1、第五章 彈性力學(xué)邊值問題,本章任務(wù) 總結(jié)對(duì)彈性力學(xué)基本方程 討論求解彈性力學(xué)問題的方法,目錄 5.1 彈性力學(xué)基本方程 5.2 問題的提法 5.3 彈性力學(xué)問題的基本解法 解的唯一性 5.4 圣文南原理 5.5 疊加原理,總結(jié)彈性力學(xué)基本理論； 討論已知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關(guān)系基本方程和邊界條件。,5.1 彈性力學(xué)基本方程,彈性力學(xué)基本方程,1. 平衡微分方程,2. 幾何方程,5.1 基本方程2,3. 變形協(xié)調(diào)方程,位移作為基本未知量時(shí)，變形協(xié)調(diào)方程自然滿足。,5.1 基本方程3,本構(gòu)方程廣義胡克定律 應(yīng)力表示 應(yīng)變表示,基本方程：平衡微分方程；幾何方程和本構(gòu)方程以及變形協(xié)調(diào)方

2、程。,5.1 基本方程4,邊界條件 若物體表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz已知 則面力邊界條件為：,若物體表面的位移 已知，則位移邊界條件為,若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件,5.1 基本方程5,總結(jié)： 彈性力學(xué)基本方程和邊界條件,5.1 基本方程6,彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個(gè)未知量求解十五個(gè)基本方程。 求解彈性力學(xué)問題時(shí)，并不需要同時(shí)求解十五個(gè)基本未知量，可以做必要的簡化。 為簡化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量。,5.2 問題的提法,在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。 按照不同的邊界條件，彈

3、性力學(xué)有三類邊值問題。 第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz，邊界條件為面力邊界條件。 第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。,5.2 問題提法2,第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。 以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實(shí)際工程問題。 若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。,5.2 問題提法3,位移解法 以位移函數(shù)作為基本未知量 應(yīng)力解法 以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量

4、 混合解法 以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量,5.2 問題提法4,5.3 彈性力學(xué)問題基本解法 解的唯一性,選取位移函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為位移解法。 主要工作： 利用位移函數(shù)u,v,w表達(dá)其他未知量； 推導(dǎo)位移函數(shù)描述的基本方程 位移表達(dá)的平衡微分方程,位移解法的基本未知量為3個(gè)位移函數(shù) 基本方程為3個(gè)拉梅方程 對(duì)于位移邊界條件，位移解法是十分的合適的。,5.3 基本解法2,但是位移函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件十分繁雜,這一邊界條件幾乎不可能實(shí)現(xiàn),5.3 基本解法3,總之，位移解法以位移為基本未知函數(shù)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。 位移分量求解后，

5、可通過幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。,5.3 基本解法4,應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為應(yīng)力解法 應(yīng)力解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 變形協(xié)調(diào)方程,5.3 基本解法5,應(yīng)力解法的基本未知量為6個(gè)應(yīng)力分量； 基本方程為3個(gè)平衡微分方程和6個(gè)變形協(xié)調(diào)方程。 應(yīng)力解法適用于面力邊界條件。 總而言之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時(shí)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。,5.3 基本解法6,混合解法 根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件，選擇不同的基本未知量求解稱為混合解法。,5.3 基本解法7,解的唯一性原理 彈性體受已知體力作

6、用。在物體的邊界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。則彈性體平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變是唯一的，對(duì)于后兩種情況，位移也是唯一的。 證明1 2,5.3 基本解法8,彈性力學(xué)的基本未知量位移、應(yīng)力和應(yīng)變等在體力為常量時(shí)具有一些特性。 掌握這些特性，可以幫助我們分析彈性力學(xué)問題。 物理量特性,體力為常量時(shí)一些物理量的特性,5.3 基本解法9,體力為常量，體積應(yīng)力和體積應(yīng)變均滿足拉普拉斯（Laplace)方程。 體積應(yīng)力函數(shù)和體積應(yīng)變函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。 位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均滿足雙調(diào)和方程， 位移分量，應(yīng)變分量和應(yīng)力分量為雙調(diào)和函數(shù)。,5.3 基本解法10,局

7、部影響原理 物體任意一個(gè)小部分作用一個(gè)平衡力系，則該平衡力系在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力分布，僅局限于力系作用的附近區(qū)域。在距離該區(qū)域相當(dāng)遠(yuǎn)處，這種影響便急劇減小。 證明1 2,5.4 圣文南原理,解的疊加原理 小變形線彈性條件下，作用于物體的若干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力和變形等），等于每組載荷單獨(dú)作用效應(yīng)的總和。,5.5 疊加原理,逆解法 根據(jù)問題的性質(zhì)，確定基本未知量和相應(yīng)的基本方程，并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將有什么樣的位移。,5.5 疊加原理2,半逆解法 對(duì)于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點(diǎn)，或已知簡單結(jié)論，如材料力學(xué)解，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。,5