，的極限是的根，也就是的根當(dāng)然，若發(fā)散，迭代法就失敗迭代過程收斂的常用判別標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)根區(qū)間較小，且對某一，明顯小于1時，則迭代收斂 2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若與同是的近似值，則是兩個近似值的加權(quán)平均，其中稱為權(quán)重，現(xiàn)通過確定看能否得到加速迭代方程是：其中，令，試確定：當(dāng)時，有，即當(dāng)，時，可望獲得較好的加速效果，于是有松弛法：，b) Altken方法：，是它的根，是其近似根設(shè)，因為，用差商近似代替，有 ，解出，得由此得出公式 ；，這就是Altken 公式。3. 牛頓(N

4、ewton)法（牛頓切線法）1) 牛頓法的基本思想：是非線性方程，一般較難解決，多采用線性化方法記：是一次多項式，用作為的近似方程的解為 記為，一般地，記 即為牛頓法公式。實驗所用軟件及版本： Matlab R2012b主要內(nèi)容（要點）：分別用對分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛頓切法線等5種方法，求方程 的正的近似根，(建議取 )實驗過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）：1.對分法syms x fx;a=0.001;b=3;fx=0.5*x-sin(x);x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx,x,x);if ffx=0; disp(the r

5、oot is:,num2str(x)else disp(k ak bk f(xk) while abs(ffx)0.0001&ab; disp(num2str(k), ,num2str(a), ,num2str(b), ,num2str(ffx) fa=subs(fx,x,a);ffx=subs(fx,x,x); if fa*ffx0.0001; disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(ffx); x=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);k=k+1;enddisp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(

6、ffx)fprintf(所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：%d/n,x,k)【調(diào)試結(jié)果】0 1.1 -0.341211 1.7824 -0.0864852 1.9554 0.0507393 1.8539 -0.0332384 1.9204 0.0206775 1.879 -0.0133576 1.9057 0.00844337 1.8889 -0.0054168 1.8997 0.00344319 1.8928 -0.002201710 1.8972 0.001402811 1.8944 -0.0008958412 1.8962 0.0005712513 1.895 -0.0003646214

7、 1.8958 0.0002325915 1.8953 -0.0001484216 1.8956 9.4692e-005所求的解是：x=1.895610,迭代步數(shù)是：163.松弛迭代法syms fx gx x dgx;gx=sin(x)*2;fx=0.5*x-sin(x);dgx=diff(gx,x);x=1.8;k=0;ggx=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);dgxx=subs(dgx,x,x);disp(k x w)while abs(ffx)0.0001; w=1/(1-dgxx); disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str

8、(w) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1; ggx=subs(gx,x,x);ffx=subs(fx,x,x);dgxx=subs(dgx,x,x);end disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(w)fprintf(所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：%dn,x,k)【調(diào)試結(jié)果】k x w0 1.8 0.687571 1.9016 0.606242 1.8955 0.60624所求的解是：x=1.895515,迭代步數(shù)是：24.altken法syms fx gx x ;gx=sin(x)*2;fx=0.5*x-sin(x);disp(k x x1

9、 x2)x=1.5;k=0;ffx=subs(fx,x,x);while abs(ffx)0.0001; u=subs(gx,x,x);v=subs(gx,x,u); disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(u), ,num2str(v) x=v-(v-u)2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx,x,x);end disp(num2str(k), ,num2str(x), ,num2str(u), ,num2str(v)fprintf(所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：%dn,x,k)【調(diào)試結(jié)果】k x x1 x20 1.5 1.995

10、 1.82271 1.8672 1.9128 1.88422 1.8952 1.8957 1.89543 1.8955 1.8957 1.8954所求的解是：x=1.895494,迭代步數(shù)是：35.牛頓法syms x fx gx;fx=0.5*x-sin(x);gx=diff(fx,x);x1=0.8;x2=1.5;x3=4;k=0;disp(k x1 x2 x3)fx1=subs(fx,x,x1);fx2=subs(fx,x,x2);fx3=subs(fx,x,x3);gx1=subs(gx,x,x1);gx2=subs(gx,x,x2);gx3=subs(gx,x,x3);while ab

11、s(fx1)0.0001|abs(fx2)0.0001|abs(fx3)0.0001; disp(num2str(k), ,num2str(x1), ,num2str(x2), ,num2str(x3) x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1; fx1=subs(fx,x,x1);fx2=subs(fx,x,x2);fx3=subs(fx,x,x3); gx1=subs(gx,x,x1);gx2=subs(gx,x,x2);gx3=subs(gx,x,x3);end disp(num2str(k), ,num2str(x1), ,num2

12、str(x2), ,num2str(x3) fprintf(所求的解是:x1=%f,x2=%f,x3=%f,迭代步數(shù):%dn,x1,x2,x3,k)【調(diào)試結(jié)果】k x1 x2 x30 0.8 1.5 41 -0.81335 2.0766 1.61042 0.89679 1.9105 1.973 -1.7856 1.8956 1.89844 -1.9037 1.8955 1.89555 -1.8955 1.8955 1.8955所求的解是:x1=-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494,迭代步數(shù):5【情況記錄】1.對分法簡單，然而，若在是有幾個零點時，只能算出其中一個零

13、點，它不能求重根，也不能求虛根.另一方面，即使在上有零點，也未必有。這就限制了對分法的使用范圍。對分法只能計算方程的實根。對分法的收斂速度較慢，它常用來試探實根的分布區(qū)間，或求根的近似值尋找滿足定理條件的等價形式是難于做到的。事實上，如果 為的零點，若能構(gòu)造等價形式而，由的連續(xù)性，一定存在的鄰域，其上有，這時若初值迭代也就收斂了。由此構(gòu)造收斂迭代式有兩個要素，其一，等價形式應(yīng)滿足；其二，初值必須取自的充分小鄰域，這個鄰域大小決定于函數(shù)，及做出的等價形式。松弛法的加速效果明顯，甚至不收斂的迭代函數(shù)經(jīng)加速后也能獲得收斂松弛法要先計算，在使用中有時不方便，而Altken 公式，它的加速效果是十分明顯

14、的，它同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂。5.牛頓法的收斂速度明顯快于對分法。牛頓法也有局限性。牛頓法至少是二階收斂的，而在重根附近，牛頓法是線性收斂的，且重根收斂很慢。另外，在牛頓法中，選取適當(dāng)?shù)跏贾凳乔蠼獾那邦}，當(dāng)?shù)某跏贾翟谀掣母浇鼤r迭代才能收斂到這個根，有時會發(fā)生從一個根附近跳向另一個根附近的情況，尤其在導(dǎo)數(shù)數(shù)值很小時。實驗結(jié)果報告及實驗總結(jié)：調(diào)試結(jié)果：1.對分法所求的解是：x=1.895327,迭代步數(shù)是：132.普通迭代法所求的解是：x=1.895610,迭代步數(shù)是：163.松弛迭代法所求的解是：x=1.895515,迭代步數(shù)是：24.altken法所求的解是：x=1.895494,迭代步數(shù)是：35.牛頓法所求的解是:x1=-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494,迭代步數(shù):5總結(jié)：在調(diào)試和運行的過程中，選取不同的等價方程和不同的初值，得到的結(jié)果不同，精確度也有相差異。但五種方法所得的數(shù)值相近，基本在誤差允許范圍內(nèi)。且從運行結(jié)果知，相對而言，二分法和普通迭代法的收斂速度過慢，不是最佳方法。松弛迭代法和altken法的加速效果是明顯的。牛頓法的收斂速度也較快，但需要得