1、第七章立體幾何 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積 第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系 第四節(jié) 直線、平面平行的判定及性質(zhì) 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì),目 錄,第七章立 體 幾 何,知識(shí)能否憶起,一、多面體的結(jié)構(gòu)特征,互相平行,平行且相等,公共,頂點(diǎn),底面,截面,底面,多邊形,二、旋轉(zhuǎn)體的形成,三、簡(jiǎn)單組合體 簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體,任一邊,一條直角邊,垂直于底邊的腰,直徑,四、平行投影與直觀圖 空間幾何體

2、的直觀圖常用 畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是： (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面 (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍_ 平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度 ，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中 ,斜二測(cè),垂直,平行于坐,標(biāo)軸,不變,變?yōu)樵瓉?lái)的一半,五、三視圖動(dòng)漫演示更形象,見(jiàn)配套課件 幾何體的三視圖包括 、 、 ，分別是從幾何體的 、 、 觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,正前方,正左方,正上方,超鏈接,小題能否全取 1(教材習(xí)題改編)以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正 確的是 () A球的三視圖總是

3、三個(gè)全等的圓 B正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形 C水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形 D水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓 解析：B中正方體的放置方向不明，不正確C中三視圖不全是正三角形D中俯視圖是一個(gè)圓環(huán),答案：A,2(2012杭州模擬)用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各 個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是 () A圓柱B圓錐 C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面,答案：C,3下列三種敘述，其中正確的有 () 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)； 兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面

4、體是棱臺(tái)； 有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái) A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè),答案：A,解析：中的平面不一定平行于底面，故錯(cuò)可用下圖反例檢驗(yàn)，故不正確,4(教材習(xí)題改編)利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的： 正方形的直觀圖一定是菱形； 菱形的直觀圖一定是菱形； 三角形的直觀圖一定是三角形 以上結(jié)論正確的是_ 解析：中其直觀圖是一般的平行四邊形，菱形的直觀圖不一定是菱形，正確 答案：,5一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視 圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為_(kāi),解析：由三視圖中的正、側(cè)視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為.,答案：,1.正棱柱與正棱錐

5、(1)底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中 “正”字包含兩層含義：側(cè)棱垂直于底面；底面是正多邊形 (2)底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫正棱錐，注意正棱錐中“正”字包含兩層含義：頂點(diǎn)在底面上的射影必需是底面正多邊形的中心，底面是正多邊形，特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體,2對(duì)三視圖的認(rèn)識(shí)及三視圖畫(huà)法 (1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形 (2)在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，能看見(jiàn)的輪廓線和棱用實(shí)線表示，擋住的線要畫(huà)成虛線 (3)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的

6、正前方、正左方、正上方觀察幾何體用平行投影畫(huà)出的輪廓線,3對(duì)斜二測(cè)畫(huà)法的認(rèn)識(shí)及直觀圖的畫(huà)法,(1)在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段，“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半”,空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,例1(2012哈師大附中月考)下列結(jié)論正確的是 () A各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等，則該棱錐可能是六棱錐 D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線,自主解答A錯(cuò)誤，如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，它的

7、各個(gè)面都是三角形，但它不是三棱錐；B錯(cuò)誤，如圖2，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐；,圖1 圖2,C錯(cuò)誤，若該棱錐是六棱錐，由題設(shè)知，它是正六棱錐易證正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必大于底面邊長(zhǎng)，這與題設(shè)矛盾 答案D,解決此類題目要準(zhǔn)確理解幾何體的定義，把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并會(huì)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行辨析舉反例時(shí)可利用最熟悉的空間幾何體如三棱柱、四棱柱、正方體、三棱錐、三棱臺(tái)等，也可利用它們的組合體去判斷,1(2013天津質(zhì)檢)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱 它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是 () A等腰四棱錐的腰與底面所成

8、的角都相等 B等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或 互補(bǔ) C等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上,解析：如圖，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等， 其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與 底面所成角相等，即A正確；底面四邊形 必有一個(gè)外接圓，即C正確；在高線上可 以找到一個(gè)點(diǎn)O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè) 頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互補(bǔ)(若為正四棱錐則成立)故僅命題B為假命題,答案:B,幾何體的三視圖,例2(2012湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 (),自主解答根據(jù)幾何體的

