1、第二章 初等模型,2.1 公平的席位分配,問(wèn)題,三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問(wèn)20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對(duì)丙系公平嗎,“公平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo),當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平,p1/n1 p2/n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p

2、2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對(duì)不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì) 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小,設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是B,不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)A不公平, 對(duì)A的相對(duì)不公平度,將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量,類似地定義 rB(n1,n2),將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應(yīng)給 A,2）若 p

3、1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2),應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給,應(yīng)討論以下幾種情況,初始 p1/n1 p2/n2,問(wèn)：,p1/n1p2/(n2+1) 是否會(huì)出現(xiàn)？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B,當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給A,該席給A,否則, 該席給B,推廣到m方分配席位,該席給Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21個(gè)席位,按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將

4、19席分配完畢,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,公平嗎？,Q1最大，第20席給甲系,問(wèn)題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),2.2 雙層玻璃窗的功效,Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量

5、Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。,房間通過(guò)天花板、墻壁 損失的熱量更多。,雙層窗的功效不會(huì)如此之大,2.3 汽車剎車距離,美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)

6、課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問(wèn)題,正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時(shí)， 后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長(zhǎng)度。,實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ：,后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何,判斷 “2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。,問(wèn)題分析,常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān),10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米),“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同,剎車距離,反應(yīng)時(shí)間,司機(jī)狀況,制動(dòng)系統(tǒng)靈活性,制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候 ,最大制

7、動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。,車速,假 設(shè) 與 建 模,1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和,2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比,3. 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應(yīng)時(shí)間,且F與車的質(zhì)量m成正比,反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒,參數(shù)估計(jì),利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”,模 型,2.4 劃艇比賽的成績(jī),對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模

8、型揭示這種關(guān)系。,問(wèn)題,準(zhǔn)備,調(diào)查賽艇的尺寸和重量,問(wèn)題分析,前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的摩擦力,前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率,分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定,對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定,運(yùn)用合適的物理定律建立模型,模型假設(shè),1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比,符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重 W,艇的靜態(tài)特性,艇的動(dòng)態(tài)特性,3）w相同，p不變，p與w成正比,漿手的特征,模型建立,f sv2,p w,

9、s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型檢驗(yàn),利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn),與模型巧合！,問(wèn)題,甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。,用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：,若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y),都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),2.5 實(shí)物交換,甲的無(wú)差別曲線,分析與建模,如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1

10、, p2對(duì)甲是無(wú)差別的，,線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，,比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。,無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：,單調(diào)減(x增加, y減小),下凸(凸向原點(diǎn)),互不相交,在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的 y換取較少的 x;,在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的 x換取較少的 y。,甲的無(wú)差別曲線族記作,f(x,y)=c1,c1滿意度,（f 等滿意度曲線）,乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）,雙方的交換路徑,乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系xOy, 且反向）,甲的無(wú)差別

11、曲線族 f=c1,雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上,因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p, (雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p,兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB,p,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案 交換后甲的占有量 (x,y),0 xx0, 0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn),交換路徑AB,等價(jià)交換原則,X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為,(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線CD,AB與CD的交點(diǎn)p,設(shè)X單價(jià)a, Y單價(jià)b, 則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0),2.6 核軍備競(jìng)賽,冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。,隨著

12、前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議。,在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。,當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。,估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。,背景,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。,假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。,在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。,摧毀這個(gè)基地

13、的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。,模型假設(shè),圖的模型,y=f(x)甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),x=g(y)乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),當(dāng) x=0時(shí) y=y0，y0乙方的威懾值,y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù),P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方 安全區(qū),P平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)),乙安全線,精細(xì)模型,乙方殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。,sx個(gè)基地未摧毀，yx個(gè)基地未攻擊。,xy,甲方以 x攻擊乙方 y個(gè)基地中的 x個(gè),y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的

14、xy個(gè)被攻擊2次，s2(xy)個(gè)未摧毀； y (xy)=2y x個(gè)被攻擊1次，s(2y x )個(gè)未摧毀,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,a交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比),x=a y,精細(xì)模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威懾值,s殘存率,y是一條上凸的曲線,y0變大，曲線上移、變陡,s變大，y減小，曲線變平,a變大，y增加，曲線變陡,xy, y= y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo),乙方威懾值 y0變大,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。,（其它因素不變）,乙安全線 y=f(x)上移,模

15、型解釋,平衡點(diǎn)PP,甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架,乙安全線y=f(x)不變,甲方殘存率變大,威懾值x 0和交換比不變,x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近,模型解釋,甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少,PP,雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo),(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量),雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加,y0減小 y下移且變平,a 變大 y增加且變陡,雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析,模型解釋,乙安全線 y=f(x),帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向,簡(jiǎn)化問(wèn)題,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)

16、的航向，,2.7 啟帆遠(yuǎn)航,模型分析,風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w,風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假設(shè),w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假設(shè),w2與帆面平行，可忽略,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正東方向速度分量v1=vcos,航向速度v與力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-p1),2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 當(dāng)固定時(shí)求使