1、,一、基本初等函數(shù)導數(shù)公式,第一節(jié) 求導法則,二、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,定理1.,的和、,差、,積、,商 (除分母,為 0的點外) 都在點 可導,且,例：,三、復合函數(shù)的求導法則,定理,即 因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量 求導, 乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則),例,例2,復合函數(shù)求導法則可推廣到多個中間變量的情形,例如,關鍵: 搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導.,理論推廣,例3,解:,練習：求下列函數(shù)的導數(shù),第二節(jié) 定積分,一、定積分的定義,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 ,而與積分,變量用什么字母表示無關 ,即,性質1 常數(shù)因子可提到積分號外 性質2 函數(shù)代

2、數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。,二、定積分的簡單性質,性質3 若在區(qū)間 a , b 上 f (x)k，則 性質4 定積分的區(qū)間可加性 若 c 是 a , b 內的任一點，則,當 a , b , c 的相對位置任意時, 例如,則有,則積分上限函數(shù),定理1. 若,三、 牛頓 萊布尼茲公式,定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,同時為,通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .,( 牛頓 - 萊布尼茲公式),定理2.,函數(shù) ,則,例1、 計算,解:,例 2、設 求,解,例3,其中,解:,四、 定積分的換元法和,分部積分法,定理 （定積分的換元公式） 設函數(shù) f (x)在區(qū)間 a , b 上連續(xù)；函數(shù)

3、 在 上單值且有連續(xù)導數(shù)；當 時，有 ，且 則,例1. 計算,解: 令,則, 原式 =,且,例2. 計算,解: 令,則, 原式 =,且,例3.,證:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,定理 （定積分的分部積分公式） 設函數(shù) u (x) , v (x) 在 a , b 上有連續(xù)導數(shù)，則,例4. 計算,解:,原式 =,第三節(jié) 廣義積分（反常積分）,引例. 曲線,和直線,及 x 軸所圍成的開口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,定義1. 設,若,存在 ,則稱此極限為 f (x) 在區(qū)間 的廣義積分,記作,類似地 , 若,則定義,第三節(jié) 廣義積分（反常積分）,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) )

4、,引入記號,則有類似牛 萊公式的計算表達式 :,例1. 計算廣義積分,解:,例2. 計算廣義積分,解:,第五節(jié) 二重積分,其中D是積分區(qū)域,定理 設,在矩形區(qū)域,上可積，且對每個,積分,存在，則累次積分,也存在，且,特別當,在矩形區(qū)域,連續(xù)時，有,例 1 計算,其中,解,區(qū)域,定理 設,在 X- 區(qū)域 D 上連續(xù)，y1( x ) ,y2( x ) 在 a, b 連續(xù)，則,稱為 X 型區(qū)域,區(qū)域,則,稱為Y 型區(qū)域.,若 D 為Y 型區(qū)域.,若積分域較復雜,可將它分成若干,X-型域或Y-型域 ,則,例2、計算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,例3、 計算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解,及直線,這是 Y- 區(qū)域，,畫出積分區(qū)域的圖形,先對 x 后對 y 積分,解法2,D 也是 X- 型區(qū)域，,顯然解法1比解法2好 ！,例4、計算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 畫積分區(qū)域圖形，,因為,則,若先對 x 積分，,的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此,改用另一種順序的累次積分，于是有,內容小結,(1