9、三視圖知識(shí)求解 由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無(wú)實(shí)線和虛線，因此俯視圖不可能是C. 答案C,三視圖的長(zhǎng)度特征 三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬，即“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊” 注意畫(huà)三視圖時(shí)，要注意虛、實(shí)線的區(qū)別,2(1)(2012莆田模擬)如圖是底面為正方形、一條側(cè)棱垂 直于底面的四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的 (),解析：由俯視圖排除B、C；由主視圖、側(cè)視圖可排除A.,答案：D,(2)(2012濟(jì)南模擬)如圖，正三棱柱ABC A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，其正視圖如圖所 示，則此三棱柱側(cè)視圖的面積為(

10、),答案：D,幾何體的直觀圖,例3已知ABC的直觀圖ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求原ABC的面積,自主解答 建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy，AB C的頂點(diǎn)C在y軸上，AB邊在x軸上， OC為ABC的高 把y軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得y軸，,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，要注意原圖形與直觀圖中的“三變、三不變”,3如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底 角為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(),答案：A,典例(2012陜西高考)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 (),嘗試解題還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正

11、方體右側(cè)面作垂線D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線 答案B,1.因沒(méi)有區(qū)分幾何體中的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線為虛線，誤選A、C. 2.因?yàn)楹鲆暳薆1C被遮擋，誤認(rèn)為無(wú)投影，不用畫(huà)出，誤選D. 3.對(duì)于由幾何體畫(huà)出其三視圖時(shí)，首先要看清幾何體的結(jié)構(gòu)特征，在繪制三視圖時(shí)，若相鄰兩幾何體的兩表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見(jiàn)輪廓線都是用實(shí)線畫(huà)出，被擋住的輪廓線用虛線畫(huà)出，其次要注意三視圖的長(zhǎng)、寬、高的要求及排放規(guī)則.,1若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直 觀圖可以是(),解析：由正視圖與俯視圖可以將選項(xiàng)A、C排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以

12、將D排除，注意正視圖與俯視圖中的實(shí)線,答案:B,2將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如下圖所 示，則該幾何體的側(cè)視圖為(),解析：被截去的四棱錐的三條可見(jiàn)側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面(長(zhǎng)方形)的兩條邊重合，另一條為體對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖，只有選項(xiàng)D符合,答案:D,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1(2012北京朝陽(yáng)二模)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體， 按任意方向正投影，其投影面積的最大值是 (),答案： D,2如圖，ABC與ACD都是 等腰直角三角形，且AD DC2，ACBC.平面ACD 平面ABC，如果以平面AB C為水平平面

13、，正視圖的觀察方向與AB垂直，則三棱錐DABC的三視圖的面積和為_(kāi),3(2012北京海淀)已知正三棱柱 ABCABC的正視圖和 側(cè)視圖如圖所示，設(shè)ABC， ABC的中心分別是O，O，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn)，射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個(gè)實(shí)數(shù))，對(duì)應(yīng)的俯視圖的面積為S(x)，則函數(shù)S(x)的最大值為_(kāi)；最小正周期為_(kāi) (說(shuō)明：“三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn)”包括逆時(shí)針?lè)较蚝晚槙r(shí)針?lè)较?，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角),知識(shí)能否憶起 柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積,2rl,rl,(r1r2)l,Sh,r2h,Ch,Sh,4R2,小題能

14、否全取 1(教材習(xí)題改編)側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底 面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的全面積是 (),答案：A,2已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為3，則這個(gè)四 棱錐的外接球的表面積為 () A12 B36 C72 D108,答案：B,3.某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩 形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8，高 為5的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè) 底邊長(zhǎng)為6，高為5的等腰三角形， 則該幾何體的體積為() A24 B80 C64 D240,答案：B,4(教材習(xí)題改編)表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖 是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi) 解析：設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r， 則rlr23，l2r. 解得r1

15、，即直徑為2. 答案：2,5.某幾何體的三視圖如圖所示， 其中正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰 三角形，側(cè)視圖是半徑為1的 半圓，則該幾何體的表面積 是_,1.幾何體的側(cè)面積和全面積： 幾何體側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和對(duì)側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)進(jìn)行 2求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)： (1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決 (2)與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性 3求組合體的表面積時(shí)注意幾何體的銜接部分的處理,(2012安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是_,幾何體的表面

16、積,自主解答由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示),答案92,1以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量 2多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理 3旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用,答案:D,幾何體的體積,例2 (1)(2012廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為 (),A72B48 C30 D24,(2)(2012山東高考)如圖，正方 體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線 段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐ADED1的 體積為_(kāi),自主解答(1) 由三視圖知，該幾何體

17、 是由圓錐和半球組合而成的，直觀圖如圖所 示，圓錐的底面半徑為3，高為4，半球的半 徑為3.,本例(1)中幾何體的三視圖若變?yōu)椋?其體積為_(kāi),答案：24,1計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解 2注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法，應(yīng)熟練掌握 3等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；利用“等積法”可求“點(diǎn)到面的距離”,2(1)(2012長(zhǎng)春調(diào)研)四棱錐PABCD的底面ABCD為正 方形，

18、且PD垂直于底面ABCD，N為PB中點(diǎn)，則三棱錐PANC與四棱錐PABCD的體積比為 (),A12 B13 C14 D18,答案：C,(2)(2012浙江模擬)如圖，是某幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積是 (),答案：B,與球有關(guān)的幾何體的表面積與體積問(wèn)題,例3(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為 (),答案A,1解決與球有關(guān)的“切”、“接”問(wèn)題，一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系 2記住幾個(gè)常用的結(jié)論： (1)正方體的棱

19、長(zhǎng)為a，球的半徑為R，,正方體的內(nèi)切球，則2Ra；,(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為13.,3(1)(2012瓊州模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其 中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為 (),某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分，在解題時(shí)，把這個(gè)幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問(wèn)題，這是一種重要的解題策略補(bǔ)形法.常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形.對(duì)于還原補(bǔ)形，主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”問(wèn)題.,1對(duì)稱補(bǔ)形 典例1(2012湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (),答案B,題后

20、悟道對(duì)稱”是數(shù)學(xué)中的一種重要關(guān)系，在解決空間幾何體中的問(wèn)題時(shí)善于發(fā)現(xiàn)對(duì)稱關(guān)系對(duì)空間想象能力的提高很有幫助,題后悟道三條側(cè)棱兩兩互相垂直，或一側(cè)棱垂直于底面，底面為正方形或長(zhǎng)方形，則此幾何體可補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，使所解決的問(wèn)題更直觀易求,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1兩球O1和O2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1 C1D1的內(nèi)部，且互相外切，若球O1與過(guò)點(diǎn)A 的正方體的三個(gè)面相切，球O2與過(guò)點(diǎn)C1的正 方體的三個(gè)面相切，則球O1和O2的表面積之 和的最小值為 (),答案：A,2已知某球半徑為R，則該球內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積的最 大值是 () A8R2 B6R2 C4R2 D2R2,答案：A

21、,3.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖(側(cè)視圖中的 弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是 () A203B243 C204D244,答案：A,答案：D,5(2012上海高考)如圖，AD與BC是四面 體ABCD中互相垂直的棱，BC2.若AD 2c，且ABBDACCD2a，其中 a，c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的 最大值是_,知識(shí)能否憶起 一、平面的基本性質(zhì),lZ,l，且Pl,二、空間直線的位置關(guān)系 1位置關(guān)系的分類,相交,一個(gè),平行,沒(méi)有,沒(méi)有,沒(méi)有,2平行公理 平行于同一條直線的兩條直線互相 ,平行,3等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 4異面直線所成的角(或夾角) (1)定

22、義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角 (2)范圍：_.,相等或互補(bǔ),銳角(或直角),超鏈接,動(dòng)漫演示更形象，見(jiàn)配套課件,三、直線與平面的位置關(guān)系,l,無(wú)數(shù)個(gè),lA,一個(gè),l,0個(gè),四、平面與平面的位置關(guān)系,0個(gè),無(wú)數(shù),小題能否全取,1(教材習(xí)題改編)已知a，b是異面直線，直線c平行于 直線a，那么c與b() A異面B相交 C不可能平行 D不可能相交,解析：由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab.與a，b是異面直線相矛盾,答案：C,2(2013東北三校聯(lián)考)下列命題正確的個(gè)數(shù)為 ()

23、 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面； 梯形可以確定一個(gè)平面； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合 A0 B1 C2 D3 解析：錯(cuò)誤，正確,答案：C,3已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且ABC BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是 () AABCD BAB與CD異面 CAB與CD相交 DABCD或AB與CD異面或AB與CD相交 解析：若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線,答案：D,4(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)

24、分別是 AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與 EF所成的角的大小為_(kāi) 解析：連接B1D1，D1C， 則B1D1EF， 故D1B1C為所求，又B1D1B1CD1C， D1B1C60. 答案：60,5(教材習(xí)題改編)平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與 AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為_(kāi),解析：如圖，與AB和CC1都相交的 棱有BC；與AB相交且與CC1平行 的棱有AA1，BB1；與AB平行且與 CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合 條件的棱共有5條,答案：5,1.三個(gè)公理的作用 (1)公理1的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi) (2)公理2的作用：確定

25、平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件 (3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩相交平面的交線；證明多點(diǎn)共線,2異面直線的有關(guān)問(wèn)題 (1)判定方法：反證法；利 用結(jié)論即過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一 點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線 是異面直線，如圖 (2)所成的角的求法：平移法,平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用,例1(2012湘潭模擬)如圖所示， 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB 的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn)， 求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn),本例條件不變?cè)囎C明E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面,1證明線共點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上 2證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題一般有

26、以下兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合,1(1)(2013江西模擬)在空間中，下列命題正確的是 () A對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形 B四邊相等的四邊形一定是平面圖形 C有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形 D有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形,(2)對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)) 相對(duì)棱AB與CD所在直線異面； 由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是BCD三條高線的交點(diǎn)； 若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面； 分別作三組相對(duì)

27、棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn),解析：(1)由“兩平行直線確定一個(gè)平面”知 C正確 (2)由四面體的概念可知，AB與CD所在的 直線為異面直線，故正確； 由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相垂直時(shí)，其垂足是BCD的三條高線的交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；當(dāng)DADB，CACB時(shí)，這兩條高線共面，故錯(cuò)誤；設(shè)AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)依次為E，F(xiàn)，M，N，易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱也過(guò)它們的交點(diǎn)，故正確,答案：(1)C(2),異面直線的判定,例2(2012金華模擬)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是

28、異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào)),自主解答圖中，直線GHMN； 圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖中，連接MG，GMHN， 因此GH與MN共面； 圖中，G，M，N共面，但H面GMN， 因此GH與MN異面 所以圖中GH與MN異面 答案,1異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到 2客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線,2已知m，n，l為不同的直線，為不同的

29、平面，有 下面四個(gè)命題： m，n為異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)P，一定能作一條直線l與m，n都相交 m，n為異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)P，一定存在一個(gè)與直線m，n都平行的平面 ，l，m，n，m，n與l都斜交，則m與n一定不垂直；,m，n是內(nèi)兩相交直線，則與相交的充要條件是m，n至少有一條與相交 則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為 () A1B2 C3 D4,解析：錯(cuò)誤，因?yàn)檫^(guò)直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí)，就不滿足結(jié)論；錯(cuò)誤，因?yàn)檫^(guò)直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)， 就不滿足結(jié)論；正確，否則，若mn，在直線m上取一點(diǎn)作直線al，由，得an.從而有n，則n

30、l；正確,答案：B,例3(2012大綱全國(guó)卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為_(kāi),異面直線所成角,求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下： (1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角,答案：B,典例(2012浙江高考)設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面 () A若l，l，則 B若l，l，則 C若，l，則l D若，l，則l,常規(guī)解法設(shè)a，若直線

31、la，且l，l，則l，l，因此不一定平行于，故A錯(cuò)誤；由于l，故在內(nèi)存在直線ll.又因?yàn)閘.所以l，故，所以B正確；若，在內(nèi)作交線的垂線l，則l，此時(shí)l在平面內(nèi)，因此C錯(cuò)誤；已知，若a，la，且l不在平面，內(nèi)，則l且l，因此D錯(cuò)誤 答案B,(1)構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀模型，然后將問(wèn)題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤 (2)對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為直觀去判斷,巧思妙解借助于長(zhǎng)方體模型解決本題： 對(duì)于A，如圖，與可相交； 對(duì)于B，如圖，不論在何位置，都有； 對(duì)于C，如圖，l可與平行或l內(nèi)； 對(duì)

32、于D，如圖，l或l或l.,(2012大連二模)平面外有兩條直線m和n，如果m和n在平面內(nèi)的射影分別是直線m1和直線n1，給出下列四個(gè)命題：m1n1mn；mnm1n1；m1與n1相交m與n相交或重合；m1與n1平行m與n平行或重合 其中不正確的命題個(gè)數(shù)是() A1B2 C3 D4,.,解析：如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中AD1，AB1，B1C在底面上 的射影分別是A1D1，A1B1，B1C1. A1D1A1B1，但AD1不垂直AB1， 故不正確；又AD1B1C，但A1D1 B1C1，故也不正確；若m1與n1相交，則m與n還可以異面，不正確；若m1與n1平行，m與n可以平行，也可以異面

33、，不正確 答案：D,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1(2012襄陽(yáng)模擬)關(guān)于直線a，b，l以及平面M， N，下面命題中正確的是 () A若aM，bM，則ab B若aM，ba，則bM C若aM，aN，則MN D若aM，bM, 且la，lb，則lM,解析：同平行于一個(gè)平面的兩條直線可平行也可相交或異面，故A錯(cuò)aM，ba時(shí)，b與M的位置關(guān)系不確定，B錯(cuò)；當(dāng)ab時(shí)，la，lb，l不一定垂直于M，故D錯(cuò)誤,答案：C,2(2012蚌埠模擬)如圖在四面體OABC 中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB OC3，OA4.給出如下判斷： 存在點(diǎn)D(O點(diǎn)除外)，使得四面體 DABC有三個(gè)面是直角三角形； 存在點(diǎn)

34、D，使得點(diǎn)O在四面體DABC 外接球的球面上； 存在唯一的點(diǎn)D使得OD平面ABC； 存在的點(diǎn)D，使得四面體DABC是正棱錐； 存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使得AD與BC垂直且相等 其中正確命題的序號(hào)是_(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)填上),解析：作OH平面ABC于H并延長(zhǎng)至D，使OHHD，則四面體DABC與四面體OABC全等，故正確； 在以O(shè)，A，B，C確定的球上，顯然存在點(diǎn)D滿足條件，故正確； 過(guò)O做平面ABC的垂線，在垂線上取四面體OABC右上方外的點(diǎn)D，顯然OD平面ABC，故不正確；,ABC不是正三角形，以ABC為底面沒(méi)有正棱錐 取BC的中點(diǎn)O1，在平面AOO1內(nèi)取D，使BCBDCD3且AD5，則四面體是

35、以BCD為底的正棱錐，這樣的D點(diǎn)存在，所以正確 BC垂直于所作的平面AOO1，在平面AOO1內(nèi)以A為圓心，以BC為半徑作圓，圓周上任一點(diǎn)滿足條件，所以這樣的D點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故正確,答案：,3(2012西安模擬)在三棱錐PABC中，PA底面 ABC，ACBC，PAACBC，則直線PC與AB所成角的大小是_,答案：60,知識(shí)能否憶起,一、直線與平面平行 1判定定理,平面內(nèi),a,b,ba,2性質(zhì)定理,平行,a,a,b,二、平面與平面平行 1判定定理,相交直線,a,b,abP,a,b,相交,交線,a,b,2性質(zhì)定理,1(教材習(xí)題改編)下列條件中，能作為兩平面平行的充 分條件的是 () A一個(gè)平面內(nèi)的一條

36、直線平行于另一個(gè)平面 B一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面 C一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面 D一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面 解析：由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個(gè)平面時(shí)，兩平面才能平行，故D正確,小題能否全取,答案：D,2已知直線a，b，平面，則以下三個(gè)命題： 若ab，b，則a； 若ab，a，則b； 若a，b，則ab. 其中真命題的個(gè)數(shù)是 () A0B1 C2 D3 解析：對(duì)于命題，若ab，b，則應(yīng)有a或a，所以不正確； 對(duì)于命題，若ab，a，則應(yīng)有b或b，因此也不正確； 對(duì)于命題，若a，b，則應(yīng)有ab或a與b相交或a與b異面，因此也不正確,答案：

37、A,3(教材習(xí)題改編)若一直線上有相異三個(gè)點(diǎn)A，B，C 到平面的距離相等，那么直線l與平面的位置關(guān)系是() Al Bl Cl與相交且不垂直 Dl或l 解析：由于l上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面的距離相等，則l與可以平行，l時(shí)也成立,答案：D,4平面平面，a，b，則直線a，b的位置關(guān) 系是_ 解析：由可知，a，b的位置關(guān)系是平行或異面 答案：平行或異面,5(2013衡陽(yáng)質(zhì)檢)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是 DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi),解析：如圖 連接AC，BD交于O點(diǎn)，連結(jié)OE，因 為OEBD1，而OE平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1平面ACE. 答案：平行,1.

38、平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：,2在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在性質(zhì)定理的應(yīng)用中，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化” 3輔助線(面)是求證平行問(wèn)題的關(guān)鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有關(guān)平行性質(zhì)的應(yīng)用,線面平行、面面平行的基本問(wèn)題,例1(2011福建高考)如圖，正方 體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為 AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上若EF平面 AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于_,本例條件變?yōu)椤癊是AD中點(diǎn)，F(xiàn)，G，H，N分別是AA1，A1D1，DD1與D

39、1C1的中點(diǎn)，若M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)”，則M滿足什么條件時(shí)，有MN平面A1C1CA.,解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問(wèn)題要注意： (1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視 (2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷 (3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確,1(1)(2012浙江高三調(diào)研)已知直線l平面，P，那 么過(guò)點(diǎn)P且平行于直線l的直線 () A只有一條，不在平面內(nèi) B有無(wú)數(shù)條，不一定在平面內(nèi) C只有一條，且在平面內(nèi) D有無(wú)數(shù)條，一定在平面內(nèi),解析：由直線l與點(diǎn)P可確定一個(gè)平面，且平面，有公共點(diǎn)，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共

40、直線為m，因?yàn)閘，所以lm，故過(guò)點(diǎn)P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面內(nèi),答案：C,(2)(2012濰坊模擬)已知m，n，l1，l2表示直線，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，則的一個(gè)充分條件是() Am且l1Bm且n Cm且nl2 Dml1且nl2 解析：由定理“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)D可推知.,答案：D,直線與平面平行的判定與性質(zhì),例2(2012遼寧高考) 如圖，直三棱柱ABCABC， BAC90，ABAC，AA 1，點(diǎn)M，N分別為AB和BC 的中點(diǎn) (1)證明：MN平面AACC；,自主解答(1)證明：法一：連接 AB

41、、AC，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別 是AB和BC的中點(diǎn)， 所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn) 又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC的中點(diǎn)， 所以MNAC. 又MN平面AACC， AC平面AACC， 因此MN平面AACC.,法二：取AB的中點(diǎn)P.連接MP. 而點(diǎn)M，N分別為AB與BC的 中點(diǎn)，所以MPAA，PNAC. 所以MP平面AACC，PN平 面AACC.又MPPNP， 因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN， 因此MN平面AACC.,利用判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線,2(2012淄

42、博模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中，E， F分別是BD，BB1的中點(diǎn) (1)求證：EF平面A1B1CD； (2)求證：EFAD1.,(2)ABCDA1B1C1D1是正方體， AD1A1D，AD1A1B1. 又A1DA1B1A1， AD1平面A1B1D. AD1B1D. 又由(1)知，EFB1D，EFAD1.,平面與平面平行的判定與性質(zhì),例3如圖，已知ABCDA1B1C1D1 是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F 在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G 1，H是B1C1的中點(diǎn) (1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面； (2)求證：平面A1GH平面BED1F.,常

43、用的判斷面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理； (2)面面平行的傳遞性(，)； (3)利用線面垂直的性質(zhì)(l，l),3(2012北京東城二模)如圖，矩 形AMND所在的平面與直角梯 形MBCN所在的平面互相垂直， MBNC，MNMB. (1)求證：平面AMB平面DNC； (2)若MCCB，求證：BCAC.,證明：(1)因?yàn)镸BNC，MB平面DNC，NC平面DNC， 所以MB平面DNC. 又因?yàn)樗倪呅蜛MND為矩形，所以MADN. 又MA平面DNC，DN平面DNC. 所以MA平面DNC. 又MAMBM，且MA，MB平面AMB， 所以平面AMB平面DNC.,(2)因?yàn)樗倪呅蜛MND是矩形，

44、 所以AMMN. 因?yàn)槠矫鍭MND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN， 所以AM平面MBCN. 因?yàn)锽C平面MBCN， 所以AMBC. 因?yàn)镸CBC，MCAMM， 所以BC平面AMC. 因?yàn)锳C平面AMC， 所以BCAC.,立體幾何中的探索性問(wèn)題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開(kāi)放性問(wèn)題的探究，解決這類問(wèn)題一般根據(jù)探索性問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè).,典例如圖，在四面體PABC中，PC AB，PABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別 是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn) (1)求證：DE平面

45、BCP； (2)求證：四邊形DEFG為矩形； (3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由,解(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)， 所以DEPC. 又因?yàn)镈E平面BCP， 所以DE平面BCP.,(2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)， 所以DEPCFG， DGABEF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形 又因?yàn)镻CAB， 所以DEDG. 所以四邊形DEFG為矩形,題后悟道此類問(wèn)題一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，一般點(diǎn)的情形很少，然后給出符合要求的證明，注意書(shū)寫(xiě)格式要規(guī)范，一般有兩種格式： 第一種書(shū)寫(xiě)格式：探求出點(diǎn)的位

46、置證明符合要求寫(xiě)出明確答案； 第二種書(shū)寫(xiě)格式：從結(jié)論出發(fā)“要使什么成立”，“只需使什么成立”，尋求使結(jié)論成立的充分條件，類似于分析法,證明：存在證明如下：取 棱PC的中點(diǎn)F，線段PE的中點(diǎn)M， 連接BD. 設(shè)BDACO. 連接BF，MF，BM，OE. PEED21，F(xiàn)為PC的 中點(diǎn)，M是PE的中點(diǎn)，E是MD的中點(diǎn)， MFEC，BMOE.,MF平面AEC，CE平面AEC，BM平面AEC，OE平面AEC， MF平面AEC，BM平面AEC. MFBMM， 平面BMF平面AEC. 又BF平面BMF， BF平面AEC.,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1已知m，n，l為三條不同的直線， 為兩個(gè)不同的平

47、面，則下列命題中正確的 是 () A，m，nmn Bl，l Cm，mnn D，ll,解析：對(duì)于選項(xiàng)A，m，n平行或異面；對(duì)于選項(xiàng)B，可能出現(xiàn)l這種情形；對(duì)于選項(xiàng)C，可能出現(xiàn)n這種情形,答案：D,2.如圖，三棱柱ABCA1B1C1，底面為 正三角形，側(cè)棱A1A底面ABC，點(diǎn) E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn) M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC2FB. 當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM平面AEF?,解：法一：如圖，取AE的中點(diǎn)O， 連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M. 側(cè)棱A1A底面ABC， 側(cè)面A1ACC1底面ABC， OM底面ABC.,3(2012蚌埠二中質(zhì)檢)如圖1所示，在RtABC中，AC 6，BC3，

48、ABC90，CD為ACB的角平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE4.如圖2所示，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連接AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),(1)求證：DE平面BCD； (2)若EF平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐BDEG的體積,知識(shí)能否憶起,一、直線與平面垂直,1直線和平面垂直的定義 直線l與平面內(nèi)的 直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直,任意一條,2直線與平面垂直的判定定理及推論,兩條相交直線,垂直,a，b,abO,la,lb,ab,a,3直線與平面垂直的性質(zhì)定理,平行,a,b,垂線,l,l,二、平面與平面垂直 1平面與平面垂直的判定定理,2平面與平面垂直

49、的性質(zhì)定理,l,a,la,交線,小題能否全取 1(教材習(xí)題改編)已知平面，直線l，若， l，則 () A垂直于平面的平面一定平行于平面 B垂直于直線l的直線一定垂直于平面 C垂直于平面的平面一定平行于直線l D垂直于直線l的平面一定與平面、都垂直 解析：對(duì)于A中可與平行或相交，不正確 對(duì)于B中，可與垂直或斜交，不正確 對(duì)于C中，可與直線l平行或相交，不正確,答案：D,2.(2012廈門模擬)如圖，O為正方體 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的 中心，則下列直線中與B1O垂直的 是 () AA1DBAA1 CA1D1 DA1C1,解析：易知AC平面BB1D1D. A1C1AC，A1C1平面

50、BB1D1D. 又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.,答案：D,3已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的 直線，則下列命題中正確的是 () A若m，n，則mn B若m，mn，則n C若m，n，則mn D若，n，mn，則m 解析：對(duì)于選項(xiàng)A，若m，n，則mn，或m，n是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，n可能在平面內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，m與的位置關(guān)系還可以是m，m，或m與斜交，所以D錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確,答案：C,4.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖 中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi) 解析：由線面垂直知，圖中直角三角形為4個(gè) 答案：4,5(教材習(xí)題改編)如圖，已知六棱

51、錐PABCD EF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA 2AB.則下列命題正確的有_ PAAD；平面ABC平面PBC；直線BC平 面PAE；直線PD與平面ABC所成角為30. 解析：由PA平面ABC，PAAD，故正確； 中兩平面不垂直，中AD與平面PAE相交， BCAD，故不正確；中PD與平面ABC所成角為45. 答案：,1.在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：,2在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決，如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理 3幾個(gè)常用的結(jié)論： (1)過(guò)

52、空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直 (2)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直,垂直關(guān)系的基本問(wèn)題,例1(2013襄州模擬)若m，n為兩條不重合的直線，為兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：若m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線；若m、n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，則n；m，n在平面內(nèi)的射影互相垂直，則m，n互相垂直其中的假命題的序號(hào)是_,自主解答顯然錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?nèi)的所有直線都平行，所以內(nèi)的兩條相交直線可同時(shí)平行于；正確；如圖1所示，若l，且nl，當(dāng)m時(shí)，mn，但n，所以錯(cuò)誤；如圖2顯然當(dāng)mn時(shí)，m不垂直于n，所以錯(cuò)誤

53、,答案,解決此類問(wèn)題常用的方法有：依據(jù)定理?xiàng)l件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意的圖形作出判斷；否定命題時(shí)只需舉一個(gè)反例尋找恰當(dāng)?shù)奶厥饽Ｐ?如構(gòu)造長(zhǎng)方體)進(jìn)行篩選,1(2012長(zhǎng)春模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩 個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題： 若ab，a，b，則b；若a，a，則；若a，則a或a；若ab，a，b，則. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 () A1B2 C3 D4,解析：對(duì)于，由b不在平面內(nèi)知，直線b或者平行于平面，或者與平面相交，若直線b與平面相交，則直線b與直線a不可能垂直，這與已知“ab”相矛盾，因此正確對(duì)于，由a知，在平面內(nèi)必存在直線a1a，又a，所以有a1，所以，正確對(duì)于，若直線a

54、與平面相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作平面、的交線的垂線m，則m，又，則有am，這與“直線a、m有公共點(diǎn)A”相矛盾，因此正確對(duì)于，過(guò)空間一點(diǎn)O分別向平面、引垂線a1、b1，則有aa1，bb1，又ab，所以a1b1，所以，因此正確綜上所述，其中正確命題的個(gè)數(shù)為4.,答案:D,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),(1)證明：PH平面ABCD；,(3)證明：EF平面PAB.,自主解答(1)證明：因?yàn)锳B平面PAD，PH平面PAD， 所以PHAB. 因?yàn)镻H為PAD中AD邊上的高，所以PHAD. 因?yàn)镻H平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD， 所以PH平面ABCD.,證明直線和平面垂直的常用方法有： (1)利

55、用判定定理 (2)利用判定定理的推論(ab，ab) (3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a) (4)利用面面垂直的性質(zhì) 當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面,2(2012啟東模擬)如圖所示，已知PA 矩形ABCD所在平面，M，N分別 是AB，PC的中點(diǎn) (1)求證：MNCD； (2)若PDA45，求證：MN平 面PCD.,(2)連接PM，MC，PDA45， PAAD，APAD. 四邊形ABCD為矩形，ADBC， APBC. 又M為AB的中點(diǎn)，AMBM. 而PAMCBM90， PAMCBM. PMCM. 又N為PC的中點(diǎn)，MNPC. 由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面

56、PCD.,面面垂直的判定與性質(zhì),例3(2012江蘇高考)如圖，在直三 棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D， E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn) C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn) 求證：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直線A1F平面ADE.,自主解答(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC， 又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1， CC1DEE， 所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE， 所以平面ADE平面BCC1B1.,(2)因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)， 所以A1FB1C1. 因

57、為CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1， 所以A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE， 所以A1F平面ADE.,1判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定義 (2)面面垂直的判定定理(a，a) 2在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直 轉(zhuǎn)化方法：在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直,3(2012瀘州一模)如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為菱形， BAD60，Q為AD的中點(diǎn) (1)若PAPD，求證：平面PQB 平面PAD； (2)若點(diǎn)M在線段PC上，且PMtPC(t0)，試確定實(shí)數(shù)t的值，使得PA平面MQB.,解：(1)因?yàn)镻APD，Q為AD的中點(diǎn)， 所以PQAD. 連